1、如圖,在梯形abcd中,ab∥cd,∠bcd=90°,且ab=1,bc=2,tan∠adc=2.
(1) 求證:dc=bc;
(2) e是梯形內一點,f是梯形外一點,且∠edc=∠fbc,de=bf,試判斷△ecf的形狀,並證明你的結論;
(3) 在(2)的條件下,當be:ce=1:2,∠bec=135°時,求sin∠bfe的值.
[解析] (1)過a作dc的垂線am交dc於m,
則am=bc=2.
又tan∠adc=2,所以.即dc=bc.
(2)等腰三角形.
證明:因為.
所以,△dec≌△bfc
所以,.
所以,即△ecf是等腰直角三角形.
(3)設,則,所以.
因為,又,所以.
所以所以.
2、已知:如圖,在□abcd 中,e、f分別為邊ab、cd的中點,bd是對角線,ag∥db交cb的延長線於g.
(1)求證:△ade≌△cbf;
(2)若四邊形 bedf是菱形,則四邊形agbd是什麼特殊四邊形?並證明你的結論.
[解析] (1)∵四邊形abcd是平行四邊形,
∴∠1=∠c,ad=cb,ab=cd .
∵點e 、f分別是ab、cd的中點,
∴ae=ab ,cf=cd .
∴ae=cf
∴△ade≌△cbf .
(2)當四邊形bedf是菱形時,
四邊形 agbd是矩形.
∵四邊形abcd是平行四邊形,
∴ad∥bc .
∵ag∥bd ,
∴四邊形 agbd 是平行四邊形.
∵四邊形 bedf 是菱形,
∴de=be .
∵ae=be ,
∴ae=be=de .
∴∠1=∠2,∠3=∠4.
∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°,
∴2∠2+2∠3=180°.
∴∠2+∠3=90°.
即∠adb=90°.
∴四邊形agbd是矩形
3、如圖13-1,一等腰直角三角尺gef的兩條直角邊與正方形abcd的兩條邊分別重合在一起.現正方形abcd保持不動,將三角尺gef繞斜邊ef的中點o(點o也是bd中點)按順時針方向旋轉.
(1)如圖13-2,當ef與ab相交於點m,gf與bd相交於點n時,通過觀察或測量bm,fn的長度,猜想bm,fn滿足的數量關係,並證明你的猜想;
(2)若三角尺gef旋轉到如圖13-3所示的位置時,線段fe的延長線與ab的延長線相交於點m,線段bd的延長線與gf的延長線相交於點n,此時,(1)中的猜想還成立嗎?若成立,請證明;若不成立,請說明理由.
[解析](1)bm=fn.
證明:∵△gef是等腰直角三角形,四邊形abcd是正方形,
∴ ∠abd =∠f =45°,ob = of.
又∵∠bom=∠fonobm≌△ofn .
∴ bm=fn.
(2) bm=fn仍然成立.
(3) 證明:∵△gef是等腰直角三角形,四邊形abcd是正方形,
∴∠dba=∠gfe=45°,ob=of.
∴∠mbo=∠nfo=135°.
又∵∠mob=∠nof, ∴ △obm≌△ofn .
∴ bm=fn.
4、如圖,已知⊙o的直徑ab垂直於弦cd於e,鏈結ad、bd、oc、od,且od=5。
(1)若,求cd的長;
(2)若 ∠ado:∠edo=4:1,求扇形oac(陰影部分)的面積(結果保留)。
[解析] (1)因為ab是⊙o的直徑,od=5
所以∠adb=90°,ab=10
在rt△abd中,
又,所以,所以
因為∠adb=90°,ab⊥cd
所以所以所以所以(2)因為ab是⊙o的直徑,ab⊥cd
所以所以∠bad=∠cdb,∠aoc=∠aod
因為ao=do,所以∠bad=∠ado
所以∠cdb=∠ado
設∠ado=4x,則∠cdb=4x
由∠ado:∠edo=4:1,則∠edo=x
因為∠ado+∠edo+∠edb=90°
所以所以x=10°
所以∠aod=180°-(∠oad+∠ado)=100°
所以∠aoc=∠aod=100°
5、如圖,已知:c是以ab為直徑的半圓o上一點,ch⊥ab於點h,直線ac與過b點的切線相交於點d,e為ch中點,連線ae並延長交bd於點f,直線cf交直線ab於點g.
