第三知識塊三角函式、解三角形
第1講角的概念的推廣和弧度制及任意角
的三角函式
一、選擇題
1．(2009·廣東中山模擬)設θ是第三象限角，且＝－cos，則是( )
a．第一象限角b．第二象限角
c．第三象限角d．第四象限角
解析：由已知θ是第三象限角知是第
二、四象限角，再由cos≤0可得．
答案：b
2．角α的終邊上有一點p(a，a)(a≠0)，則cos α＝( )
abc.或d．1
解析：∵r＝＝|a|，
當a>0時，cos α＝＝；
當a<0時，cos α＝＝－.
答案：c
3．(2010·模擬精選)點p從(1,0)出發，沿單位圓x2＋y2＝1逆時針方向運動π弧長到達
q點，則q點的座標為( )
ab.cd.
解析：設q(x，y)為角α終邊上一點，依題意sin α＝y＝sinπ＝，cos α＝x＝cosπ＝
－，故q點的座標為.
答案：a
4．已知點p(sin α－cos α，tan α)在第一象限，則在[0, 2π]內α的取值範圍是( )
ab.∪
cd.∪
解析：由題設有
又0≤α≤2π，∴α∈∪.
答案：b
二、填空題
5．若角θ的終邊與168°角的終邊相同，則在0°～360°內終邊與角的終邊相同的角的集
合為________．
解析：由θ＝k·360°＋168°(k∈z)，
∴＝ (k∈z)．
由0°≤<360°，
即0°≤<360°
∴k＝0, 1, 2.∴＝56°或176°或296°.
答案：6．(2010·遼寧丹東檢測)已知角α的終邊落在直線y＝－3x(x<0)上，則
解析：∵角α的終邊落在直線y＝－3x(x<0)上，
在角α的終邊上取一點p(x0，－3x0)(x0<0)，
∴－3x0>0，∴p在第二象限，
∴－＝－＝1＋1＝2.
答案：2
7．扇形oab的面積是1，它的周長是4，則弦長ab
解析：設扇形的半徑為r，弧長為l，中心角的弧度數為α，
則有解得由|α|＝得|α|＝2，
∴弦長ab＝2sin 1.
答案：2sin 1
三、解答題
8．已知角α終邊經過點p(x，－)(x≠0)，且cos α＝x，求sin α，tan α的值．
解：∵p(x，－)(x≠0)，∴p到原點距離r＝，
又cos α＝x，
∴cos α＝＝x.
∵x≠0，∴x＝±，∴r＝2.
當x＝時，p點座標為(，－)，
由三角函式定義，有sin α＝－，tan α＝－，
當x＝－時，p點座標為(－，－)，
∴sin α＝－，tan α＝.
9．已知一扇形的中心角是α，所在圓的半徑是r.
(1)若α＝60°，r＝10 cm，求扇形的弧長及該弧所在的弓形面積；
(2)若扇形的周長是一定值c(c>0)，當α為多少弧度時，該扇形有最大面積？
解：(1)設弧長為l，弓形面積為s弓，
∵α＝60°＝rad，r＝10 cm，∴l＝cm.
s弓＝s扇－s△＝··10－·102·sin 60°
＝50 (cm2)；
所以該扇形的弧長為π cm，
弓形面積為50 cm2.
(2)設扇形所在圓的半徑為r，則弧長為c－2r，
∴s扇＝(c－2r)·r＝－r2＋cr
＝－2＋c2.
又∵∴當r＝c時，扇形的面積最大．
此時圓心角α＝＝2，扇形最大面積為.
10．設α∈，試證明：sin α<α證明：如右圖，在平面直角座標系中作單位圓，設角α以x
軸非負半軸為始邊，終邊與單位圓交於p點．
∵s△opa∴|mp|<α<|at|，
∴sin α<α1．(2010·創新題)如圖，設點a是單位圓上的一定點，動點p
從點a出發在圓上按逆時針方向旋轉一周，點p所旋轉過
的弧ap的長為l，弦ap的長為d，則函式d＝f(l)的圖象
大致是( )
解析：∠aop＝l，當0≤l≤π，d＝2sin，
當π∴d＝2sin，0≤l≤2π.
答案：c
2．閱讀下列命題：
①若點p(a,2a)(a≠0)為角α終邊上一點，則sin α＝；
②同時滿足sin α＝，cos α＝的角有且只有乙個；
③設tan α＝且π<α<，則sin α＝－；
④設cos(sin θ)·tan(cos θ)>0(θ為象限角)，則θ為第一象限角．
其中正確命題為將正確命題的序號填在橫線上)
解析：①∵p在角α的終邊上，∴x＝a，y＝2a，r＝|a|，
∴sin α＝＝＝±.∴①不正確．
②∵sin α＝>0，cos α＝>0，
∴α為第一象限內的角．
由終邊相同角的三角函式值相等知α可有無數多個，
∴②不正確．
③∵tan α＝，∴＝，又sin2α＋cos2α＝1，
∴sin2α＝，又∵π<α<，
∴sin α＝－，故③正確．
④∵θ為象限角，∴－1∴sin θ作為角應為第
一、四象限角，
∴cos(sin θ)>0，又∵cos(sin θ)·tan(cos θ)>0，
∴tan(cos θ)>0，∴cos θ作為角應為第
一、三象限角．
又∵θ為象限角，∴－1∴0答案：③
第3知識塊第6講
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