高中數學常用公式及常用結論
1. 元素與集合的關係
,.2.德摩根公式
3.包含關係
4．集合的子集個數共有個；真子集有–1個；非空子集有–1個；非空的真子集有–2個.
5.二次函式的解析式的三種形式
(1)一般式;
(2)頂點式;
(3)零點式.
6.方程在上有且只有乙個實根,與不等價,前者是後者的乙個必要而不是充分條件.特別地, 方程有且只有乙個實根在內,等價於,或且,或且.
7.閉區間上的二次函式的最值
二次函式在閉區間上的最值只能在處及區間的兩端點處取得，具體如下：
(1)當a>0時，若，則；
，，.(2)當a<0時，若，則，若，則，.
8.一元二次方程的實根分布
依據：若，則方程在區間內至少有乙個實根 .
設，則（1）方程在區間內有根的充要條件為或；
（2）方程在區間內有根的充要條件為或或或；
（3）方程在區間內有根的充要條件為或.
9.定區間上含引數的二次不等式恆成立的條件依據
(1)在給定區間的子區間（形如，，不同）上含引數的二次不等式(為引數)恆成立的充要條件是.
(2)在給定區間的子區間上含引數的二次不等式(為引數)恆成立的充要條件是.
(3)恆成立的充要條件是或.
10.真值表
11.常見結論的否定形式
12.四種命題的相互關係
原命題互逆逆命題
若ｐ則若ｑ則ｐ
互互互為為互
否否逆逆 否否
否命題逆否命題
若非ｐ則非ｑ 互逆若非ｑ則非ｐ
13.充要條件
（1）充分條件：若，則是充分條件.
（2）必要條件：若，則是必要條件.
（3）充要條件：若，且，則是充要條件.
注：如果甲是乙的充分條件，則乙是甲的必要條件；反之亦然.
14.函式的單調性
(1)設那麼
上是增函式；
上是減函式.
(2)設函式在某個區間內可導，如果，則為增函式；如果，則為減函式.
15.如果函式和都是減函式,則在公共定義域內,和函式也是減函式; 如果函式和在其對應的定義域上都是減函式,則復合函式是增函式.（同增異減）
16．奇偶函式的圖象特徵
奇函式的圖象關於原點對稱，偶函式的圖象關於y軸對稱;反過來，如果乙個函式的圖象關於原點對稱，那麼這個函式是奇函式；如果乙個函式的圖象關於y軸對稱，那麼這個函式是偶函式．
17.若函式是偶函式，則；若函式是偶函式，則.
18.對於函式(),恆成立,則函式的對稱軸是函式;兩個函式與的圖象關於直線對稱.
19.若,則函式的圖象關於點對稱; 若,則函式為週期為的週期函式.
20．多項式函式的奇偶性
多項式函式是奇函式的偶次項(即奇數項)的係數全為零.
多項式函式是偶函式的奇次項(即偶數項)的係數全為零.
21.函式的圖象的對稱性
(1)函式的圖象關於直線對稱
.(2)函式的圖象關於直線對稱
.22.兩個函式圖象的對稱性
(1)函式與函式的圖象關於直線(即軸)對稱.
(2)函式與函式的圖象關於直線對稱.
(3)函式和的圖象關於直線y=x對稱.
23.若將函式的圖象右移、上移個單位，得到函式的圖象；若將曲線的圖象右移、上移個單位，得到曲線的圖象.
24．互為反函式的兩個函式的關係
.25.若函式存在反函式,則其反函式為,並不是,而函式是的反函式.
26.幾個常見的函式方程
(1)正比例函式, (2)指數函式,.
(3)對數函式,.
(4)冪函式,.
(5)余弦函式,正弦函式，，
. 27.幾個函式方程的週期(約定a>0)
（1），則的週期t=a；
（2），
或，或,
或,則的週期t=2a；
(3)，則的週期t=3a；
(4)且，則的週期t=4a；
(5),則的週期t=5a；
(6)，則的週期t=6a.
28.分數指數冪
(1)（，且）.
(2)（，且）.
29．根式的性質
（1）.
（2）當為奇數時，；
當為偶數時，.
30．有理指數冪的運算性質
(1) .
(2).
(3).
注： 若a＞0，p是乙個無理數，則ap表示乙個確定的實數．上述有理指數冪的運算性質，對於無理數指數冪都適用.
31.指數式與對數式的互化式
.32.對數的換底公式
(,且, ,且,).
推論 (,且, ,且, ,).
33．對數的四則運算法則
若a＞0，a≠1，m＞0，n＞0，則
(1);
(2);
(3).
34.設函式,記.若的定義域為,則，且;若的值域為,則，且.對於的情形,需要單獨檢驗.
35. 對數換底不等式及其推廣
若, , , ,則函式
(1)當時,在和上為增函式.
， (2)當時,在和上為減函式.
推論:設，，，且，則
（1）.
（2）.
36. 平均增長率的問題
如果原來產值的基礎數為n，平均增長率為，則對於時間的總產值，有.
