中考數學例題講解
【例1】如圖10,平行四邊形abcd中,ab=5,bc=10,bc邊上的高am=4,e為bc邊上的乙個動點(不與b、c重合).過e作直線ab的垂線,垂足為f.fe與dc的延長線相交於點g,鏈結de,df。
(1)求證:δbef∽δceg.
(2)當點e**段bc上運動時,△bef和△ceg的周長之間有什麼關係?並說明你的理由.
(3)設be=x,△def的面積為y,請你求出y和x之間的函式關係式,並求出當x為何值時,y有最大值,最大值是多少?
解析過程及每步分值
(1) 因為四邊形abcd是平行四邊形, 所以 1分
所以所以 3分
(2)的周長之和為定值. 4分
理由一:
過點c作fg的平行線交直線ab於h ,
因為gf⊥ab,所以四邊形fhcg為矩形.所以 fh=cg,fg=ch
因此,的周長之和等於bc+ch+bh
由 bc=10,ab=5,am=4,可得ch=8,bh=6,
所以bc+ch+bh=24 6分
理由二:
由ab=5,am=4,可知
在rt△bef與rt△gce中,有:
,所以,△bef的周長是, △ecg的周長是
又be+ce=10,因此的周長之和是24. 6分
(3)設be=x,則
所以 8分
配方得:.
所以,當時,y有最大值. 9分
最大值為. 10分
【例2】如圖二次函式y=ax2+bx+c(a>0)與座標軸交於點a、b、c且oa=1
ob=oc=3.
(1)求此二次函式的解析式.
(2)寫出頂點座標和對稱軸方程.
(3)點m、n在y=ax2+bx+c的影象上(點n在點m的右邊),且mn∥x軸,求以mn為直徑且與x軸相切的圓的半徑.
解析過程及每步分值
(1)依題意分別代入 1分
解方程組得所求解析式為 4分
(2) 5分
頂點座標,對稱軸 7分
(3)設圓半徑為,當在軸下方時,點座標為 8分
把點代入得 9分
同理可得另一種情形
圓的半徑為或 10分
【例3】已知兩個關於的二次函式與當時,;且二次函式的圖象的對稱軸是直線.
(1)求的值;
(2)求函式的表示式;
(3)在同一直角座標系內,問函式的圖象與的圖象是否有交點?請說明理由.
解析過程及每步分值
(1)由
得. 又因為當時,,即,
解得,或(捨去),故的值為.
(2)由,得,
所以函式的圖象的對稱軸為,
於是,有,解得,
所以.(3)由,得函式的圖象為拋物線,其開口向下,頂點座標為;
由,得函式的圖象為拋物線,其開口向上,頂點座標為;
故在同一直角座標系內,函式的圖象與的圖象沒有交點.
【例4】如圖,拋物線與x軸分別相交於點b、o,它的頂點為a,連線ab,把ab所的直線沿y軸向上平移,使它經過原點o,得到直線l,設p是直線l上一動點.
(1)求點a的座標;
(2)以點a、b、o、p為頂點的四邊形中,有菱形、等腰梯形、直角梯形,請分別直接寫出這些特殊四邊形的頂點p的座標;
(3)設以點a、b、o、p為頂點的四邊形的面積為s,點p的橫座標為x,當時,求x的取值範圍.
解析過程及每步分值
解:(1)∵
∴a(-2,-4)
(2)四邊形abp1o為菱形時,p1(-2,4)
四邊形abop2為等腰梯形時,p1()
四邊形abp3o為直角梯形時,p1()
四邊形abop4為直角梯形時,p1()
(3)由已知條件可求得ab所在直線的函式關係式是y=-2x-8,所以直線的函式關係式是y=-2x
①當點p在第二象限時,x<0,
△pob的面積
∵△aob的面積,∴∵,
∴即 ∴
∴x的取值範圍是
②當點p在第四象限是,x>0,
過點a、p分別作x軸的垂線,垂足為a′、p′
則四邊形poa′a的面積
∵△aa′b的面積∴∵,
∴ 即 ∴
∴x的取值範圍是
【例5】隨著綠城南寧近幾年城市建設的快速發展,對花木的需求量逐年提高。某園林專業戶計畫投資種植花卉及樹木,根據市場調查與**,種植樹木的利潤與投資量成正比例關係,如圖①所示;種植花卉的利潤與投資量成二次函式關係,如圖②所示(注:利潤與投資量的單位:
萬元)(1)分別求出利潤與關於投資量的函式關係式;
(2)如果這位專業戶以8萬元資金投入種植花卉和樹木,他至少獲得多少利潤?他能獲取的最大利潤是多少?
