高中思維訓練班《高一數學》
第1講-----集合與函式(上)
『本講要點』:複雜的集合關係與運算、函式定義的深化
『重點掌握』:函式的迭代
1.定義m與p的差集為m-p= ,若a=b= ,再定義 m△n =（m-n)∪(n-m），求a△b
2.集合a=中,任意取出乙個非空子集,計算它的各元素之和.則所有非空子集的元素之和是若a=,則所有子集的元素之和是
3.已知集合,,其中,並且都是正整數.若,.且中的所有元素之和為124,求集合a、b.
*4. 函式，求(本講重點迭代法)
5. 練習:定義:.已知是一次函式.當．求的解析式．(本講重點迭代法)
*6.設f(x)定義在正整數集上，且f(1)=1,f(x＋y)=f(x)＋f(y)＋xy。求f(x) (本講重點順序拼湊法)
『課後作業』:
7. 當n≥10時,f(n)=n-3;當n<10時,f(n)=f[f(n+5)] .求f（7）(本講重點迭代法)
*8. 已知f(1)=且當n＞1時有=2(n＋1)。求f(n) (n∈n+)(本講重點順序拼湊法)
9.求集合a =所有非空子集的元素之和
10.已知不等式ax2+bx+c＞0,的解集是,m＞0,求不等式cx2+bx+a＜0的解集
作業答案:7.8,8.1/n2+3n+1,9.略,10. x<1/n或x>1/m
答案:1. 【解】 a b= a-b= b-a= a△b=
2. 【解】〖分析〗已知的所有的子集共有個.而對於,顯然中包含的子集與集合的子集個數相等.這就說明在集合的所有子集中一共出現次,即對所有的求和,可得集合的所有子集的元素之和為
=3. 【解】,且,,又,所以
又,可得,並且或
若,即,則有解得或(舍)
此時有若,即,此時應有,則中的所有元素之和為100124.不合題意.
綜上可得,
5【解】
解：設f(x)=ax＋b (a≠0)，記f=fn(x)，則
n次f2(x)=f[f(x)]=a(ax＋b)＋b=a2x＋b(a＋1)
f3(x)=f=a[a2x＋b(a＋1)]＋b=a3x＋b(a2＋a＋1)
依次類推有：f10(x)=a10x＋b(a9＋a8＋…＋a＋1)=a10x＋
由題設知：
a10=1024 且=1023
∴a=2，b=1 或 a=－2，b=－3
∴f(x)=2x＋1 或 f(x)=－2x－3
8. 解：令y=1，得f(x＋1)=f(x)＋x＋1
再依次令x=1，2，…，n－1，有
f(2)=f(1)＋2
f(3)=f(2)＋3
……f(n－1)=f(n－2)＋(n－1)
f(n)=f(n－1)＋n
依次代入，得
f(n)=f(1)＋2＋3＋…＋(n－1)＋n=
∴f(x)=
(x∈n+)
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第2講-----函式(下)
『本講要點』:1.單調函式不等式的解法 2.根據抽象的函式條件拼湊出特定值的方法 3.抽象函式的週期問題
*1例 f(x)在x>0上為增函式,且.求:
(1)的值.
(2)若,解不等式
2例 f(x)對任意實數x與y都有f(x) + f(y) = f(x+y) + 2,當x>0時,f(x)>2
(1) 求證:f(x)在r上是增函式
(2) 若f(1)=5/2,解不等式f(2a-3) < 3
3練f(x)是定義在x>0的函式,且f(xy) = f(x) + f(y);當x>1時有f(x)<0;f(3) = -1.
(1) 求f(1)和f(1/9)的值
(2) 證明f(x)在x>1上是增函式
(3) 在x > 1上,若不等式f(x) + f(2-x) < 2成立,求x的取值範圍
4例幾個關於週期的常見的規律:
5練習:f(x)是定義在r上的奇函式,且f(x-2) = -f(x),以下結論正確的是(多選
= 0= f(x+4)
的圖象關於直線x=0對稱
= f(-x)
『課後作業』:
6 定義在x>0上,當x>1時,f(x)>0;對任意的正實數x和y都有f(xy) = f(x) + f(y).
