在此問題中，你會根據諸如景色、費用、居住、飲食和旅途條件等一些準則去反覆比較3個侯選地點。可以建立如下的層次結構模型。
目標層選擇旅遊地
準則層景色費用居住飲食旅途
措施層1.2 構造判斷矩陣
層次結構反映了因素之間的關係，但準則層中的各準則在目標衡量中所佔的比重並不一定相同，在決策者的心目中，它們各占有一定的比例。
在確定影響某因素的諸因子在該因素中所佔的比重時，遇到的主要困難是這些比重常常不易定量化。此外，當影響某因素的因子較多時，直接考慮各因子對該因素有多大程度的影響時，常常會因考慮不周全、顧此失彼而使決策者提出與他實際認為的重要性程度不相一致的資料，甚至有可能提出一組隱含矛盾的資料。為看清這一點，可作如下假設：
將一塊重為1千克的石塊砸成小塊，你可以精確稱出它們的重量，設為，現在，請人估計這小塊的重量佔總重量的比例（不能讓他知道各小石塊的重量），此人不僅很難給出精確的比值，而且完全可能因顧此失彼而提供彼此矛盾的資料。
設現在要比較個因子對某因素的影響大小，怎樣比較才能提供可信的資料呢？saaty等人建議可以採取對因子進行兩兩比較建立成對比較矩陣的辦法。即每次取兩個因子和，以表示和對的影響大小之比，全部比較結果用矩陣表示，稱為之間的成對比較判斷矩陣（簡稱判斷矩陣）。
容易看出，若與對的影響之比為，則與對的影響之比應為。
定義1 若矩陣滿足
（），（）（）
則稱之為正互反矩陣(易見，)。
關於如何確定的值，saaty等建議引用數字1~9及其倒數作為標度。下表列出了1~9標度的含義：
從心理學觀點來看，分級太多會超越人們的判斷能力，既增加了作判斷的難度，又容易因此而提供虛假資料。saaty等人還用實驗方法比較了在各種不同標度下人們判斷結果的正確性，實驗結果也表明，採用1~9標度最為合適。
最後，應該指出，一般地作次兩兩判斷是必要的。有人認為把所有元素都和某個元素比較，即只作個比較就可以了。這種作法的弊病在於，任何乙個判斷的失誤均可導致不合理的排序，而個別判斷的失誤對於難以定量的系統往往是難以避免的。
進行次比較可以提供更多的資訊，通過各種不同角度的反覆比較，從而匯出乙個合理的排序。
1.3 層次單排序及一致性檢驗
判斷矩陣對應於最大特徵值的特徵向量，經歸一化後即為同一層次相應因素對於上一層次某因素相對重要性的排序權值，這一過程稱為層次單排序。
上述構造成對比較判斷矩陣的辦法雖能減少其它因素的干擾，較客觀地反映出一對因子影響力的差別。但綜合全部比較結果時，其中難免包含一定程度的非一致性。如果比較結果是前後完全一致的，則矩陣的元素還應當滿足：
1）定義2 滿足關係式（1）的正互反矩陣稱為一致矩陣。
需要檢驗構造出來的（正互反）判斷矩陣是否嚴重地非一致，以便確定是否接受。
定理1 正互反矩陣的最大特徵根必為正實數，其對應特徵向量的所有分量均為正實數。的其餘特徵值的模均嚴格小於。
定理2 若為一致矩陣，則
（）必為正互反矩陣。
（）的轉置矩陣也是一致矩陣。
（）的任意兩行成比例，比例因子大於零，從而（同樣，的任意兩列也成比例）。
（）的最大特徵值，其中為矩陣的階。的其餘特徵根均為零。
（）若的最大特徵值對應的特徵向量為，則，，即
定理3 階正互反矩陣為一致矩陣當且僅當其最大特徵根，且當正互反矩陣非一致時，必有。
根據定理3，我們可以由是否等於來檢驗判斷矩陣是否為一致矩陣。由於特徵根連續地依賴於，故比大得越多，的非一致性程度也就越嚴重，對應的標準化特徵向量也就越不能真實地反映出在對因素的影響中所佔的比重。因此，對決策者提供的判斷矩陣有必要作一次一致性檢驗，以決定是否能接受它。
對判斷矩陣的一致性檢驗的步驟如下：
（）計算一致性指標
（）查詢相應的平均隨機一致性指標。對，saaty給出了的值，如下表所示：
的值是這樣得到的，用隨機方法構造500個樣本矩陣：隨機地從1~9及其倒數中抽取數字構造正互反矩陣，求得最大特徵根的平均值，並定義
。（ⅲ）計算一致性比例
當時，認為判斷矩陣的一致性是可以接受的，否則應對判斷矩陣作適當修正。
1.4 層次總排序及一致性檢驗
上面我們得到的是一組元素對其上一層中某元素的權重向量。我們最終要得到各元素，特別是最低層中各方案對於目標的排序權重，從而進行方案選擇。總排序權重要自上而下地將單準則下的權重進行合成。
設上一層次（層）包含共個因素，它們的層次總排序權重分別為。又設其後的下一層次（層）包含個因素，它們關於的層次單排序權重分別為（當與無關聯時，）。現求層中各因素關於總目標的權重，即求層各因素的層次總排序權重，計算按下錶所示方式進行，即，。