解析過程及每步分值
解:(1)設=,由圖①所示,函式=的影象過(1,2),所以2=,
故利潤關於投資量的函式關係式是=;
因為該拋物線的頂點是原點,所以設=,由圖12-②所示,函式=的影象過(2,2),
所以,故利潤關於投資量的函式關係式是;
(2)設這位專業戶投入種植花卉萬元(),
則投入種植樹木()萬元,他獲得的利潤是萬元,根據題意,得
=+==
當時,的最小值是14;
因為,所以
所以所以
所以,即,此時
當時,的最大值是32.
【例6】如圖,已知,,現以a點為位似中心,相似比為9:4,將ob向右側放大,b點的對應點為c.
(1)求c點座標及直線bc的解析式;
(2)一拋物線經過b、c兩點,且頂點落在x軸正半軸上,求該拋物線的解析式並畫出函式圖象;
(3)現將直線bc繞b點旋轉與拋物線相交與另一點p,請找出拋物線上所有滿足到直線ab距離為的點p.
解析過程及每步分值
解:(1)過c點向x軸作垂線,垂足為d,由位似圖形性質可知:
△abo∽△acd, ∴.
由已知,可知:.
∴.∴c點座標為.
直線bc的解析是為:
化簡得:
(2)設拋物線解析式為,由題意得: ,
解得:∴解得拋物線解析式為或.
又∵的頂點在x軸負半軸上,不合題意,故捨去.
∴滿足條件的拋物線解析式為
(準確畫出函式圖象)
(3) 將直線bc繞b點旋轉與拋物線相交與另一點p,設p到直線ab的距離為h,
故p點應在與直線ab平行,且相距的上下兩條平行直線和上.
由平行線的性質可得:兩條平行直線與y軸的交點到直線bc的距離也為.
如圖,設與y軸交於e點,過e作ef⊥bc於f點,
在rt△bef中,,
∴.∴可以求得直線與y軸交點座標為
同理可求得直線與y軸交點座標為
∴兩直線解析式;.
根據題意列出方程組: ⑴;⑵
∴解得:;;;
∴滿足條件的點p有四個,它們分別是,,,.
【例7】如圖,拋物線交軸於a、b兩點,交軸於m點.拋物線向右平移2個單位後得到拋物線,交軸於c、d兩點.
(1)求拋物線對應的函式表示式;
(2)拋物線或在軸上方的部分是否存在點n,使以a,c,m,n為頂點的四邊形是平行四邊形.若存在,求出點n的座標;若不存在,請說明理由;
(3)若點p是拋物線上的乙個動點(p不與點a、b重合),那麼點p關於原點的對稱點q是否在拋物線上,請說明理由.
解析過程及每步分值
【例8】如圖,在矩形中,,,點是邊上的動點(點不與點,點重合),過點作直線,交邊於點,再把沿著動直線對折,點的對應點是點,設的長度為,與矩形重疊部分的面積為.
(1)求的度數;
(2)當取何值時,點落在矩形的邊上?
(3)①求與之間的函式關係式;
②當取何值時,重疊部分的面積等於矩形面積的?
解析過程及每步分值
解:(1)如圖,四邊形是矩形,.
又,,,
,.,.
,.(2)如圖1,由軸對稱的性質可知,,
,.由(1)知,,
,.,,.
在中,根據題意得:,
解這個方程得:.
(3)①當點在矩形的內部或邊上時,
,,,當時,
當在矩形的外部時(如圖2),,
在中,,
,又,,
在中,,.,,
當時,.
綜上所述,與之間的函式解析式是:.
②矩形面積,當時,函式隨自變數的增大而增大,所以的最大值是,而矩形面積的的值,
而,所以,當時,的值不可能是矩形面積的;
當時,根據題意,得:
,解這個方程,得,因為,
所以不合題意,捨去.
所以.綜上所述,當時,與矩形重疊部分的面積等於矩形面積的.
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