1、 an+1=an+f（n）型
累加法:
an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…＋（a2-a1）+ a1
=f（n-1）+f（n-2）+…f（1）+ a1
例1 已知數列｛an｝滿足a1=1,an+1=an+2n（n∈n*）, 求an
解: an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…＋（a2-a1）+ a1
=2n-1+2n-2+…+21+1=2n-1（n∈n*）
例在數列{}中，,，求通項公式.
解：原遞推式可化為：
則，……，
逐項相加得：.故
2、型累積法:
所以例2:已知數列｛an｝滿足,求
解: =
例2 設數列{}是首項為1的正項數列，且（n=1,2,3…），則它的通項公式是=▁▁▁（2023年高考15題）.
解：原遞推式可化為：
=0∵＞0，
則……，
逐項相乘得：，即=.
3．型（p,q為常數）
方法：（1），再根據等比數列的相關知識求.
(2)再用累加法求.
(3) ,先用累加法求再求
例3．已知的首項（a為常數），，求
解設，則
為公比為2的等比數列。
題目:在數列(不是常數數列)中,且,求數列的通項公式.
解法一:因為,所以, ,所以, ,所以,數列是公比為的等比數列.又,所以, ,將代入上式可得.
[評注]這種方法叫做差分法.即由條件進行遞推可得,進一步可得,數列是公比為的等比數列,所以, ,再將代入即可求得.
解法二:所給數列對應的特徵方程為:,所以,特徵根為.因為,所以, ,即數列是公比為的等比數列,又,所以, .故.
[評注]:這種方法叫做特徵根法,因為,所以滿足(叫做此數列對應的特徵方程)的存在,由可得,所以,數列是以為首項,以為公比的等比數列或各項均為0,於是再根據條件,所以,.
解法三:設,即與已知對比可得,所以,.所以,可得,即數列是公比為的等比數列或者各項均為0.(下同解法二).
[評注]:這種方法通常叫做構造法.即由已知遞推式的特點構造乙個等比數列,再求通項公式.
設,與原遞推數列進行對比可以建立方程,求數所設實數的值即可得是以為首項,以為公比的等比數列.
以上三種方法雖然各不相同,但是它們有一點是共同的,即構造乙個等比數列,這就是本題的實質所在.
4．型（p為常數）
方法：變形得，則可用累加法求出，由此求得.
例4．已知滿足，求
解 為等差數列。
5.型（p,q為常數）
方法：待定糸數法設構造等比數列
例5．數列中，且，求.
6、取倒數法
例6 已知數列{}中，其中，且當n≥2時，，求通項公式。
解將兩邊取倒數得：，這說明是乙個等差數列，首項是，公差為2，所以，即.
7、取對數法
例若數列{}中， =3且（n是正整數），則它的通項公式是=▁▁▁（2023年上海高考題）.
解由題意知＞0，將兩邊取對數得，即，所以數列是以=為首項，公比為2的等比數列， ，即.
8、平方（開方）法
例8 若數列{}中， =2且（n），求它的通項公式是.
解將兩邊平方整理得。數列{}是以=4為首項，3為公差的等差數列。。因為＞0，所以。
9、待定係數法
待定係數法解題的關鍵是從策略上規範乙個遞推式可變成為何種等比數列，可以少走彎路.其變換的基本形式如下：
1、（a、b為常數）型，可化為=a（）的形式.
例9 若數列{}中， =1，是數列{}的前項之和，且（n），求數列{}的通項公式是.
解遞推式可變形為 （1）
設（1）式可化為2）
比較（1）式與（2）式的係數可得，則有。故數列{}是以為首項，3為公比的等比數列。=。所以。
當n，。
數列{}的通項公式是 。
2、（a、b、c為常數，下同）型，可化為=）的形式.
例10 在數列{}中，求通項公式。
解：原遞推式可化為：
比較係數得=-4，①式即是：.
則數列是乙個等比數列，其首項，公比是2. ∴即.
3、型，可化為的形式。
例11 在數列{}中，，當， ① 求通項公式.
解：①式可化為：
比較係數得=-3或=-2，不妨取=-2.①式可化為：
則是乙個等比數列，首項=2-2（-1）=4，公比為3.
∴.利用上題結果有：
.4、型，可化為的形式。
例12 在數列{}中，， =6 ①
求通項公式.
