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2023年石景山區高三統一測試
數學(文)試卷
第一部分(選擇題共40分)
一、選擇題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題列出的四個選項中,選出符合題目要求的一項.
1.設集合,集合,則( )
ab.cd.2.下列函式中既是奇函式,又在區間上是單調遞減的函式為( )
a. b. c. d.
3.執行如圖所示的程式框圖,輸出的結果是( )
a. b. c. d.
4.設滿足約束條件則下列不等式恆成立的是( )
abc. d.
5.已知平面向量滿足,與的夾角為,若,則
實數的值為( )
a. bc. d.
6. 「」是「」的( )
a.充分不必要條件b.必要不充分條件
c.充要條件d.既不充分也不必要條件
7. 若某多面體的三檢視(單位:)如圖所示,
則此多面體的體積是( )
ab.cd.
8.如圖,已知線段上有一動點(異於),線段,且滿足(是大於且不等於的常數),則點的運動軌跡為( )
a.圓的一部分 b.橢圓的一部分
c.雙曲線的一部分 d.拋物線的一部分
第二部分(非選擇題共110分)
二、填空題共6小題,每小題5分,共30分.
9.複數
10.雙曲線的焦距是________,漸近線方程是
11.若圓的半徑為,其圓心與點關於直線對稱,則圓的標準方程為
12.在中,,,,則的面積等於________.
13.在等差數列中,如果是與的等比中項,那麼_____.
14.已知函式.
①當時,函式的零點個數為
②如果函式恰有兩個零點,那麼實數的取值範圍為
三、解答題共6小題,共80分.解答應寫出文字說明,演算步驟或證明過程.
15.(本小題共13分)
已知函式.
(ⅰ)求函式的最小正週期;
(ⅱ)求函式在區間上的最小值和最大值.
16.(本小題共13分)
在等差數列中,,其前項和滿足.
(ⅰ)求實數的值,並求數列的通項公式;
(ⅱ)若數列是首項為,公比為的等比數列,求數列的前項和.
17.(本小題共13分)
搶「微信紅包」已經成為中國百姓歡度春節時非常喜愛的一項活動.小明收集班內
20名同學今年春節期間搶到紅包金額(元)如下(四捨五入取整數):
102 52 41 121 72
162 50 22 158 46
43 136 95 192 59
99 22 68 98 79
對這20個資料進行分組,各組的頻數如下:
(ⅰ)寫出m,n的值,並回答這20名同學搶到的紅包金額的中位數落在哪個組別;
(ⅱ)記c組紅包金額的平均數與方差分別為、,e組紅包金額的平均數與方差分別為、,試分別比較與、與的大小;(只需寫出結論)
(ⅲ)從a,e兩組所有資料中任取2個,求這2個資料差的絕對值大於100的概率.
18.(本小題共14分)
如圖,在三稜錐中,已知是正三角形,平面,,為的中點,在稜上,且.
(ⅰ)求三稜錐的體積;
(ⅱ)求證:平面;
(ⅲ)若為中點,在稜上,且,
求證: //平面.
19.(本小題共13分)
已知橢圓e: 的離心率,焦距為.
(ⅰ)求橢圓e的方程;
(ⅱ)若分別是橢圓e的左、右頂點,動點滿足,連線,交橢圓e於點.證明:為定值(為座標原點).
20.(本小題共14分)
設函式,.
(ⅰ)當時,求函式的極小值;
(ⅱ)討論函式零點的個數;
(ⅲ)若對任意的,恆成立,求實數的取值範圍.
2023年石景山區高三統一測試
數學(文)試卷答案及評分參考
一、選擇題共8小題,每小題5分,共40分.
二、填空題共6小題,每小題5分,共30分.
三、解答題共6小題,共80分.
15.(本小題滿分13分)
解:(ⅰ)
5分所以週期為6分
(ⅱ)因為,
所以7分
所以當時,即時.
當時,即時13分
16.(本小題滿分13分)
解:(ⅰ)設等差數列的公差為,
因為2分
所以,所以4分
所以,所以.
所以6分
(ⅱ)由(ⅰ)知,
所以.所以9分
所以13分
17.(本小題13分)
解:(ⅰ)m=4,n=2,b3分
(ⅱ)<, <6分
(ⅲ)a組兩個資料為22,22,e組兩個資料為162,192
任取兩個資料,可能的組合為
(22,22),(22,162),(22,192),(22,162),(22,192),(162,192),
共6種結果
記資料差的絕對值大於100為事件a,事件a包括4種結果
所以13分
18.(本小題14分)
解:(ⅰ)因為是正三角形,且,
所以2分
又⊥平面3分
故s△bcd. ………………4分
(ⅱ)在底面中,取的中點,連線,
因,故.
因,故為的中點.
又為的中點,故∥,
故.……5分
因平面,平面,
故平面平面.
是正三角形,為的中點,
故,故平面7分
平面,故8分
又,故平面9分
(ⅲ)當時,連,設,連.
因為的中點,為中點,
故為△的重心10分
因,,故,
所以12分
又平面,平面,所以∥平面. ……14分
19.(本小題13分)
(ⅰ)解:因為, 所以1分
因為,所以3分
因為, 所以4分
所以橢圓方程為5分
(ⅱ)方法一:
證明:c(-2,0),d(2,0),
設,則7分
直線cm:,即8分
代入橢圓方程,
得,所以10分
所以.所以12分
所以·=.
即·為定值13分
方法二:設,
由可得,即.
∵點在上
∴.∴.
∴為定值.
方法三:因為直線不在軸上,故可設.
由得,∴,即.
在直線中令,則,即.
∴.∴為定值.
20.(本小題14分)
解:(ⅰ)因為,
所以當時,,在上單調遞減;
當時,,在上單調遞增;
所以當時,取得極小值3分
(ⅱ),
令,得.
設,則.
所以當時,,在上單調遞增;
當時,,在上單調遞減;
所以的最大值為,又,可知:
當時,函式沒有零點;
當或時,函式有且僅有1個零點;
③當時,函式有2個零9分
(ⅲ)原命題等價於恒成立..
設,則等價於在上單調遞減.
即在上恆成立,
所以恆成立,
所以.即的取值範圍是14分
【注:若有其它解法,請酌情給分】
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