08.10.10
一、教學目的:
對第三章「三角恒等變換」進行章末知識總結,對重點、熱點題型進行歸納總結。
二. 重點、難點:
公式的靈活應用
三、知識分析:
1、 本章網路結構
2、要點概述
(1)求值常用的方法:切割化弦法,公升冪降冪法,和積互化法,輔助元素法,「1」的代換法等。
(2)要熟悉角的拆拼、變換的技巧,倍角與半形的相對性,如
是的半形,是的倍角等。
(3)要掌握求值問題的解題規律和途徑,尋求角間關係的特殊性,化非特殊角為特殊角,正確選用公式,靈活地掌握各個公式的正用、逆用、變形用等。
(4)求值的型別:
①「給角求值」:一般所給出的角都是非特殊角,從表面來看較難,但仔細觀察非特殊角與特殊角總有一定關係,解題時,要利用觀察得到的關係,結合和差化積、積化和差、公升降冪公式轉化為特殊角並且消降非特殊角的三角函式而得解。
②「給值求值」:給出某些角的三角函式式的值,求另外一些角的三角函式值,解題關鍵在於「變角」,使其角相同或具有某種關係。
③「給值求角」:實質上可轉化為「給值求值」,關鍵也是變角,把所求角用含已知角的式子表示,由所得的函式值結合該函式的單調區間求得角。
(5)靈活運用角和公式的變形,如:,等,另外重視角的範圍對三角函式值的影響,因此要注意角的範圍的討論。
(6)化簡三角函式式常有兩種思路:一是角的變換(即將多種形式的角盡量統一),二是三角函式名稱的變化(即當式子中所含三角函式種類較多時,一般是「切割化弦」),有時,兩種變換並用,有時只用一種,視題而定。
(7)證明三角恒等式時,所用方法較多,一般有以下幾種證明方法:
①從一邊到另一邊,②兩邊等於同乙個式子,③作差法。
3、題型歸納
(1)求值題
例1. 已知,,且,求。
分析:由已知條件求,應注意到角之間的關係,,可應用兩角差的余弦公式求得。
解:由已知,得
又由,得又由,得點評:<1>三角變換是解決已知三角函式值求三角函式值這類題型的關鍵;
<2>常見角的變換:,等。
(2)化簡題
例2. 化簡:,其中。
分析:式中有單角α與半形,可用倍角公式把α化為。
解:原式
∴原式(3)證明題
例3. 求證:
分析1:從右端向左端變形,將「切」化為「弦」,逐步化成左邊。
證法1:右邊
∴原命題成立
分析2:由配方,得。將左邊約分,達到化簡的目的。
證法2:左邊
∴原命題成立
分析3:代數證明中的作差法也適用於三角證明。
證明3:左-右
∴左=右
∴原式成立
(4)與向量、三角形等有關的綜合題
例4. 平面直角座標系內有點。
(1)求向量與的夾角θ的余弦;
(2)求的最值。
解析:(1)∵
(2)又,即【模擬試題】
一. 選擇題(每小題4分,共48分)
1.的值為( )
abcd.
2.可化為( )
ab.cd.
3. 若,且,則的值是( )
abcd.
4. 函式的週期為t,最大值為a,則( )
ab.cd.
5. 已知,則的值為( )
abcd.
6. 已知,則( )
abcd.
7. 設,則( )
a. 4bcd.
8.的值是( )
abcd.
9. 在△abc中,若,則△abc的形狀一定是( )
a. 等腰三角形b. 直角三角形
c. 等腰直角三角形d. 等邊三角形
10. 要使斜邊一定的直角三角形周長最大,它的乙個銳角應是( )
a. 30b. 45c. 60d. 正弦值為的銳角
11. 已知向量,向量,向量,則向量與的夾角範圍為( )
ab.cd.
12. 已知:,則的值為( )
ab. 4cd. 1
二. 填空題(每小題3分,共12分)
13. 已知,則
14. 函式的最小正週期為
15. 已知,且滿足關係式,則
16. 已知。若,則可化簡為
三. 解答題(每小題10分,共40分)
17. 求值:
18. 已知函式
(1)求函式的最小正週期;
(2)求函式的最大值、最小值及取得最大值和最小值時自變數x的集合;
(3)求函式的單調區間,並指出在每乙個區間上函式的單調性。
19. 若已知,求的值。
20. 已知α、β為銳角,且。
求證:[參***]
一. 選擇題:
1. d 2. a 3. b 4. d 5. c 6. d
7. d 8. c 9. a 10. b 11. d 12. c
二. 填空題:
13141516.
三. 解答題:
17. 解:原式
18. 解:
(1)(2)當
即時,當即時,(3)當
即時,單調遞增。
當即時,單調遞減。
故的單調遞增區間為
的單調遞減區間為
19. 解法1:
,則從而故原式解法2:原式
又即則故原式20. 證法1:由已知
∵α、β為銳角,
證法2:由已知條件得:
又∵α、β為銳角 ,即
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