對層次總排序也需作一致性檢驗，檢驗仍象層次總排序那樣由高層到低層逐層進行。這是因為雖然各層次均已經過層次單排序的一致性檢驗，各成對比較判斷矩陣都已具有較為滿意的一致性。但當綜合考察時，各層次的非一致性仍有可能積累起來，引起最終分析結果較嚴重的非一致性。
設層中與相關的因素的成對比較判斷矩陣在單排序中經一致性檢驗，求得單排序一致性指標為，（），相應的平均隨機一致性指標為（已在層次單排序時求得），則層總排序隨機一致性比例為
當時，認為層次總排序結果具有較滿意的一致性並接受該分析結果。
§2 層次分析法的應用
在應用層次分析法研究問題時，遇到的主要困難有兩個：（）如何根據實際情況抽象出較為貼切的層次結構；（）如何將某些定性的量作比較接近實際定量化處理。層次分析法對人們的思維過程進行了加工整理，提出了一套系統分析問題的方法，為科學管理和決策提供了較有說服力的依據。
但層次分析法也有其侷限性，主要表現在：（）它在很大程度上依賴於人們的經驗，主觀因素的影響很大，它至多只能排除思維過程中的嚴重非一致性，卻無法排除決策者個人可能存在的嚴重片面性。（）比較、判斷過程較為粗糙，不能用於精度要求較高的決策問題。
ahp至多只能算是一種半定量（或定性與定量結合）的方法。
ahp 方法經過幾十年的發展，許多學者針對ahp的缺點進行了改進和完善，形成了一些新理論和新方法，像群組決策、模糊決策和反饋系統理論近幾年成為該領域的乙個新熱點。
在應用層次分析法時，建立層次結構模型是十分關鍵的一步。現再分析乙個例項，以便說明如何從實際問題中抽象出相應的層次結構。
例2 挑選合適的工作。經雙方懇談，已有三個單位表示願意錄用某畢業生。該生根據已有資訊建立了乙個層次結構模型，如下圖所示。
1 1 1 4 1 1/2
1 1 2 4 1 1/2
1 1/2 1 5 3 1/2
1/4 1/4 1/5 1 1/3 1/3
1 1 1/3 3 1 1
2 2 2 3 3 1
（方案層）
1 1/4 1/21 1/4 1/5
4 1 34 1 1/2
2 1/3 15 2 1
1 3 1/31 1/3 5
1/3 1 73 1 7
3 1/7 11/5 1/7 1
1 1 71 7 9
1 1 71/7 1 1
1/7 1/7 11/9 1 1
（層次總排序）如下表所示。
根據層次總排序權值，該生最滿意的工作為工作1。
計算程式如下：
clca=[1,1,1,4,1,1/2
1,1,2,4,1,1/2
1,1/2,1,5,3,1/2
1/4,1/4,1/5,1,1/3,1/3
1,1,1/3,3,1,1
2,2,2,3,3,1];
[x,y]=eig(a);eigenvalue=diag(y);lamda=eigenvalue(1);
ci1=(lamda-6)/5;cr1=ci1/1.24
w1=x(:,1)/sum(x(:,1))
b1=[1,1/4,1/2;4,1,3;2,1/3,1];
[x,y]=eig(b1);eigenvalue=diag(y);lamda=eigenvalue(1);
ci21=(lamda-3)/2;cr21=ci21/0.58
w21=x(:,1)/sum(x(:,1))
b2=[1 1/4 1/5;4 1 1/2;5 2 1];
[x,y]=eig(b2);eigenvalue=diag(y);lamda=eigenvalue(1);
層次分析法步驟介紹
層次分析法整個計算過程包括以下五個部分。1 建立遞階層次結構 應用ahp解決實際問題，首先明確目標 接下來分析影響目標決策的各個因素，並將它們之間的關係條理化 層次化 最後，用線將各個層次 各個因素間的關係連線起來就構成了遞階層次結構。25 通常，遞階層次結構包括以下三個基本層次 1.目標層 通過分...
層次分析法的優缺點
1 優點 1 系統化的分析方法 層次分析法通過把研究物件視作乙個系統，依照目標分解 相互比較 加權綜合的思維模式進行決策，成為了繼統計分析 機理分析之後第三個發展起來的進行系統分析的重要工具。系統化的思想在於各個因素對最終結果的影響是連續的，而在層次分析法中，最終的結果是由每乙個層次的相對權重加權綜...
層次分析法的工作選擇
摘要本模型討論的是確定可供選擇的工作的優先順序問題，我們利用層次分析法來解決此問題，首先根據該學生需要考慮的準則，構造出了層次結構，求出各準則所佔權重值，利用matlab軟體程式設計對資料進行處理，得出了不同學生的不同最優工作選擇。問題重述 某同學大學畢業，現在有三個就業方向 公務員 國有企業 私有...