一對一個性化輔導教學案
教師： 學生年級： 高一學科：數學日期時段：
教務主任簽字：
§2.2.1 對數與對數運算（一）
¤知識要點：
1. 定義：一般地，如果，那麼數 x叫做以a為底 n的對數（logarithm）.記作，其中a叫做對數的底數，n叫做真數
2. 我們通常將以10為底的對數叫做常用對數（common logarithm），並把常用對數簡記為lgn 在科學技術中常使用以無理數e=2.71828……為底的對數，以e為底的對數叫自然對數，並把自然對數簡記作lnn
3. 根據對數的定義，得到對數與指數間的互化關係：當時，.
4. 負數與零沒有對數；，
¤例題精講：
【例1】將下列指數式化為對數式，對數式化為指數式：
（1）； （2）； （3）；
（4）； （5）； （6）ln100=4.606.
解：（1）； （2）； （3）；
（45）； （6）.
【例2】計算下列各式的值：（1）； （2）； （3）.
解：（1）設，則，即，解得. 所以，.
（2）設，則，即，解得. 所以，.
（3）設，則，即，解得. 所以，.
【例3】求證：（1）； （2）.
證明：（1）設，則，解得.
所以.（2）設，，則，.
因為，則.
所以，.
點評：對數運算性質是對數運算的靈魂，其推導以對數定義得到的指對互化關係為橋梁，結合指數運算的性質而得到. 我們需熟知各種運算性質的推導.
【例4】試推導出換底公式： （，且；，且；）.
證明：設，，，
則，，.
從而，即.
由於，則.
所以，.
點評：換底公式是解決對數運算中底數不相同時的核心工具. 其推導也密切聯絡指數運算性質，牢牢扣住指對互化關係.
§2.2.1 對數與對數運算（二）
¤學習目標：通過閱讀材料，了解對數的發現歷史以及對簡化運算的作用；理解對數的概念及其運算性質，知道用換底公式能將一般對數轉化成自然對數或常用對數；理解推導這些運算性質的依據和過程；能較熟練地運用運算性質解決問題.
¤知識要點：
1. 對數的運算法則：，，，其中，. 三條法則是有力的解題工具，能化簡與求值複雜的對數式.
2. 對數的換底公式. 如果令b=n，則得到了對數的倒數公式. 同樣，也可以推導出一些對數恒等式，如，，等.
¤例題精講：
【例1】化簡與求值：（1）；（2）.
解：（1）原式==
===.
（2）原式==
【例2】若，則教材p83 b組2題）
解：由，得，. 則
.【例3】 （1）方程的解x
（2）設是方程的兩個根，則的值是 .
解：（1）由，得，
即，整理為.
解得x=－5或x=2. ∵ x＞0， ∴ x=2.
（2）設，則原方程化為，其兩根為.
由，得到.
點評：同底法是解簡單對數方程的法寶，化同底的過程中需要結合對數的運算性質. 第2小題巧妙利用了換元思想和一元二次方程根與係數的關係.
【例4】（1）化簡：；
（2）設，求實數m的值.
解：（1）原式=.
（2）原式左邊=,
∴， 解得.
點評：換底時，一般情況下可以換為任意的底數，但習慣於化為常用對數. 換底之後，注意結合對數的運算性質完成後階段的運算.
§2.2.2 對數函式及其性質（一）
¤學習目標：通過具體例項，直觀了解對數函式模型所刻畫的數量關係，初步理解對數函式的概念，體會對數函式是一類重要的函式模型；能借助計算器或計算機畫出具體對數函式的影象，探索並了解對數函式的單調性與特殊點.
¤知識要點：
1. 定義：一般地，當a＞0且a≠1時，函式叫做對數函式(logarithmic function). 自變數是x； 函式的定義域是（0，+∞）.
2. 由與的圖象，可以歸納出對數函式的性質：定義域為，值域為r；當時，，即圖象過定點；當時，在上遞減，當時，在上遞增.
¤例題精講：
【例1】比較大小：（1），，； （2），，.
解：（1）∵在上是減函式，且， ∴.
又， 所以.
（2）由，得.
又，，所以.
【例2】求下列函式的定義域：（1）；（2）.
