冪函式（1）冪函式的定義： 一般地，函式叫做冪函式，其中為自變數，是常數．
（2）冪函式的圖象
（3）冪函式的性質
①圖象分布：冪函式圖象分布在第
一、二、三象限，第四象限無圖象．冪函式是偶函式時，圖象分布在第
一、二象限(圖象關於軸對稱)；是奇函式時，圖象分布在第
一、三象限(圖象關於原點對稱)；是非奇非偶函式時，圖象只分布在第一象限．
②過定點：所有的冪函式在都有定義，並且圖象都通過點．
③單調性：如果，則冪函式的圖象過原點，並且在上為增函式．如果，則冪函式的圖象在上為減函式，在第一象限內，圖象無限接近軸與軸．
④奇偶性：當為奇數時，冪函式為奇函式，當為偶數時，冪函式為偶函式．當（其中互質，和），若為奇數為奇數時，則是奇函式，若為奇數為偶數時，則是偶函式，若為偶數為奇數時，則是非奇非偶函式．
⑤圖象特徵：冪函式，當時，若，其圖象在直線下方，若，其圖象在直線上方，當時，若，其圖象在直線上方，若，其圖象在直線下方．
冪函式練習題
一、選擇題：
1．下列函式中既是偶函式又是
a． b． c． d．
2．函式在區間上的最大值是
a． b． cd．
3．下列所給出的函式中，是冪函式的是
ab． c． d．
4．函式的圖象是
abcd．
5．下列命題中正確的是
a．當時函式的圖象是一條直線
b．冪函式的圖象都經過（0，0）和（1，1）點
c．若冪函式是奇函式，則是定義域上的增函式
d．冪函式的圖象不可能出現在第四象限
6．函式和圖象滿足
a．關於原點對稱 b．關於軸對稱 c．關於軸對稱 d．關於直線對稱
7． 函式，滿足
a．是奇函式又是減函式b．是偶函式又是增函式
c．是奇函式又是增函式d．是偶函式又是減函式
8．如圖1—9所示，冪函式在第一象限的圖象，比較的大小（ ）
a． b．
c． d．
二、填空題：.
1．函式的定義域是
2．的解析式是
3．是偶函式，且在是減函式，則整數的值是
4．函式的單調遞減區間是
三、解答題：解答應寫出文字說明．證明過程或演算步驟
1．比較下列各組中兩個值大小
（1）2．求證：冪函式在r上為奇函式且為增函式.
3．下面六個冪函式的圖象如圖所示，試建立函式與圖象之間的對應關係.
（a） （b） （cd） （e） （f）
鞏固訓練
一、選擇題
1．已知集合，則等於
abcd．2
2．下列函式中，值域是的函式是
abc． d．
3．函式的定義域是
abcd．
4．二次函式的單調遞減區間是
abcd．
5．函式的圖象
a．關於直線對稱 b．關於軸對稱 c．關於原點對稱 d．關於軸對稱
6．冪函式的圖象一定經過點
abcd．
7．已知，則
a． bcd．
8．若一元二次不等式的解集是，則的值是
a．不能確定b．4c．－4d．８
10．函式的反函式是
a． b．
cd．11．已知是定義在上的偶函式，且在上單調遞減，則
ab．cd．12．已知點與關於直線對稱，則這兩點之間的距離是
a．不能確定bcd．
13．若不等式的解集是，則的取值範圍是
a． b． c．或 d．或
14．已知是奇函式，當時，其解析式，則當時，的解析式是
a． b． cd
二、填空題
15．設函式的定義域是，則的定義域是
18．已知冪函式的圖象經過，則
19．已知函式的圖象經過點，又其反函式圖象經過點，則的解析式為
20．已知奇函式在區間上是減函式，且最小值為，則在區間上的最大值是
21．滿足條件的集合的個數是個.
22．函式的反函式的值域是
三、解答題
23．已知，若，求的取值範圍。
24．已知函式。 ⑴求函式的定義域；
⑵利用定義證明函式在定義域上是減函式。
26．已知偶函式在上是增函式，求不等式的解集。
冪函式練習題
一、選擇題
1．下列函式中，其定義域和值域不同的函式是( )
a． b． c． d.
2．以下關於函式當a＝0時的圖象的說法正確的是( )
a．一條直線 b．一條射線 c．除點(0,1)以外的一條直線 d．以上皆錯
3．已知冪函式f(x)的圖象經過點(2，)，則f(4)的值為( )
a．16bcd．2
4．下列結論中，正確的是( )
①冪函式的圖象不可能在第四象限
②a＝0時，冪函式y＝的圖象過點(1,1)和(0,0)
③冪函式y＝，當a≥0時是增函式
④冪函式y＝，當a<0時，在第一象限內，隨x的增大而減小
a．①② bcd．①④
5．在函式y＝2x3，y＝x2，y＝x2＋x，y＝x0中，冪函式有( )
a．1個b．2個 c．3個d．4個
6．冪函式f(x)＝滿足x＞1時f(x)＞1，則α滿足條件( )
a．α＞1 b．0＜α＜1 c．α＞0 d．α＞0且α≠1
7．冪函式y＝(m2＋m－5)xm2－m－的圖象分布在第
一、二象限，則實數m的值為 ( )
a．2或－3 b．2c．－3d．0
8．函式y＝xn在第一象限內的圖象如下圖所示，已知：n取±2，±四個值，則相應於曲線c1、c2、c3、c4的n依次為( )
a．－2，－，，2b．2，，－，－2
c．－，－2,2d．2，，－2，－
9．若a<0，則0.5a、5a、5－a的大小關係是( )
a．5－a<5a<0.5ab．5a<0.5a<5－ac．0.5a<5－a<5a d．5a<5－a<0.5a
10．在同一座標系內，函式y＝xa(a≠0)和y＝ax－的圖象可能是( )
二．填空題
1．函式f(x)＝(1－x)0＋的定義域為________．
2．已知冪函式y＝f(x)的圖象經過點(2，)，那麼這個冪函式的解析式為________．
3．若，則實數a的取值範圍是________．
三、解答題
1．已知函式f(x)＝(m2＋2m)·，m為何值時，f(x)是
(1)正比例函式；
(2)反比例函式；
(3)二次函式；
(4)冪函式．
2.函式f(x)＝(m2－m－5)是冪函式，且當x∈(0，＋∞)時，f(x)是增函式，試確定m的值．
冪函式練習題答案
一． 選擇題dccdb abbbc
二．填空題 1. (－∞，1) 2. 3. (3，＋∞)
三．解答題1. [解析] (1)若f(x)為正比例函式，則
m＝1.
(2)若f(x)為反比例函式，則
m＝－1.
(3)若f(x)為二次函式，則
m＝.(4)若f(x)為冪函式，則m2＋2m＝1，∴m＝－1±.
2.解：根據冪函式的定義得：m2－m－5＝1，
解得m＝3或m＝－2，
當m＝3時，f(x)＝x2在(0，＋∞)上是增函式；
當m＝－2時，f(x)＝x－3在(0，＋∞)上是減函式，不符合要求．故m＝3.
冪函式知識點總結
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