數學必做部分試卷
一、填空題
1．已知集合，，若，則等於 ．
2．若（，是虛數單位），則 ．
3、某單位招聘員工，有２００名應聘者參加筆試，隨機抽查了其中２０名應聘者筆試試卷，統計他們的成績如下表：
若按筆試成績擇優錄取5０名參加面試，由此可**參加面試的分數線為分
4、已知乙個演算法的偽**如圖所示，則輸出的結果為
5、若實數，則方程表示的曲線是焦點在y軸上的雙曲線概率為
6、「是週期函式」寫成三段論是： 大前提：三角函式都是週期函式；小前提
7、若規定，則不等式的解集是
8、兩個等差數列200，203，206，…和50，54，58…都有100項，它們共同的項的個數是
9、曲線在ｘ＝１處的切線與直線垂直，則實數ｂ的值為
10、若函式，在區間上是單調減函式，且函式值從１減少到－１，則
11、向量在向量上的投影
12、已知、、是雙曲線上不同的三點，且、兩點關於原點對稱，若直線的斜率乘積，則該雙曲線的離心率
13、設正實數滿足，則的最小值為 ．
14、將邊長為2正三角形薄片，沿一條平行於底邊的直線剪成兩塊，其中一塊是梯形，記,則s的最小值是
二、解答題
15、本小題滿分13分）
已知函式．
（ⅰ）求的值；
（ⅱ）若對於任意的，都有，求實數的取值範圍．
16、（本小題滿分14分）
如圖，直角梯形與等腰直角三角形所在的平面互相垂直．∥，，，．
（ⅰ）求證：；
（ⅱ）求點c到平面的距離；
（ⅲ）線段上是否存在點，使// 平面？若存在，求出；若不存在，說明理由．
17、（本小題滿分14分）
某公司有價值萬元的一條流水線，要提高該流水線的生產能力，就要對其進行技術改造，從而提高產品附加值，改造需要投入，假設附加值萬元與技術改造投入萬元之間的關係滿足：
①與和的乘積成正比；
②時，；
③，其中t為常數，且。
求：（1）設，求表示式，並求的定義域；
（2）求出附加值的最大值，並求出此時的技術改造投入。
18．（本小題滿分16分）
已知拋物線的焦點為，過點的直線交拋物線於，兩點．
（ⅰ）若，求直線的斜率；
（ⅱ）設點**段上運動，原點關於點的對稱點為，求四邊形面積的最小值．
19．（本小題滿分16分）
已知函式，其中．
（ⅰ）當時，求曲線在原點處的切線方程；
（ⅱ）求的單調區間；
（ⅲ）若在上存在最大值和最小值，求的取值範圍．
20、（本小題滿分16分）
已知數列滿足且
（1）求；
（2）數列滿足，且時．
證明：當時， ；
（3）在（2）的條件下，試比較與4的大小關係
數學理科加試部分試卷
1．（本小題10分）
已知矩陣m＝，求矩陣m的特徵值與特徵向量。
2．（本小題10分）
已知圓的極座標方程為，求的最大值。
3．（本小題10分）
已知等式，其中
ai（i=0，1，2，…，10）為實常數．
求：（1）的值；（2）的值．
4．（本小題10分）
已知的三邊長都是有理數
（1）求證：是有理數
（2）求證：對任意正整數，是有理數
15．（本小題滿分14分）
（ⅰ）解5分
（ⅱ）解7分
………………8分
9分 因為，所以10分
所以當，即時，取得最大值
所以， 等價於．
故當，時，的取值範圍是． ………………14分
16．（本小題滿分14分）
（ⅰ）證明：取中點，鏈結，．
因為，所以1分
因為四邊形為直角梯形，，，
所以四邊形為正方形，所以． ……………2分
所以平面3分
所以4分
（ⅱ）解9分
（ⅲ）解：存在點，且時，有// 平面14分
17.解：（1）設，當時，，可得：，∴
∴定義域為，為常數，且7分
（2）當時，即，時，
當，即，在上為增函式
∴當時13分
∴當，投入時，附加值y最大，為萬元；
當，投入時，附加值y最大，為萬元14分
18．（本小題滿分16分）
（ⅰ）解：依題意，設直線方程為1分
將直線的方程與拋物線的方程聯立，消去得． …………3分
設，，所以4分
因為，所以5分
聯立①和②，消去，得． ………6分
所以直線的斜率是8分
（ⅱ）解：由點與原點關於點對稱，得是線段的中點，從而點與點到直線的距離相等，
所以四邊形的面積等於
9分因為
13分 所以時，四邊形的面積最小，最小值是16分
19.（本小題滿分16分）
（ⅰ）解：當時2分
由， 得曲線在原點處的切線方程是．…………4分
（ⅱ）解5分
① 當時，．
所以在單調遞增，在單調遞減7分
當，．② 當時，令，得，，與的情況如下：
故的單調減區間是，；單調增區間是． ………9分
③ 當時，與的情況如下：
所以的單調增區間是；單調減區間是，．
11分（ⅲ）解：由（ⅱ）得，時不合題意12分
當時，由（ⅱ）得，在單調遞增，在單調遞減，所以在上存在最大值．
設為的零點，易知，且．從而時，；時，．
若在上存在最小值，必有，解得．
所以時，若在上存在最大值和最小值，的取值範圍是．
14分 當時，由（ⅱ）得，在單調遞減，在單調遞增，所以在上存在最小值．
若在上存在最大值，必有，解得，或．
所以時，若在上存在最大值和最小值，的取值範圍是．
綜上，的取值範圍是16分
20. （1）設
由，∴當時，數列為等差數列．
∴ ……4分
（2）證：當時，
由，得，
即②式減①式，有，得證． 8分
（3）解：當時， ；當時， ，
由（2）知，當時， 10分
∴當時，
∴上式，
16分附加題
1．矩陣的特徵多項式為， 令，解得，
將代入二元一次方程組解得，
所以矩陣屬於特徵值1的乙個特徵向量為；
同理，矩陣屬於特徵值2的乙個特徵向量為．
2．原方程化為
即………………………3分
∴圓的直角座標方程為……………5分
圓心m(2 , 2)，半徑為……………………7分
∴…………………10分
3．解析：（1）在中，
令，得2分
令，得．……………………4分
所以5分
（2）等式兩邊對x求導，得．…………7分
在中，令x=0，整理，得．……………10分
4．證明：（1）由為有理數及餘弦定理知
是有理數。
（2）用數學歸納法證明和都是有理數。
①當時，由（1）知是有理數，從而有也是有理數。
②假設當時，和都是有理數。
當時，由，
，及①和歸納假設，知和都是有理數。
即當時，結論成立。
綜合①、②可知，對任意正整數，是有理數。
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正題注意事項 1 本試卷分填空題和解答題兩部分，共160分 考試用時120分鐘 2 答題前，考生務必將自己的學校 姓名 考試號寫在答題紙的密封線內 答題時，填空題和解答題的答案寫在答題紙上對應題目的空格內，答案寫在試卷上無效 本卷考試結束後，上交答題紙 3 一律不准使用膠帶紙 修正液 可擦洗的原子筆...