解：（1）由，得，解得.
所以原函式的定義域為.
（2）由，即，
所以，解得. 所以，原函式的定義域為.
【例3】已知函式的區間上總有，求實數a的取值範圍.
解：∵， ∴
當時，，即.
∵， ∴， 解得.
當時，，即.
∵， ∴， 解得.
綜上可得，實數a的取值範圍是.
點評：先對底數a分兩種情況討論，再利用函式的單調性及已知條件，列出關於引數a的不等式組，解不等式（組）而得到引數的範圍. 解決此類問題的關鍵是合理轉化與分類討論，不等式法求引數範圍.
【例4】求不等式中x的取值範圍.
解：當時，原不等式化為，解得.
當時，原不等式化為，解得.
所以，當時，x的取值範圍為；當時，x的取值範圍為.
點評：結合單調性，將對數不等式轉化為熟悉的不等式組，注意對數式有意義時真數大於0的要求. 當底數a不確定時，需要對底數a分兩種情況進行討論.
§2.2.2 對數函式及其性質（二）
¤學習目標：掌握對數函式的性質，並能應用對數函式解決實際中的問題. 知道指數函式y=ax 與對數函式y=loga x互為反函式. （a > 0, a≠1）
¤知識要點：
1. 當乙個函式是一一對映時, 可以把這個函式的因變數作為乙個新函式的自變數, 而把這個函式的自變數新的函式的因變數. 我們稱這兩個函式為反函式（inverse function）.
互為反函式的兩個函式的圖象關於直線對稱.
2. 函式與對數函式互為反函式.
3. 復合函式的單調性研究，口訣是「同增異減」，即兩個函式同增或同減，復合後結果為增函式；若兩個函式一增一減，則復合後結果為減函式. 研究復合函式單調性的具體步驟是：
（i）求定義域；（ii）拆分函式；（iii）分別求的單調性；（iv）按「同增異減」得出復合函式的單調性.
¤例題精講：
【例1】討論函式的單調性.
解：先求定義域，由, 解得. 設，易知為減函式.
又∵ 函式是減函式，故函式在上單調遞增.
【例2】（05年山東卷.文2）下列大小關係正確的是（ ）.
a. b.
c. d.
解：在同一座標系中分別畫出的圖象，分別作出當自變數x取3，0.4，0.3時的函式值.
觀察圖象容易得到：. 故選c.
【例3】指數函式的圖象與對數函式的圖象有何關係？
解：在指數函式的圖象上任取一點，則.
由指對互化關係，有.
所以，點在對數函式的圖象上.
因為點與點關於直線對稱，
所以指數函式的圖象與對數函式的圖象關於直線對稱.
點評：兩個函式的對稱性，由任意點的對稱而推證出來. 這種對稱性實質是反函式的圖象特徵，即函式與互為反函式，而互為反函式的兩個函式圖象關於直線對稱.
4 2 3對數函式詳盡教案
課題 4.2.3 對數函式 教學目標 知識目標 1 了解對數函式的影象及性質特徵 2 了解對數函式的實際應用.能力目標 1 觀察對數函式的影象，總結對數函式的性質，培養觀察能力 2 通過應用例項的介紹，培養學生數學思維能力和分析與解決問題能力.情感目標 1 體味對數函式的認知過程，樹立嚴謹的思維習慣...
2 2 2對數函式
課題 2.2.2對數函式 一 教學任務 知識與技能 通過具體例項，直觀了解對數函式模型所刻畫的數量關係，初步理解對數函式的概念，體會對數函式是一類重要的函式模型 過程與方法 能借助計算器或計算機畫出具體對數函式的圖象，探索並了解對數函式的單調性與特殊點 情感態度與價值觀 通過比較 對照的方法，引導學...
2 2 2對數函式
課題 2.1.2對數函式 一 教學任務 1 通過具體例項，直觀了解對數函式模型所刻畫的數量關係，初步理解對數函式的概念，體會對數函式是一類重要的函式模型 2 能借助計算器或計算機畫出具體對數函式的圖象，探索並了解對數函式的單調性與特殊點 3 通過比較 對照的方法，引導學生結合圖象模擬指數函式，探索研...