專題8 解析幾何
一、填空題
例題1. 設圓：的一條切線與軸、軸分別交於點，則的最小值為 ▲ ．
答：4提示：方法一取特殊的直線ab：橫截距與縱截距相等。方法二不妨設切點p（第一象限），,則,故， 故ab=ap+bp
例題2.
答： 提示：由圓的平面幾何知識可得cp
例題3. 已知⊙a：，⊙b:，p是平面內一動點，過p作⊙a、⊙b的切線，切點分別為d、e，若，則p到座標原點距離的最小值為 ▲ ．
答： 提示：利用切線長公式求出點p的軌跡為直線，故p到座標原點距離的最小值為
例題4. 已知是橢圓的右焦點，點在橢圓上，線段與圓相切於點，且，則橢圓的離心率為
答： 提示：設左焦點e，連線pe，由圓的切線可得oqpf，而oq∥pf，故,，。
（備用題）過雙曲線的左焦點，作圓：的切線，切點為，延長交雙曲線右支於點，若，則雙曲線的離心率為
例題5. 橢圓的左，右焦點分別為弦過，若的內切圓的周長為兩點的座標分別為則
答： 提示：利用
例題6. 已知正方形的座標分別是, ,，，動點m滿足： 則
答： 提示：設點的座標為，∵，∴． 整理，得（），發現動點m的軌跡方程是橢圓，其焦點恰為兩點，所以
（備用）如圖，一圓形紙片的圓心為，是圓內一定點，是圓周上一動點，把紙片摺疊使點與點重合，然後抹平紙片，摺痕為，設與交於點，則點的軌跡是填寫「橢圓」、「雙曲線」、「拋物線」和「圓」中的一種情況）
橢圓例題7. 橢圓和雙曲線的公共焦點為是兩曲線的乙個交點, 則的面積為 ▲
答： 提示：先利用定義求pf1，pf2，再用餘弦定理求得，最後用面積公式
例題8. 設橢圓的上頂點為，橢圓上兩點在軸上的射影分別為左焦點和右焦點，直線的斜率為，過點且與垂直的直線與軸交於點，的外接圓為圓． 若直線與圓相交於兩點，且，則橢圓方程為
答：提示：由條件可知，
因為，所以得：。
，所以，，從而。
半徑為a，因為，所以，可得：m到直線距離為
從而，求出，所以橢圓方程為：；
例題9. 以橢圓的左焦點為圓心，c為半徑的圓與橢圓的左準線交於不同的兩點，則該橢圓的離心率的取值範圍是
答：提示：焦準距
例題10. 已知分別是雙曲線的左、右焦點，為雙曲線左支上任意一點，若的最小值為，則雙曲線的離心率的取值範圍為
答： 提示：，故
例題11. 已知雙曲線（為銳角）的右焦點f，p是右支上任意一點，以p為圓心，pf為半徑的圓在右準線上截得的弦長恰好等於pf，則
答：提示：先利用雙曲線的第二定義求出離心率，在求
（備用題）已知橢圓的方程為，過橢圓的右焦點且與x軸垂直的直線與橢圓交於p、q兩點，橢圓的右準線與x軸交於點m，若為正三角形，則橢圓的離心率等於 ▲
答：提示：利用可得
例題12. 設橢圓恆過定點,則橢圓的中心到準線的距離的最小值▲
答： 提示：令，消元可得：橢圓的中心到準線的距離=，再求之
例題13.如果p為橢圓的左焦點，過p的直線l與橢圓交與a,b兩點，若q在直線l上,且滿足，則點q總在定直線上．
答： 提示：取特殊的左準線，並取特殊點（）驗證之
例題14. 已知橢圓 （）與雙曲線有公共的焦點，的一條漸近線與以的長軸為直徑的圓相交於兩點.若恰好將線段三等分，則
答：提示：直線ab為代入橢圓求弦長mn=，再用可得
（備用）例題15下圖展示了乙個由區間（0，k）（其k為一正實數)到實數集r上的對映過程：區間（0，k）中的實數m對應線段ab上的點m，如圖1;將線段ab圍成乙個離心率為的橢圓，使兩端點a、b恰好重合於橢圓的乙個短軸端點，如圖2 ；再將這個橢圓放在平面直角座標系中，使其中心在座標原點，長軸在x軸上，已知此時點a的座標為（0，1)，如圖3，在圖形變化過程中，圖1中線段am的長度對應於圖3中的橢圓弧adm的長度.圖3中直線am與直線y= 2交於點n(n,—2)，則與實數m對應的實數就是n，記作f(m)=n,
現給出下列命題：①.；②是奇函式；③在定義域上單調遞增；④.的圖象關於點(，0)對稱；⑤f(m)=時am過橢圓右焦點.