(1) 證明f(x)在x>0上為增函式
(2) 若f(5) = 1,解不等式f(x+1) – f(2x) > 2
*7已知函式f(x)對任意實數x,都有f(x＋m)＝－,求證f(x)是週期函式
7. 當n≥10時,f(n)=n-3;當n<10時,f(n)=f[f(n+5)] .求f（7）(本講重點迭代法)
*8. 已知f(1)=且當n＞1時有=2(n＋1)。求f(n) (n∈n+)(本講重點順序拼湊法)
9.求集合a =所有非空子集的元素之和
10.已知不等式ax2+bx+c＞0,的解集是,m＞0,求不等式cx2+bx+a＜0的解集
作業答案:6. 07. 當n≥10時,f(n)=n-3;當n<10時,f(n)=f[f(n+5)] .求f（7）(本講重點迭代法)
*8. 已知f(1)=且當n＞1時有=2(n＋1)。求f(n) (n∈n+)(本講重點順序拼湊法)
9.求集合a =所有非空子集的元素之和
10.已知不等式ax2+bx+c＞0,的解集是,m＞0,求不等式cx2+bx+a＜0的解集
『上講課後作業回顧』:化學
5.有4.0克+2價金屬的氧化物與足量的稀鹽酸反應後，完全轉化為氯化物，測得氯化物的質量為9.5克，通過計算指出該金屬的名稱。(差量法)
6.取100克膽礬，需加入多少克水才能配成溶質質量分數為40%的硫酸銅溶液?( 十字交叉法)
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第3講-----函式的週期專題(下)、簡單的函式對稱問題
『本講要點』:函式的週期和對稱問題一直是高考的難點,本講對此進行專題性講解
『重點掌握』:湊f(x)法計算函式的週期
『需要的知識背景』:函式的奇偶性,一次函式、二次函式
1例已知f（x）是定義在r上的函式，滿足f（x+1）= - f（x）
（1）證明：f（x）是週期函式，並求最小正週期
（2）當x∈[0,1）時，f（x）=x ，求在 [-1,0）上的解析式
（t=2 ，已求好）（f（x）=-x -1 ，已求好）
**2例f(x)影象滿足下列條件，試證明f(x)為週期函式
（1）關於x=a, x=b 對稱2）關於(a,0), (b,0)對稱3）關於(a,0), x=b對稱.
*3練對函式f(x),當x∈（-∞，+∞）時，f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x),證明函式y=f(x)為週期函式,並求出最小正週期
f(x)=f(4-x)=f(14-x) f(x)=f(x+10) t=10
推廣該題，對任意不相等的兩個實數a,b,如果對任意x滿足f(a-x)=f(a+x),f(b-x)=f(b+x)，則該函式是以2(b-a)為週期的週期函式，證明同上面類似
4例設f(x)和g(x)均為週期函式，f(x)的週期為2，g(x)的週期為3，問： f(x)±g(x), f(x)g(x) 是否是週期函式?若是,求出它們的週期?
f(x)的週期為2，--->f(x+2m)=f(x)
g(x)的週期為3，--->g(x+3n)=g(x)
2與3的最小公倍數是6，--->f(x+6s)=f(x),g(x+6s)=g(x)
f(x+6s)±g(x+6s)=f(x)±g(x)---->f(x)±g(x)是週期為6的週期函式；
f(x+6s)g(x+6s)=f(x)g(x)-------->f(x)g(x)也是週期為6的週期函式。
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第4講----- 函式的對稱專題(下)
第5講----- 對稱與週期的關係
『本講要點』:較複雜的對稱與週期、函式的對稱與週期之間的關係
知識點1:兩個函式的圖象對稱性
性質1：與關於軸對稱。
換種說法：與若滿足，即它們關於對稱。
性質2：與關於y軸對稱。
換種說法：與若滿足，即它們關於對稱。
性質3：與關於直線對稱。
換種說法：與若滿足，即它們關於對稱。
性質4：與關於直線對稱。
換種說法：與若滿足，即它們關於對稱。
性質5：關於點對稱。
換種說法：與若滿足，即它們關於點對稱。
性質6：與關於直線對稱。
知識點2:單個函式的對稱性
性質1：函式滿足時，函式的圖象關於直線對稱。
證明：性質2：函式滿足時，函式的圖象關於點（，）對稱。
證明：性質3：函式的圖象與的圖象關於直線對稱。
證明：知識點3:對稱性和週期性之間的聯絡
性質1：函式滿足， ，求證：函式是週期函式。
證明：性質2：函式滿足和時，函式是週期函式。（函式圖象有兩個對稱中心（a，）、（b，）時，函式是週期函式，且對稱中心距離的兩倍，是函式的乙個週期）
證明：性質3：函式有乙個對稱中心（a，c）和乙個對稱軸（a≠b）時，該函式也是週期函式，且乙個週期是。
證明：推論：若定義在上的函式的圖象關於直線和點對稱，則是週期函式，是它的乙個週期
證明：性質4：若函式對定義域內的任意滿足：,則為函式的週期。（若滿足則的圖象以為圖象的對稱軸，應注意二者的區別)
證明：性質5：已知函式對任意實數,都有，則是以為週期的函式
證明：『例題與習題』:
1例（2005高考·福建理）是定義在上的以3為週期的奇函式，且，則方程在區間（0，6）內解的個數的最小值是（ ）
a．3b．4c．5d．7
*2例的定義域是，且,若. 求f(2008)的值。
3練函式對於任意實數滿足條件，若則
解：由得，所以，則
*4例若函式在上是奇函式，且在上是增函式，且.
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