例題分析一
例1 設準確值x*=π =3．1415926，當分別取近似值x=3．14和x=3．1416和x=3．1415時，求絕對誤差、絕對誤差限及有效數字位數。
解：近似值x=3．14＝0.314×101，即m=1，
它的絕對誤差是 －0．0015926…，有
│x-x*│=0.0015926…≤0.5×101-3
即n=3，故x=3．14有3位有效數字。x=3．14準確到小數點後第2位，又近似值x=3.1416，它的絕對誤差是0.0000074…，有
│x-x*│=0.0000074…≤0.5×101-5
即m=1，n＝5，x=3.1416有5位有效數字。而近似值x=3.1415，它的絕對誤差是0.0000926…，有
│x-x*│=0.0000926…≤0.5×101-4
即m=1，n＝4，x=3．1415有4位有效數字。
這就是說某數有s位數，若末位數字是四捨五入得到的，那麼該數有s位有效數字；
例2 指出下列各數具有幾位有效數字，及其絕對誤差限和相對誤差限：
2．0004 －0．00200 9000 9000．00
解：因為x1=2．0004＝0．20004×101，它的絕對誤差限0．00005=0．5×101-5，即m=1，n=5，故x=2．0004有5位有效數字。 a1=2，相對誤差限；
x2=－0．00200，絕對誤差限0．000005，因為m=－2，n=3，x2=－0．00200有3位有效數字。 a1=2，相對誤差限
x3=9000，絕對誤差限為0．5×100，因為m=4, n=4，x3=9000有4位有效數字，a=9，相對誤差限
x4=9000．00，絕對誤差限0．005，因為m=4，n=6，x4=9000．00有6位有效數字，相對誤差限為
由x3與x4可以看到小數點之後的0，不是可有可無的，它是有實際意義的。
例3 ln2=0．69314718…，精確到10－3的近似值是多少？
解：精確到10-3＝0．001，意旨兩個近似值x1，x2滿足│x1-x2│≤0．001，由於近似值都是四捨五入得到的，要求滿足│x1-x2│≤0．001，近似值的絕對誤差限應是ε＝0．0005，故至少要保留小數點後三位才可以。故in2≈0．693。
例4 試利用f(x)的資料表
計算積分，並估計計算誤差．
分析在f(x)的表示式不知道的情況下，如何去求f(x)的積分值呢?若利用本章的知識，即可利用已知的f(x)的資料表構造f(x)的二次插值多項式p2(x)，以作為f(x)的近似函式，並進而以p2(x)的積分值作為所求積分值的近似。至於誤差的計算，也可由誤差f(x)-p2(x)出發進行估計。
解：根據拉格朗日插值公式，利用給定的資料表，可構造出f(x)的二次插值多項式
插值餘項為
．由此得積分近似值
積分值的誤差為
其中例5 給定f(x)在節點a，b上的函式值與導數值f(a)，f(b)，f′(a)。試求乙個二次多值式h2(x)，使之滿足插值條件
h2(x)=f(a)，h2(x)=f(b)，
1) 分析構造插值多項式的基本方法是基函式法，即對每乙個插值條件建立乙個與之相應的插值基函式。基函式的形式要與所求的插值函式相一致。然後用給定的插值資料與基函式作線性組合，就可得到所求的插值函式。
解：法一與(1)中三個插值條件相應，依次建立三個插值基函式，是二次多項式且滿足標準的基函式插值條件
利用待定係數法容易求得
則所求的二次插值多項式為
法二可先根據給定條件h2(x)=f(a)，h2(b)=f(b)作出牛頓插值(或拉格朗日插值)多項式，然後再加帶有待定係數的一項，所加項自然應保證在a，b處取值為零，故而可取k(x-a)·(x-b)，再由條件確定待定係數k。
設h2(x)=f(a)+f[a，b](x-a)+k(x-a)(x-b)。於是
所以注由於二次多項式由h2(a)，f(b)，f′(a)三個條件所唯一確定，所以本題由各種方法所求得的解，實質上是相同的。
例題分析二
例6 已知函式y=f(x)的觀察資料為
試構造f(x)的拉格朗日多項式pn(x)，並計算f(－1)。
解：先構造基函式
所求三次多項式為：
例7 已知函式y=f(x)的資料如表中第2，3列。計算它的各階均差。
解：依據均差計算公式，結果列表中。
計算公式為：
一階均差
二階均差
………例8 設x0，x1，x2，…，xn是n+1個互異的插值節點，lk(x)(k=0，1，2，…，n)是拉格朗日插值基函式，證明：
證明當f(x)=1時，
由於，故有.