37.數列的同項公式與前n項的和的關係
( 數列的前n項的和為).
38.等差數列的通項公式
；其前n項和公式為
.39.等比數列的通項公式
；其前n項的和公式為
或.40.等比差數列:的通項公式為
；其前n項和公式為
.41.看數列是不是等差數列有以下三種方法：
①②2()
③(為常數).
看數列是不是等比數列有以下四種方法：
①②(，)①
③（p、r為常數）用①轉化等差，等比數列；②逐項選代；③消去常數n轉化為的形式，再用特徵根方法求；（難）
④（公式法），由確定.
①轉化等差，等比：.
②選代法：
在等差數列｛｝中,有關sn 的最值問題：(1)當》0,d<0時，滿足的項數m使得取最大值. (2)當<0,d>0時，滿足的項數m使得取最小值。
在解含絕對值的數列最值問題時,注意轉化思想的應用。
42.數列求和的常用方法
（1） 公式法:適用於等差、等比數列或可轉化為等差、等比數列的數列。
（2）.裂項相消法:適用於其中是各項不為0的等差數列，c為常數；部分無理數列、含階乘的數列等。
（3.）錯位相減法:適用於其中是等差數列，是各項不為0的等比數列。
（ 4.）倒序相加法: 類似於等差數列前n項和公式的推導方法.
（5）.常用結論
43.分期付款(按揭貸款)
每次還款元(貸款元,次還清,每期利率為).
44．常見三角不等式
（1）若，則.
(2) 若，則.
(3).
45.同角三角函式的基本關係式， =，.
46.正弦、余弦的誘導公式（奇變偶不變，符號看象限）
47.和角與差角公式
;;.(平方正弦公式);
.= (輔助角所在象限由點的象限決定, ).
48.二倍角公式 ...
49.三角函式的週期公式
函式，x∈r及函式，x∈r(a,ω,為常數，且a≠0，ω＞0)的週期；函式， (a,ω,為常數，且a≠0，ω＞0)的週期.
50.正弦定理
.49.餘弦定理;;
.51.面積定理
（1）（分別表示a、b、c邊上的高）.
（2）.
(3).
52.三角形內角和定理
在△abc中，有
.53.實數與向量的積的運算律
設λ、μ為實數，那麼
(1) 結合律：λ(μa)=(λμ)a;
(2)第一分配律：(λ+μ)a=λa+μa;
(3)第二分配律：λ(a+b)=λa+λb.
54.向量的數量積的運算律：
(1) a·b= b·a （交換律）;
(2)（a）·b=（a·b）=a·b= a·（b）;
(3)（a+b）·c= a ·c +b·c.
55.平面向量基本定理
如果e1、e 2是同一平面內的兩個不共線向量，那麼對於這一平面內的任一向量，有且只有一對實數λ1、λ2，使得a=λ1e1+λ2e2．
不共線的向量e1、e2叫做表示這一平面內所有向量的一組基底．
56．向量平行的座標表示
設a=,b=，且b0，則ab(b0).
57. a與b的數量積(或內積)
a·b=|a||b|cosθ．
58. a·b的幾何意義
數量積a·b等於a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘積．
59.平面向量的座標運算
(1)設a=,b=，則a+b=.
(2)設a=,b=，則a-b=.
(3)設a，b,則.
(4)設a=，則a=.
(5)設a=,b=，則a·b=.
60.兩向量的夾角公式
(a=,b=).
61.平面兩點間的距離公式
=(a，b).
62.向量的平行與垂直
設a=,b=，且b0，則
a||bb=λa.
ab(a0) a·b=0.
63.線段的定比分公式
設，，是線段的分點,是實數，且，則
（）.64.三角形的重心座標公式
△abc三個頂點的座標分別為、、,則△abc的重心的座標是.
65.點的平移公式
.注:圖形f上的任意一點p(x，y)在平移後圖形上的對應點為，且的座標為.
66.「按向量平移」的幾個結論
（1）點按向量a=平移後得到點.
(2) 函式的圖象按向量a=平移後得到圖象,則的函式解析式為.
(3) 圖象按向量a=平移後得到圖象,若的解析式,則的函式解析式為.
(4)曲線:按向量a=平移後得到圖象,則的方程為.
(5) 向量m=按向量a=平移後得到的向量仍然為m=.
67. 三角形五「心」向量形式的充要條件
設為所在平面上一點，角所對邊長分別為，則
（1）為的外心.
（2）為的重心.
（3）為的垂心.
（4）為的內心.
（5）為的的旁心.
68.常用不等式：
（1） (當且僅當a＝b時取「=」號)．
（2） (當且僅當a＝b時取「=」號)．
（3）（4）.
69.極值定理
已知都是正數，則有
（1）若積是定值，則當時和有最小值；
（2）若和是定值，則當時積有最大值.
推廣已知，則有
（1）若積是定值,則當最大時,最大；
當最小時,最小.
（2）若和是定值,則當最大時,最小；
高中數學知識點總結
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