綜合訓練1：多邊形和圓 (3.14)
1化簡：
（12）先化簡，再求值：，其中， =3；
（3）先化簡，再求值：（﹣）÷，其中a2+a﹣2=0．
2.如圖，四邊形abcd是矩形，把矩形沿對角線ac摺疊，點b落在點e處，ce與ad相交於點o,
(1) 求證：△aeo≌△cdo；
（2）若∠ocd=30°，ab=,求△aco的面積；
3.如圖，在rt△abc中，∠acb=90°，以ac為直徑作⊙o交ab於點d，連線cd．
（1）求證：∠a=∠bcd；
（2）若m為線段bc上一點，試問當點m在什麼位置時，直線dm與⊙o相切？並說明理由．
4.如圖，⊙o與rt△abc的斜邊ab相切於點d，與直角邊ac相交於e、f兩點，鏈結de，已知∠b=30°，⊙o的半徑為12，弧de的長度為4π．
（1）求證：de∥bc；
（2）若af=ce，求線段bc的長度．
5.如圖，ab是⊙o的直徑，pa，pc分別與⊙o 相切於點a，c，pc交ab的延長線於點d，de⊥po交po的延長線於點e。
（1）求證：∠epd=∠edo
（2）若pc=6，tan∠pda=，求oe的長。
6如圖，以△abc的一邊ab為直徑作⊙o, ⊙o與bc邊的交點恰好為bc邊的中點d，過點d作⊙o的切線交ac於點e,
(1) 求證：de⊥ac；
(2) 若ab=3de,求tan∠acb的值；
7. 已知，在△abc中，∠bac=90°，∠abc=45°，點d為直線bc上一動點（點d不與點b，c重合）．以ad為邊做正方形adef，連線cf
（1）如圖1，當點d**段bc上時．求證cf+cd=bc；
（2）如圖2，當點d**段bc的延長線上時，其他條件不變，請直接寫出cf，bc，cd三條線段之間的關係；
（3）如圖3，當點d**段bc的反向延長線上時，且點a，f分別在直線bc的兩側，其他條件不變；
①請直接寫出cf，bc，cd三條線段之間的關係；
②若正方形adef的邊長為，對角線ae，df相交於點o，連線oc．求oc的長度．
解：（1）證明：連線od、oe，
∵od是⊙o的切線，
∴od⊥ab，∴∠oda=90°，
又∵弧de的長度為4π，
∴，∴n=60，
∴△ode是等邊三角形，
∴∠ode=60°，∴∠eda=30°，
∴∠b=∠eda，
∴de∥bc．
（2）連線fd，
∵de∥bc，
∴∠def=90°，
∴fd是⊙0的直徑，
由（1）得：∠efd=30°，fd=24，
∴ef=，
又因為∠eda=30°，de=12，
∴ae=，
又∵af=ce，∴ae=cf，
∴ca=ae+ef+cf=20，
又∵，∴bc=60．
：（1）證明：∵∠bac=90°，∠abc=45°，∴∠acb=∠abc=45°。∴ab=ac。
∵四邊形adef是正方形，∴ad=af，∠daf=90°。
∵∠bad=90°﹣∠dac，∠caf=90°﹣∠dac，∴∠bad=∠caf。
∵在△bad和△caf中，ab=ac，∠bad=∠caf，ad=af，
∴△bad≌△caf（sas）。∴bd=cf。
∵bd+cd=bc，∴cf+cd=bc。
（2）cf﹣cd=bc。
（3）①cd﹣cf=bc。
②∵∠bac=90°，∠abc=45°，∴∠acb=∠abc=45°。∴ab=ac。
∵四邊形adef是正方形，∴ad=af，∠daf=90°。
∵∠bad=90°﹣∠baf，∠caf=90°﹣∠baf，∴∠bad=∠caf。
∵在△bad和△caf中，ab=ac，∠bad=∠caf，ad=af，
∴△bad≌△caf（sas）。∴∠acf=∠abd。
∵∠abc=45°，∴∠abd=135°。∴∠acf=∠abd=135°。∴∠fcd=90°。
∴△fcd是直角三角形。
∵正方形adef的邊長為且對角線ae、df相交於點o，
∴df=ad=4，o為df中點。
∴oc=df=2。
解：（1）四邊形efgh的形狀是正方形；
（2）①∠hae=90°+α，
在平行四邊形abcd中ab∥cd，
∴∠bad=180°﹣∠adc=180°﹣α，
∵△had和△eab是等腰直角三角形，
∴∠had=∠eab=45°，
∴∠hae=360°﹣∠had﹣∠eab﹣∠bad=360°﹣45°﹣45°﹣（180°-α）=90°+α，
答：用含α的代數式表示∠hae是90°+α；
②證明：∵△aeb和△dgc是等腰直角三角形，
∴ae=ab，dc=cd，
在平行四邊形abcd中，ab=cd，
∴ae=dg，
∵△had和△gdc是等腰直角三角形，
∴∠hda=∠cdg=45°，
∴∠hdg=∠hda+∠adc+∠cdg=90°+α=∠hae，
∵△had是等腰直角三角形，
∴ha=hd，
∴△hae≌△hdc，
∴he=hg；
③四邊形efgh是正方形，
理由是：
由②同理可得：gh=gf，fg=fe，
∵he=hg，
∴gh=gf=ef=he，
∴四邊形efgh是菱形，
∵△hae≌△hdg，
∴∠dhg=∠ahe，
∵∠ahd=∠ahg+∠dhg=90°，
∴∠ehg=∠ahg+∠ahe=90°，
∴四邊形efgh是正方形。
（1）證明：∵ac為直徑，
∴∠adc=90°，
∴∠a+∠dca=90°，
∵∠acb=90°，
∴∠dcb+∠acd=90°，
∴∠dcb=∠a；
（2）當mc=md（或點m是bc的中點）時，直線dm與⊙o相切；
解：連線do，
∵do=co，
∴∠1=∠2，
∵dm=cm，
∴∠4=∠3，
∵∠2+∠4=90°，
∴∠1+∠3=90°，
∴直線dm與⊙o相切．
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