解 ①式可化為：
比較係數可得：
=-6，，② 式為
是乙個等比數列，首項，公比為.∴即
故.一、複習回顧
引入問題：已知數列滿足a1=1, 且an+1 =+1,求an。
分析一：歸納法。由遞推公式，可求出a2=4，a3=13，a4=40。
則a2-a1=3=31，a3-a2=9=32，a4-a3=27=33。由此猜測：an-an-1=3n-1（可用數學歸納法證明），所以an-1-an-2=3n-2，an-2-an-3=3n-3……，a4-a3=33，a3-a2=32，a2-a1=31，把上式子累加，得，an-a1=31+32+33+……+3n-1=，得an=。
分析二：構造法。由an+1 =+1，得an+1 +=3（an+），即數列為乙個公比為3的等比數列，則an+=(1+)·3n-1 =。
分析三：迭代法。an=3an-1+1=3(3an-2+1)+1=32an-2+31+1=…=3n-1a1+3n-2 1+3n-31 +…+31+1=
點評：（1）分析一中先猜測出前後兩項差的關係，再用累加法求出通項；這種用不完全歸納法求出前幾項再找規律的的方法，對所有求數列通項的題均適用，應培養歸納能力；
（2）分析二中構造出新數列，由新數列求出an的通項；
（3）分析三使用迭代法，這也是由遞推式求通項的基本方法。
本文將由此例題展開，對它進行各種變形，力求歸納出由遞推公式求通項公式的方法。
二、例題精講
例1.已知數列中，a1=1，對任意自然數n都有，求an。
分析：由已知，，，……，，，累加，得an-a1=
=。點評：（1）例3由例1中的常數項1變為f(n)而得來；
（2）遞推式為an+1=an+f(n)，只要f(1)+f(2)+……+f(n-1)是可求的，可用累加法求出。
（3）今年安徽題中也有這樣一題：已知數列中a1=1，且a2k=a2k-1+(-1)k，a2k+1=a2k+3k，其中k=1,2,3……（1）求a3，a5（2）求數列的通項公式。這是乙個an+1=an+f(n)型的函式，只不過偶數項減奇數項與奇數項減偶數項的f(n)不同而已，依照上法，可以輕鬆求解。
（4）運用模擬推理的思想方法，把例3與例1的形式進行比較後可看出類似之處，從而在方法上類同。
對遞推式為an+1=pan+q（p、q為常數）時，可構造新數列an+1+=p(an+)。其證明的簡略過程如下：由an+1=pan+q，令an+1+x =p(an+x)，化簡，得an+1=pan+px-x，因此px-x=q，即x=。
得證。例2：已知數列中，a1=1，，求an。
分析：把兩邊取倒數，可得。令，則bn+1=3bn+1，即引入問題，按上法可求解。
點評：（1）轉換問題，化成基本型後求解（運用反思維定勢定勢方法中的轉移思維方法）
（2）對分式型遞推數列可歸納如下：設a1=a，
①若d=0，則上式變形為，令,則,即基本型。
②若d，c≠0,且bc≠ad，令an= bn+t(t為待定係數)轉化為情形①。
例3. 在數列中，,求通項.
解：原遞推式可化為
比較係數可得：x=-6,y=9,上式即為
所以是乙個等比數列，首項,公比為.
即：故.(2)若(其中q是常數，且n0,1)
若p=1時，即：，累加即可.
若時，即：，
求通項方法有以下三種方向：. 兩邊同除以.
即： ,令，則,
然後型別1，累加求通項.
.兩邊同除以. 即： ,
令,則可化為.然後轉化為型別5來解，
.待定係數法：
設.通過比較係數，求出，轉化為等比數列求通項.
形如(其中p,q為常數)型
（1）當p+q=1時用轉化法
例4.數列中，若,且滿足,求.
解：把變形為.
則數列是以為首項，3為公比的等比數列，則
利用型別6的方法可得 .
（2）當時用待定係數法.
例5. 已知數列滿足，且,且滿足,求.
解：令,即,與已知
比較，則有,故或
下面我們取其中一組來運算，即有,
則數列是以為首項，3為公比的等比數列，故
,即,利用型別的方法，可得
. 評注：形如的遞推數列,我們通常採用兩次型別(5)的方法來求解,但這種方法比較複雜,我們採用特徵根的方法:設方程的二根為,設,再利用的值求得p,q的值即可.
形如(其中p,r為常數)型
（1）p>0， 用對數法.
例6. 設正項數列滿足，（n≥2）.求數列的通項公式.
解：兩邊取對數得：，，設，則，是以2為公比的等比數列， ，，，∴
練習數列中，，（n≥2），求數列的通項公式答案：
（2）p<0時用迭代法.
課堂小結：學生的體會是多方面、多角度的，因此小結內容也很靈活。
知識方面：數列的概念、數列的通項公式
能力方面：掌握研究問題的一般方法，主要有：觀察、發現、歸納、總結、模擬
思考問題：是否每乙個數列都能寫出它的通項公式？每乙個數列的通項公式是否唯一？
根據前n 項寫出的不同形式的通項公式所確定的數列是否是相同的？求遞推數列通項公式是數列知識的乙個重點，也是乙個難點，高考也往往通過考查遞推數列來考查學生對知識的探索能力，求遞推數列的通項公式一般是將遞推公式變形，推得原數列是一種特殊的數列或原數列的項的某種組合是一種特殊數列，把一些較難處理的數列問題化為中學中所研究的等差或等比數列。
利用遞推數列求通項公式，在理論上和實踐中均有較高的價值，下面介紹一下利用構造法求遞推數列的通項公式的方法和策略.
常見遞推數列求通項公式方法
遞推數列通項求解方法舉隅 型別一 思路1 遞推法 思路2 構造法 設，即得，數列是以為首項 為公比的等比數列，則，即。例1 已知數列滿足且，求數列的通項公式。解 方法1 遞推法 方法2 構造法 設，即，數列是以為首項 為公比的等比數列，則，即。型別二 思路1 遞推法 思路2 疊加法 依次類推有 將各...
九類常見遞推數列求通項公式方法
遞推數列通項求解方法 型別一 思路1 遞推法 思路2 構造法 設，即得，數列是以為首項 為公比的等比數列，則，即。例1 已知數列滿足且，求數列的通項公式。解 方法1 遞推法 方法2 構造法 設，即，數列是以為首項 為公比的等比數列，則，即。型別二 思路1 遞推法 思路2 疊加法 依次類推有 將各式疊...
由遞推公式求通項公式的方法
已知數列的遞推公式，求取其通項公式是數列中一類常見的題型，這類題型如果單純的看某乙個具體的題目，它的求解方法靈活是靈活多變的，構造的技巧性也很強，但是此類題目也有很強的規律性，存在著解決問題的通法，本文就高中數學中常見的幾類題型從解決通法上做一總結，方便於學生學習和老師的教學，不涉及具體某一題目的獨...