組員： 黎英 2010104417
韋旭 2010104408
陸華豪 2010104505
常微分:
常微分方程： 只含乙個自變數的微分方程.
方程1.11
1.12
1.13
是常微分方程的例子，是未知函式，僅含乙個自變數.
微分方程的階數：微分方程中出現的最高端導數的階數.
例如，方程（1.12）、（1.13）是二階的常微分方程，一般的階微分方程具有形式
1.14
這裡是、、、…、的已知函式，而且一定含有；是未知函式，是自變數.
第二章初等積分法
§1 變數分離方程與變數變換
1、 變數分離方程
1) 變數分離方程
形如2.1）
的一階微分方程，稱為變數分離方程，其中函式在區間（a,b）上連續，在區間（c,d）上連續且不等於0.
2) 求解方法
如果，方程(2.1)可化為，
這樣變數就分離開了,兩邊積分,得到
2.2）
把分別理解為的某乙個原函式.
容易驗證由（2.2）所確定的隱函式滿足方程（2.1）.因而（2.2）是（2.1）的通解.
如果存在使，可知也是（2.1）的解.可能它不包含在方程的通解（2.2）中，必須予以補上.
3) 例題
例1 求解方程
解將變數分離，得到
兩邊積分，即得
因而，通解為
這裡的是任意的正常數.
或解出顯式形式
例2 解方程
解將變數分離，得到
兩邊積分，即得
因而，通解為
這裡的是任意的常數.此外，方程還有解.
注: 1.常數的選取保證(2.2)式有意義.
2.方程的通解不一定是方程的全部解,有些通解包含了方程的所有解，有些通解不能包含方程的所有解.此時，還應求出不含在通解中的其它解, 即將遺漏的解要彌補上.
3.微分方程的通解表示的是一族曲線，而特解表示的是滿足特定條件的乙個解，表示的是一條過點的曲線.
2、可化為變數分離方程的型別
1）.形如
2.5）
的方程，稱為齊次方程，這裡的是的連續函式.
另外,ⅰ)對於方程
其中函式和都是和的次齊次函式，即對有
事實上，取，則方程可改寫成形如(2.5)的方程.
ⅱ)對方程
其中右端函式是和的零次齊次函式，即對有
則方程也可改寫成形如(2.5)的方程
對齊次方程（2.5）利用變數替換可化為變數分離方程再求解.
令2.6）
即，於是
2.7）
將（2.6）、（2.7）代入（2.5），則原方程變為
整理後，得到
2.8）
方程（2.8）是乙個可分離變數方程，按照變數分離法求解，然後將所求的解代回原變數，所得的解便是原方程（2.5）的解.
例4 求解方程
解這是齊次方程，以代入，則原方程變為
即2.9）
分離變數，即有
兩邊積分，得到
這裡的是任意的常數，整理後，得到
2.10）
此外，方程（2.9）還有解,即. 如果（2.10）中允許，則就包含在（2.10）中，這就是說，方程（2.9）的通解為（2.10）.
代回原來的變數，得到原方程的通解為
例如求解方程
2.11
解解方程組得
令代入方程（2.11），則有
2.12）
再令即則（2.12）化為
兩邊積分，得
因此記並代回原變數，就得
此外，易驗證
即也就是（2.12）的解.因此方程（2.11）的通解為
其中為任意的常數.
注：1.對於齊次方程的求解方法關鍵的一步是令後，解出，再對兩邊求關於的導數得，再將其代入齊次方程使方程變為關於的可分離方程.
2.齊次方程也可以通過變換而化為變數分離方程.這時，再對兩邊求關於的導數得，將其代入齊次方程使方程變為的可分離方程
小結：這一講我們主要講解了一階微分方程的可分離變數法和齊次方程的形狀的解法.而這一齊次方程通過變數替換任然可化為可分離方程，因而，一定要熟練掌握可分離方程的解法.
2）形如
2.13
的方程經變數變換化為變數分離方程，這裡的均為常數.
分三種情況來討論
（1）情形.
這時方程（2.11）屬齊次方程，有
此時，令，即可化為變數可分離方程.
（2），即的情形.
設，則方程可寫成
令，則方程化為
這是一變數分離方程.
（3）不全為零的情形.
這時方程（2.11）右端的分子、分母都是的一次式，因此
2.14
代表平面上兩條相交的直線，設交點為.
顯然，或，否則必有，這正是情形（1）（只需進行座標平移，將座標原點移至就行了，若令
2.15）
則（2.14）化為
從而（2.13）變為
2.16）
因此，得到這種情形求解的一般步驟如下：
(1)解聯立代數方程（2.16），設其解為；
(2)作變換（2.17）將方程化為齊次方程（2.18）；
(3)再經變換將（2.18）化為變數分離方程；
(4)求解上述變數分離方程，最後代回原變數可得原方程（2.15）的解.
上述解題的方法和步驟也適用於比方程（2.15）更一般的方程型別
此外，諸如
以及（其中為的齊次函式，次數可以不相同）等一些方程型別，均可通過適當的變數變換化為變數分離方程.
§2 恰當方程與積分因子
1、恰當方程的定義
將一階微分方程
寫成微分的形式
把平等看待，對稱形式的一階微分方程的一般式為
2.21
假設在某區域內是的連續函式，而且具有連續的一階偏導數.
如果存在可微函式,使得
2.22)
即2.23)
則稱方程(2.43)為恰當方程,或稱全微分方程.
常微分方程
第一節基本概念 一 基本知識 1 微分方程的概念 1 微分方程 含有未知函式的導數 或微分 的方程稱為微分方程 未知函式為一元函式的叫常微分方程 未知函式為多元函式的叫偏微分方程 2 微分方程的階 方程中未知函式導數的最高端數叫該微分方程的階，同時該方程就叫做階微分方程 3 微分方程的解 使微分方程...
常微分方程
一 單項選擇題 1.下列四個微分方程中,三階常微分方程有 個 12 34 a.1b.2c.3d.4 a.n階常係數非齊線性常微分方程 b.n階變係數非齊線性常微分方程 c.n階變係數非線性常微分方程d.n階常係數非線性常微分方程.3.微分方程的乙個解是 abcd.4.是某個初值問題的唯一解，其中方程...
常微分方程試卷
誠信應考,考試作弊將帶來嚴重後果！常微分方程 試卷 b 注意事項 1.考前請將密封線內填寫清楚 2.所有答案請直接答在試卷上 或答題紙上 3 考試形式 閉卷 4.本試卷共六大題，滿分100分，考試時間120分鐘。一.填空題 每小題3分,共24分 1.微分方程的階數為 2.微分方程有積分因子 3.微分...