其中所有的真命題是_______ (寫出所有真命題的序號）
③、④、⑤
二、解答題
例15．平面直角座標系xoy中，直線截以原點o為圓心的圓所得的弦長為
（1）求圓o的方程；
（2）若直線與圓o切於第一象限，且與座標軸交於d，e，當de長最小時，求直線的方程；
（3）設m，p是圓o上任意兩點，點m關於ｘ軸的對稱點為n，若直線mp、np分別交於ｘ軸於點
（ｍ，０）和（ｎ，０），問ｍｎ是否為定值？若是，請求出該定值；若不是，請說明理由。
解：⑴因為點到直線的距離為2分
所以圓的半徑為，
故圓的方程為4分
⑵設直線的方程為，即，
由直線與圓相切，得，即， ……………6分
，當且僅當時取等號，此時直線的方程為．………10分
⑶設，，則，，，
直線與軸交點，，
直線與軸交點14分
，故為定值216分
例16．（本題滿分16分）已知圓：，點在直線上，過點作圓的兩條切線，為兩切點，
(1) 求切線長的最小值，並求此時點的座標；
(2) 點為直線與直線的交點，若在平面內存在定點(不同於點，滿足：對於圓上任意一點，都有為一常數，求所有滿足條件的點的座標。
（3）求的最小值；
解：（1）設點
=故當，即時，
（2）由題：，
設，，滿足
則整理得：，對任意的點都成立，可得
解得，或（舍）
即點滿足題意。
（3）=,，令,而在上恆大於0，故
所以，當時取得
例17．如圖，正方形abcd內接於橢圓，且它的四條邊與座標軸平行，正方形mnpq的頂點m，n在橢圓上，頂點p，q在正方形的邊ab上，且a，m都在第一象限．
（）若正方形abcd的邊長為4，且與軸交於e，f兩點，正方形mnpq的邊長為2．
①求證：直線am與△abe的外接圓相切；
②求橢圓的標準方程．
（）設橢圓的離心率為，直線am的斜率為，求證：是定值．
解：（ⅰ）①依題意：，，
3分為外接圓直徑直線與的外接圓相切； 5分
②由解得橢圓標準方程為10分
（ⅱ）設正方形的邊長為，正方形的邊長為，
則，，代入橢圓方程得
14分為定值15分
例18．（本題滿分16分）如圖，已知橢圓，左、右焦點分別為，右頂點為a，上頂點為b, p為橢圓上在第一象限內一點．
（1）若,求橢圓的離心率；
（2）若，求直線的斜率；
（3）若、、成等差數列，橢圓的離心率，求直線的斜率的取值範圍.
解：（1）∵= ∴
∵a-c=2c2′
（2）設，
4′ ∴b-kc=2kc
∴b=3kc
∵a=3c∴b=2c ∴k7′
(3)設=t，則8′
∵p在第一象限 ∴
9′ ∴2t=
∴∴11′∴。∴。
又由已知12′
∴=令，∴）……13′
=∴。∴。
16′（備用）例19．如圖，點為圓形紙片內不同於圓心的定點，動點在圓周上，將紙片折起，使點與點重合，設摺痕交線段於點.現將圓形紙片放在平面直角座標系中，設圓：,記點的軌跡為曲線.
⑴證明曲線是橢圓，並寫出當時該橢圓的標準方程；
⑵設直線過點和橢圓的上頂點，點關於直線的對稱點為點，若橢圓的離心率，求點的縱座標的取值範圍.
解：（1）鏈結na, 由題意知，直線m是線段ma的中垂線，
∴na=nm, 而圓c的半徑為2分
∴nc+na=nc+nm=cm=(常數)
∴動點n到兩定點c, a的距離之和為常數，
所以，點n的軌跡是以定點c, a為焦點，長軸長為的橢圓
……………………4分
當時，由於，所以所求橢圓e的方程為
……………………6分
（2）橢圓e的方程為，其上頂點b
所以，直線的方程為8分
記點關於直線的對稱點
則有， 解得：……………………11分；
由，得12分
∴，令，因為則，
14分所以，點的縱座標的取值範圍是15分
（備用）例20．在平面直角座標系中，已知圓與軸正半軸的交點為f，ab為該圓的一條弦，直線ab的方程為．記以ab為直徑的圓為⊙c，記以點f為右焦點、短半軸長為（為常數）的橢圓為d．
（1）求⊙c和橢圓d的標準方程；
（2）當時，求證：橢圓d上任意一點都不在⊙c的內部；
（3）已知點m是橢圓d的長軸上異於頂點的任意一點，過點m且與軸不垂直的直線交橢圓d於p、q兩點（點p在軸上方），點p關於軸的對稱點為n，設直線qn交軸於點l，試判斷是否為定值？並證明你的結論．
解：（1）圓心 ，則⊙的半徑為．
從而⊙的方程為2分
橢圓d的標準方程為4分
（2）當時，橢圓d的方程為．
設橢圓d上任意一點，則，．
因為 ………6分
所以．從而橢圓d上的任意一點都不在在⊙c的內部8分
（3）為定值9分
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