命題學校：北崙中學寧海中學
說明：1．本試卷分選擇題和非選擇題兩部分，共150分，考試時間120分鐘。
2．請將答案全部填寫在答題卡上。
選擇題部分(共50分)
一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
（1）設集合，，則等於( )
(a) (b) (c) (d)
（2）若命題甲：或；命題乙：，則( )
（a）甲是乙的充分非必要條件；（b）甲是乙的必要非充分條件；
（c）甲是乙的充要條件； （d）甲既不是乙的充分條件，也不是乙的必要條件
（3）某籃球運動員在乙個賽季的40場比賽中的得分的莖葉圖
如右圖所示，則中位數與眾數分別為( )
（a） （b）
（cd）
（4）已知為直線，為平面，給出下列命題：
其中的正確命題序號是（ ）
（abcd）①②③④
（5）設雙曲線以橢圓長軸的兩個端點為焦點，其準線過橢圓的焦點，則雙曲線的離心率為 （ ）
（a）（b） （c） （d）
（6）某程式框圖如右圖所示，現輸入如下四個函式，
則可以輸出的函式是（ ）
（a）（b）
（c）（d）
（7）已知函式的零點依次為，則的大小順序正確的是（ ）
（a） （b） （c） （d）
（8）已知的兩根為，且，則的取值範圍是（ ）
（a） （b） （c） （d）
（9）有編號分別為的個紅球和個黑球，從中取出個，則取出的編號互不相同的概率為（ ）
（abcd）
（10）對於集合、，定義，
，設，，則=（ ）
（a） （b） （c） （d）
非選擇題部分(共100分)
二、填空題： 本大題共7小題，每小題4分，共28分。
（11）已知,則複數______
（12）乙個幾何體的三檢視如圖所示，
則該幾何體的體積為
(13) 已知曲線恰有三個點到直線
距離為,則______
(14) 如圖，中，點**段的垂直平分線上，記向量，，
則的值為______.
(15) 已知關於的方程有且只有乙個實根，則實數的取值範圍是
(16)乙個人隨機的將編號為的四個小球放入編號為的四個盒子，每個盒子放乙個小球，球的編號與盒子的編號相同時叫做放對了，否則叫做放錯了。設放對的個數記為,則的期望
(17)已知， 其導函式為，設，則＿＿＿＿.
三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
（18）（本題滿分14分）如圖，是單位圓與軸正半軸的交點，點、在單位圓上，且，，，,四邊形的面積為.
（）求+
（）求的最大值及此時的值；
(19)（本題滿分14分） 在數列中，，當時，其前項和滿足：．
（）求；
（）令，求數列的前項和．
（20）如圖1，直角梯形中，，，分別為邊和上的點，且，將四邊形沿折起（如圖2），使.
（）求證：平面；
（）求四稜錐的體積；
()求面與面所成銳二面角的余弦值。
（21）已知：圓過橢圓的兩焦點，與橢圓有且僅有兩個公共點；直線與圓相切，與橢圓相交於兩點記，且
（ⅰ）求橢圓的方程 （ii）求的取值範圍
()求的面積的取值範圍。
（22）設函式，其中為常數。
（ⅰ）若函式有極值點，求的取值範圍及的極值點；
（ii）證明：對任意不小於的正整數，不等式都成立。
2023年寧波市高三「十校聯考」
數學(理科)試題參***
一、選擇題：本大題共10小題, 每小題5分, 共50分． 在每小題給出的四個選項中, 只有一項是符合題目要求的．
二、填空題：本大題共7小題, 每小題4分, 共28分．把答案填在答題卷的相應位置．
11、 12、 13 、 14、 15 、 16、 17 、
三、解答題：本大題共5小題,共72分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
18．解：(1)∵，，
, ………………2分
4分 （2）由已知得6分
8分又10分
12分 則的最大值為，此時 ………… 14分
19．解：（1）當時，，
∴，∴，
∴，即數列為等差數列，，
4分當時，，
8分（210分
………14分
20 （）證明：
∴面//面2分
又面，所以bc//平面dae-------4分
（）取的中點，連線，∵，
∴⊥平面，二面角為直二面角，
由於為正三角形，所以，且，所以平面6分
所以四稜錐d—aefb的體積8分
()如圖延長到，使，鏈結，
則三稜柱恰為正三稜柱，
所以平面，由於，所以，
所以為二面角的平面角11分
直角三角形中，
所以13分
即平面與平面所成銳二面角的余弦值為
由於面//面
所以面與面所成銳二面角的余弦值為14分。
（解法之二）
如圖以ae中點為原點，ae為x軸建立如圖所示的空間直角座標系
則a（-1，0，0），d（0，0，），b（-1，-2，0），e（1，0，0），f（1，-2，0）----10分
因為，所以
易知是平面ade的乙個法向量，
設平面bcd的乙個法向量為
由令x=2，則y=211分
13分所以面與面所成銳二面角的余弦值為14分。
21解：（ⅰ）由題意可知橢圓的焦距，即1分
又因為圓與橢圓有且僅有兩個公共點，所以，所以----3分
所求橢圓的方程為4分
（ii）因為直線與圓相切，
所以原點o到直線的距離即5分
把直線代入橢圓方程可得
，設則7分
8分由於，所以，解得10分
() （其中）-----12分
由此可得14分
由於， 所以15分
22解：（ⅰ）由題意得，的定義域為，
1分①所以當時，，函式在定義域上單調遞增。此時函式無極值點；
②當時，有兩個相同的解，但當時，；當時，，所以當時，函式在上無極值點；------2分
③當時，有兩個不同解，，
所以當時，，捨去。
而，此時，當時，單調遞減，
當時，，單調遞增，
所以當時有惟一極小值點5分
當時，，此時，當時，單調遞增，
當時，單調遞減，
當時，單調遞增，
所以當時，
有乙個極大值點和乙個極小值點7分
綜上所述，當且僅當時，有極值點：
當時有惟一極小值點；
當時，有乙個極大值點和乙個極小值點
解法二：（ⅰ）由題意得，的定義域為，
2分如圖作出函式的圖象，-----3分
當時，由可解得
由圖象可知：當且僅當時，有極值點5分
當時有惟一極小值點6分
當時，有乙個極大值點和乙個極小值點------7分
（ii）由（ⅰ）可知當時，函式，
此時有惟一極小值點8分
且時，，所以在上為減函式。
因為當時， ，所以恒有10分
即恒有。
所以當時恒有成立11分
令函式，則，
所以當時，，又在處連續，所以時為增函式。--13分
因為當時，，所以，即，
所以，綜上可知，當時不等式都成立15分。
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