例9 已知資料表如下：
用最小二乘法求擬合這組資料的曲線。
分析首先根據已知資料，在座標平面上畫出相應的點，然後再畫出曲線的粗略圖形。如圖3．1。
由圖形確定擬合函式的型別。在具體問題中也可結合考慮問題的物理意義和經驗。
最後由最4'－乘法建立法方程組，求出待定的引數，即可得擬合曲線的方程。並可比較擬合值、實驗值算出各點的誤差
圖3．1
解：根據圖3．1，取冪函式y=axb作擬合函式，其中a，b 為待定引數。根據曲線擬合的思想，令
由 (a，b)求出a，b．由極值的必要條件得方程組
這是關於a、b的非線性方程組，求解很困難。
於是，將問題轉化為線性問題求解。為此，將y=axb兩邊取對數有
lgy=lga+blgx.
令ω=lgy，z=lgx，c=lga。上式化為
ω=c+bz
由(xi，yi)可得到相應的(zi，ωi)，於是得如下資料表：
這樣，待定係數c，b即為內容提要中所述的和的線性組合係數。建立c，b所滿足的法方程組
其中 由方程組(1)解得c=0．1624，b=2．0150。從而a=10c=1．4534，y=1．4534，x2.0150。
比較擬合值、實驗值並算出各點的誤差如下表
注：通常針對一組資料的圖形，可以選擇不同的擬合函式類進行求解，最後按誤差大小決定取捨。
例題分析三
例10 滿足條件p(0)=p′(0)=0，p(1)=1，p(2)=2的插值多項式p(x
解：設所求的為p(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3
由插值條件知
解之得a2=3/2 a3=－1/2
所求的插值多項式為p(x)=－1/2x3+3/2x2
例11 選擇填空題
1.通過四個互異節點的插值多項式p(x)，只要滿足( )，則p(x)是不超過一次的多項式。
(a)初始值y0=0 (b)一階均差為0 (c)二階均差為0 (d)三階均差為0
解答：因為二階均差為0，那麼牛頓插值多項式為n(x)=f(x0)+f(x0，x1)(x-x0)它是不超過一次的多項式。故選擇(c)正確。
2. 拉格朗日插值多項式的餘項是( )，牛頓插值多項式的餘項是( )
(a)(b) f(x，x0，x1，x2，…，xn)(x－x1)(x－x2)…(x－xn－1)(x－xn)
(c)(d)f(x，x0，x1，x2，…，xn)(x－x0)(x－x1)(x－x2)…(x－xn－1)(x－xn)
解答：(a)，(d)。
例12 證明方程1－x－sinx＝0在區間[0，1]內有乙個根，使用二分法求誤差不超過0．5×10-4的根要迭代多少次？
證明令f(x)＝1－x－sinx，
∵f(0)=1>0，f(1)=－sin1<0
∴f(x)=1－x－sinx=0在[0，1]有根。又
f(x)=1－cosx>0(x∈[0.1])，故f(x)＝0在區間[0，1]內有唯一實根。
給定誤差限ε＝0．5×10-4，有
只要取n＝14。
例13 證明：方程f(x)=x3+4x2-10=0在[1，2]內有乙個根，並用對分法求此根；若要求誤差│xn-x*│≤ε=10-5，估計至少需要對分多少次?
分析若連續函式f(x)滿足f(a)·f(b)<0，由介值定理知，存在x*∈[a，b]，使f(x*)=0假設f(x)於[a，b]上還單調，則f(x)=0於[a，b]上有唯一根x*。由對分法公式，記，計算f(x1)，若f(x1)=0，則x1即為所求根x*；若f(x1)·f(a1)>0，則取a2=a1，b2=x1，否則取a2=a1，b2=x1。繼續下一步，計算，這樣得到
為要使│xn-x*│≤ε，只需有。
解：易見f(x)在［1，2］上連續，f(1)=-5，f(2)=14，且f′(x)=3x2+8x>0，x∈[1，2]，故f(x)=0在[1，2]內有唯一根。
為使誤差│xn-x*│≤10-5，只需，即16．6，所以只需對分17次就能達到給定的精度。具體計算結果列於表1。
注 x12=1．364990234，而x*=1．36523001。
例14 用迭代法求方程x5－4x－2＝0的最小正根。計算過程保留4位小數。
[分析] 容易判斷[1，2]是方程的有根區間。若建立迭代格式，即，此時迭代發散。
建立迭代格式
，此時迭代收斂。
解：建立迭代格式
，取初始值x0=1
取x*≈1.5185
計算方法例題
一 例6 設，則 和答案 例7 已知函式的資料如表中第1，2列。計算它的各階差商和的形式，並估計相對於其誤差。解 依據差商計算公式，結果列表中。計算公式為 一階差商 二階差商 由於形式未知，顯然不能通過餘項定理來估計誤差，可採用牛頓插值的餘項形式來估計 插值點，假設四階差商變化不大 從而有誤差估計 ...
計算方法 C 例題
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