空間向量的應用及立體幾何綜合
基礎梳理
1. 模、夾角和距離公式設a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，
則|a|＝＝，
cos〈a，b〉＝＝.
設a(a1，b1，c1)，b(a2，b2，c2)，
則dab＝||＝
2．立體幾何中的向量方法
(1)直線的方向向量與平面的法向量的確定
①直線的方向向量：l是空間一直線，a，b是直線l上任意兩點，則稱為直線l的方向向量，與平行的任意非零向量也是直線l的方向向量．
②平面的法向量可利用方程組求出：設a，b是平面α內兩不共線向量，n為平面α的法向量，則求法向量的方程組為
(2)用向量證明空間中的平行關係
①設直線l1和l2的方向向量分別為v1和v2，則l1∥l2(或l1與l2重合)v1∥v2.
②設直線l的方向向量為v，與平面α共面的兩個不共線向量v1和v2，則l∥α或lα存在兩個實數x，y，使v＝xv1＋yv2.
③設直線l的方向向量為v，平面α的法向量為u，則l∥α或lαv⊥u.
④設平面α和β的法向量分別為u1，u2，則α∥βu1∥u2.
(3)用向量證明空間中的垂直關係
①設直線l1和l2的方向向量分別為v1和v2，則l1⊥l2v1⊥v2v1·v2＝0.
②設直線l的方向向量為v，平面α的法向量為u，則l⊥αv∥u.
③設平面α和β的法向量分別為u1和u2，則α⊥βu1⊥u2u1·u2＝0.
(4)點麵距的求法
如圖，設ab為平面α的一條斜線段，n為平面α的法向量，則b到平面α的距離d＝.
3. (1)設異面直線l1，l2的方向向量分別為m1，m2，則l1與l2的夾角θ滿足cos θ＝|cos〈m1，m2〉|.
(2)設直線l的方向向量和平面α的法向量分別為m，n，則直線l與平面α的夾角θ滿足sin θ＝|cos〈m，n〉|.
(3)求二面角的大小
(ⅰ)如圖①，ab、cd是二面角αlβ的兩個麵內與稜l垂直的直線，則二面角的大小θ＝〈，〉．
(ⅱ)如圖②③，n1，n2分別是二面角αlβ的兩個半平面α，β的法向量，則二面角的大小θ滿足cos θ＝cos〈n1，n2〉或－cos〈n1，n2〉．
例題精選
1.如圖所示，在正方體abcda1b1c1d1中，m、n分別是c1c、b1c1的中點．求證：mn∥平面a1bd.
2. 如圖所示，在四稜錐pabcd中，pa⊥底面abcd，ab⊥ad，ac⊥cd，∠abc＝60°，pa＝ab＝bc，e是pc的中點．證明：
(1)ae⊥cd；
(2)pd⊥平面abe.
3. 在三稜錐sabc中，△abc是邊長為4的正三角形，平面sac⊥平面abc，sa＝sc＝2，m、n分別為ab、sb的中點，如圖所示，求點b到平面cmn的距離．
4. 如圖，△bcd與△mcd都是邊長為2的正三角形，平面mcd⊥平面bcd，ab⊥平面bcd，ab＝2.
(1)求點a到平面mbc的距離；
(2)求平面acm與平面bcd所成二面角的正弦值．
5. 如圖，四稜錐pabcd中，pa⊥底面abcd.四邊形abcd中，ab⊥ad，ab＋ad＝4，cd＝，∠cda＝45°.
(1)求證：平面pab⊥平面pad；
(2)設ab＝ap.
(ⅰ)若直線pb與平面pcd所成的角為30°，求線段ab的長；
(ⅱ)**段ad上是否存在乙個點g，使得點g到點p、b、c、d的距離都相等？說明理由．
6. 已知abcda1b1c1d1是底面邊長為1的正四稜柱，高aa1＝2，求
(1)異面直線bd與ab1所成角的余弦值；
(2)四面體ab1d1c的體積．
7. 已知正方體abcda1b1c1d1中，e為c1d1的中點，則異面直線ae與bc所成角的余弦值為________．
8. 如圖所示，已知點p在正方體abcda′b′c′d′的對角線bd′上，∠pda＝60°.
