新課標立體幾何常考證明題彙總
1、已知四邊形是空間四邊形,分別是邊的中點
(1) 求證:efgh是平行四邊形
(2) 若bd=,ac=2,eg=2。求異面直線ac、bd所成的角和eg、bd所成的角。
證明:在中,∵分別是的中點∴
同理,∴∴四邊形是平行四邊形。
(2) 90° 30 °
考點:證平行(利用三角形中位線),異面直線所成的角
2、如圖,已知空間四邊形中,,是的中點。
求證:(1)平面cde;
(2)平面平面。
證明:(1)
同理,又∵ ∴平面
(2)由(1)有平面
又∵平面, ∴平面平面
考點:線面垂直,面面垂直的判定
3、如圖,在正方體中,是的中點,
求證:平面。
證明:連線交於,連線,
∵為的中點,為的中點
∴為三角形的中位線 ∴
又在平面內,在平面外
∴平面。
考點:線面平行的判定
4、已知中,面, ,求證:面.
證明 又面
面又面考點:線面垂直的判定
5、已知正方體,是底對角線的交點.
求證:(1) c1o∥面;(2)面.
證明:(1)鏈結,設,鏈結
∵是正方體是平行四邊形
∴a1c1∥ac且
又分別是的中點,∴o1c1∥ao且
是平行四邊形
面,面 ∴c1o∥面
(2)面
又同理可證, 又
面考點:線面平行的判定(利用平行四邊形),線面垂直的判定
6、正方體中,求證:(1);(2).
考點:線面垂直的判定
7、正方體abcd—a1b1c1d1中.(1)求證:平面a1bd∥平面b1d1c;
(2)若e、f分別是aa1,cc1的中點,求證:平面eb1d1∥平面fbd.
證明:(1)由b1b∥dd1,得四邊形bb1d1d是平行四邊形,∴b1d1∥bd,
又bd 平面b1d1c,b1d1平面b1d1c,
∴bd∥平面b1d1c.
同理a1d∥平面b1d1c.
而a1d∩bd=d,∴平面a1bd∥平面b1cd.
(2)由bd∥b1d1,得bd∥平面eb1d1.取bb1中點g,∴ae∥b1g.
從而得b1e∥ag,同理gf∥ad.∴ag∥df.∴b1e∥df.∴df∥平面eb1d1.∴平面eb1d1∥平面fbd.
考點:線面平行的判定(利用平行四邊形)
8、四面體中,分別為的中點,且,
,求證:平面
證明:取的中點,鏈結,∵分別為的中點,∴
,又∴,∴在中,
∴,∴,又,即,
∴平面考點:線面垂直的判定,三角形中位線,構造直角三角形
9、如圖是所在平面外一點,平面, 是的中點,是上的點,
(1)求證:;(2)當, 時,求的長。
證明:(1)取的中點,鏈結,∵是的中點,
∴,∵平面,∴ 平面
∴是在平面內的射影 ,取的中點,鏈結,∵∴,又,∴ [**:學§科§網]
∴,∴,由三垂線定理得
(2)∵,∴,∴,∵平面.∴,且,∴
考點:三垂線定理
10、如圖,在正方體中,、、分別是、、的中點.求證:平面∥平面.
證明:∵、分別是、的中點, ∥
又平面,平面∥平面
∵四邊形為平行四邊形,∥
又平面,平面∥平面
,平面∥平面
考點:線面平行的判定(利用三角形中位線)
11、如圖,在正方體中,是的中點.
(1)求證:平面;
(2)求證:平面平面.
證明:(1)設,
∵、分別是、的中點, ∥
又平面,平面, ∥平面
(2)∵平面,平面,
又,, 平面,平面,平面平面
考點:線面平行的判定(利用三角形中位線),面面垂直的判定
12、已知是矩形,平面,,,為的中點.
(1)求證:平面;(2)求直線與平面所成的角.
證明:在中,,
∵平面,平面,
又, 平面
(2)為與平面所成的角
在,,在中,
在中,,
考點:線面垂直的判定,構造直角三角形
13、如圖,在四稜錐中,底面是且邊長為的菱形,側面是等邊三角形,且平面垂直於底面.
(1)若為的中點,求證:平面;
(2)求證:;
(3)求二面角的大小.
證明:(1)為等邊三角形且為的中點,
又平面平面, 平面
(2)是等邊三角形且為的中點,
且,, 平面,
平面,(3)由,∥,
又,∥,
為二面角的平面角
在中,,
考點:線面垂直的判定,構造直角三角形,面面垂直的性質定理,二面角的求法(定義法)
14、如圖1,在正方體中,為的中點,ac交bd於點o,求證:平面mbd.
證明:鏈結mo,,∵db⊥,db⊥ac,,
∴db⊥平面,而平面∴db⊥.
設正方體稜長為,則,.
在rt△中,.∵,∴.
∵om∩db=o,∴⊥平面mbd.
考點:線面垂直的判定,運用勾股定理尋求線線垂直
15、如圖2,在三稜錐a-bcd中,bc=ac,ad=bd,
作be⊥cd,e為垂足,作ah⊥be於h.求證:ah⊥平面bcd.
證明:取ab的中點f,鏈結cf,df.
∵,∴.
又,∴平面cdf.
∵平面cdf,∴.
又,,∴平面abe,.
∴平面bcd.
考點:線面垂直的判定
16、證明:在正方體abcd-a1b1c1d1中,a1c⊥平面bc1d
證明:鏈結ac
∴ ac為a1c在平面ac上的射影
考點:線面垂直的判定,三垂線定理
17、如圖,過s引三條長度相等但不共面的線段sa、sb、sc,且∠asb=∠asc=60°,∠bsc=90°,求證:平面abc⊥平面bsc.
證明∵sb=sa=sc,∠asb=∠asc=60°∴ab=sa=ac取bc的中點o,連ao、so,則ao⊥bc,so⊥bc,
∴∠aos為二面角的平面角,設sa=sb=sc=a,又∠bsc=90°,∴bc=a,so=a,
ao2=ac2-oc2=a2-a2=a2,∴sa2=ao2+os2,∴∠aos=90°,從而平面abc⊥平面bsc.
考點:面面垂直的判定(證二面角是直二面角)
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考點1 證平行 利用三角形中位線 異面直線所成的角 已知四邊形是空間四邊形,分別是邊的中點 1 求證 efgh是平行四邊形 2 若bd ac 2,eg 2。求異面直線ac bd所成的角和eg bd所成的角。考點2 線面垂直,面面垂直的判定 如圖,已知空間四邊形中,是的中點。求證 1 平面cde 2 ...
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