(1)求證:點f是bd中點;
(2)求證:cg是⊙o的切線;
(3)若fb=fe=2,求⊙o的半徑.
[解析] (1)證明:∵ch⊥ab,db⊥ab,∴△aeh∽afb,△ace∽△adf
∴,∵he=ec,∴bf=fd
(2)方法一:連線cb、oc,
∵ab是直徑,∴∠acb=90°∵f是bd中點,
∴∠bcf=∠cbf=90°-∠cba=∠cab=∠aco
∴∠ocf=90°,∴cg是⊙o的切線---------6′
方法二:可證明△ocf≌△obf(參照方法一標準得分)
(3)解:由fc=fb=fe得:∠fce=∠fec
可證得:fa=fg,且ab=bg
由切割線定理得:(2+fg)2=bg×ag=2bg2
在rt△bgf中,由勾股定理得:bg2=fg2-bf2
由、得:fg2-4fg-12=0
解之得:fg1=6,fg2=-2(捨去)
∴ab=bg=
∴⊙o半徑為2
6、如圖,已知o為原點,點a的座標為(4,3),
⊙a的半徑為2.過a作直線平行於軸,點p在直線上運動.
(1)當點p在⊙o上時,請你直接寫出它的座標;
(2)設點p的橫座標為12,試判斷直線op與⊙a的位置關係,並說明理由.
[解析]
解:點p的座標是(2,3)或(6,3)
作ac⊥op,c為垂足.
∵∠acp=∠obp=,∠1=∠1
∴△acp∽△obp
在中, ,又ap=12-4=8, ∴
∴ac=≈1.94
∵1.94<2
∴op與⊙a相交
7、如圖,延長⊙o的半徑oa到b,使oa=ab,
de是圓的一條切線,e是切點,過點b作de的垂線,
垂足為點c.
求證:∠acb=∠oac.
[解析]
證明:鏈結oe、ae,並過點a作af⊥de於點f, (3分)
∵de是圓的一條切線,e是切點,
∴oe⊥dc,
又∵bc⊥de,
∴oe∥af∥bc.
∴∠1=∠acb,∠2=∠3.
∵oa=oe,
∴∠4=∠3.
∴∠4=∠2.
又∵點a是ob的中點,
∴點f是ec的中點.
∴ae=ac.
∴∠1=∠2.
∴∠4=∠2=∠1.
即∠acb=∠oac.
8、如圖1,一架長4公尺的梯子ab斜靠在與地面om垂直的牆壁on上,梯子與地面的傾斜角α為.
求ao與bo的長;
若梯子頂端a沿no下滑,同時底端b沿om向右滑行.
①如圖2,設a點下滑到c點,b點向右滑行到d點,並且ac:bd=2:3,試計算梯子頂端a沿no下滑多少公尺;
②如圖3,當a點下滑到a』點,b點向右滑行到b』點時,梯子ab的中點p也隨之運動到p』點.若∠pop』=,試求aa』的長.
[解析]
中,∠o=,∠α=
∴,∠oab=,又ab=4公尺,
∴公尺.公尺3分)
設在中,
根據勾股定理:
5分)∴∵ ∴
7分)ac=2x=
即梯子頂端a沿no下滑了公尺. ---- (8分)
∵點p和點分別是的斜邊ab與的斜邊的中點
9分)10分)∴∴
∵11分)
∴----- (12分)
∴公尺13分)
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1 如圖,在梯形abcd中,ab cd,bcd 90 且ab 1,bc 2,tan adc 2.1 求證 dc bc 2 e是梯形內一點,f是梯形外一點,且 edc fbc,de bf,試判斷 ecf的形狀,並證明你的結論 3 在 2 的條件下,當be ce 1 2,bec 135 時,求sin b...
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