(1)求dp與cc′所成角的大小；
(2)求dp與平面aa′d′d所成角的大小．
9. 已知三稜錐pabc中，pa⊥平面abc，ab⊥ac，pa＝ac＝ab，n為ab上一點，ab＝4an，m，s分別為pb，bc的中點．
(1)證明：cm⊥sn；
(2)求sn與平面cmn所成角的大小．
10. 如圖，四稜錐pabcd中，底面abcd為平行四邊形，∠dab＝60°，ab＝2ad，pd⊥底面abcd.
(1)證明：pa⊥bd；
(2)若pd＝ad，求二面角apbc的余弦值．
11. 如圖，四邊形abcd為正方形，pd⊥平面abcd，pd∥qa，qa＝ab＝pd.
(1)證明：平面pqc⊥平面dcq；
(2)求二面角q bpc的余弦值．
12. 如圖，四稜錐p-abcd中，底面abcd為菱形，pa⊥底面abcd，ac=pa=2，e是pc上的一點，pe=2ec.
(1)證明pc⊥平面bed；
(2)設二面角a-pb-c為90°，求pd與平面pbc所成角的大小.
13. 如圖，三稜柱abc－a1b1c1中，側稜垂直底面，∠acb=90°，ac=bc=aa1，d是稜aa1的中點
(1)證明：平面bdc1⊥平面bdc
(2)平面bdc1分此稜柱為兩部分，求這兩部分體積的比.
14.（13大綱） 已知圓和圓是球的大圓和小圓,其公共弦長等於球的半徑, ,且圓與圓所在的平面所成的乙個二面角為,則球的表面積等於______.
15．如圖,在長方體abcd-a1b1c1d1中,ab=2,ad=1,a1a=1,證明直線bc1平行於平面da1c,並求直線bc1到平面d1ac的距離.
16. （13新課標）如圖,三稜柱abc-a1b1c1中,ca=cb,ab=a a1,∠ba a1=60°.
(1)證明ab⊥a1c;
(2)若平面abc⊥平面aa1b1b,ab=cb=2,求直線a1c 與平面bb1c1c所成角的正弦值.
17.（13江蘇）如圖,在直三稜柱中點是的中點
(1)求異面直線與所成角的余弦值
(2)求平面與所成二面角的正弦值.
18. （13大綱）如圖,四稜錐，與都是等邊三角形.
(1)證明
()求二面角的大小.
19. (13湖南)如圖5,在直稜柱,.
(1)證明: ;
()求直線所成角的正弦值.
20. 如圖1，在rt△abc中，∠c=90°，bc=3，ac=6，d，e分別是ac，ab上的點，且de∥bc，de=2，將△ade沿de折起到△a1de的位置，使a1c⊥cd,如圖2.
(i)求證：a1c⊥平面bcde；
(ii)若m是a1d的中點，求cm與平面a1be所成角的大小；
(iii)線段bc上是否存在點p，使平面a1dp與平面a1be垂直？說明理由
答案：1-2略;3. ;4.
(1) (2) ;5.(2) (3)不存在;6.(1) (2) ;7.
;8.(1) 45°(2) 60°;9.(2) 45°;10.
(2) －;11. －;12.(2) 14.
16；15. ；16.（2）；17.
（1）（2）； 18.（2）cos ；
19. ;
空間向量的應用
05級數學專公升本劉海鋒 053091049 指導老師 李文銘教授 摘要高中數學新教材中，空間向量的應用是教學的重點與難點，它既豐富多彩又靈活多樣。在應用過程中，要始終抓住向量的基本知識及如何恰到好處的建立直角座標系，使問題中的有關量符號化 向量化 然後運用向量的知識順利進行計算與推理，為解決立體幾...
練習及總結 空間向量的應用
空間向量的應用 一 基本概念 1 1 用空間向量處理 平行 問題 設直線的方向向量分別為，平面的法向量分別為，則 線線平行 線面平行 面面平行 2 用空間向量處理 垂直 問題 設直線的方向向量分別為，平面的法向量分別為，則 線線垂直 線面垂直 是兩條相交的直線 線面垂直 面面垂直 3 設直線的方向向...
空間向量應用學練稿
3.2 立體幾何中的向量方法 二 利用向量方法求角 學習指導語 能用向量的方法解決線線 線面 麵麵的夾角的計算問題 一 問題情境 我們知道，空間兩條異面直線所成的角可轉化為兩條相交直線所成的銳角或直角 斜線與平面所成的角是指斜線與它在平面內的射影所成的銳角 兩個平面所成的角是用二面角的平面角來度量。...