專題43 直角三角形
聚焦考點☆溫習理解
一、直角三角形
1.定義
有乙個角是直角的三角形叫作直角三角形
2.性質
（1）直角三角形兩銳角互餘.
（2）在直角三角形中，如果乙個銳角等於30°，那麼它所對的直角邊等於斜邊的一半；
（3）在直角三角形中，斜邊上的中線等於斜邊的一半.
3.判定
（1）兩個內角互餘的三角形是直角三角形.
（2）三角形一邊上的中線等於這條邊的一半，那麼這個三角形是直角三角形.
二、勾股定理及逆定理
1. 勾股定理：
直角三角形的兩條直角邊a、b的平方和等於斜邊c的平方，即：a2+b2=c2;
2. 勾股定理的逆定理
如果三角形的三條邊a、b、c有關係：a2+b2=c2，那麼這個三角形是直角三角形.
三、直角三角形全等的判定：
對於特殊的直角三角形，判定它們全等時，除了有一般三角形全等的判定方法，還有hl定理（斜邊、直角邊定理）：
有斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等（可簡寫成「斜邊、直角邊」或「hl」）
四、互逆命題、互逆定理
1.互逆命題
如果乙個命題的題設和結論是另乙個命題的結論和題設，我們把風這兩個命題叫做互逆命題.把其中乙個叫做原命題，那麼另乙個叫做它的逆命題.
2.互逆定理
若乙個定理的逆命題是正確的，那麼它就是這個定理的逆定理，稱這兩個定理為互逆定理.
名師點睛☆典例分類
考點典例
一、直角三角形的判定
【例1】下列四組線段中，可以構成直角三角形的是( )
a．4,5,6 b．1.5,2，2.5 c．2,3,4 d．1， ，3
【答案】b．
考點：勾股定理的逆定理．
【舉一反三】
（舟山一中期中）將下列長度的三根木棒首尾順次連線，能組成直角三角形的是（ ）
a．3、4、5 b．2、3、4 c．1、2、3 d．4、5、6
【答案】a．
【解析】
試題分析：選項a，32+52=25=52；選項b， 22+32=≠42；選項c， 12+22≠32；選項d， 42+52≠62．根據勾股定理的逆定理可得只有選項a能夠成直角三角形，故答案選a．
考點：勾股定理的逆定理．
考點典例
二、直角三角形的性質
【例2】如圖，在rt△abc中，d，e為斜邊ab上的兩個點，且bd=bc，ae=ac，則∠dce的大小為 ．
【答案】45°．
考點：1.等腰三角形的性質；2.三角形內角和定理；3.方程思想的應用．
【舉一反三】
在乙個直角三角形中，有乙個銳角等於60°，則另乙個銳角的度數是( )
a．120° b．90° c．60° d．30°
【答案】d．
【解析】
試題分析：根據直角三角形兩銳角互餘列式計算即可得解：
∵直角三角形中，乙個銳角等於60°，∴另乙個銳角的度數=90°﹣60°=30°．
故選d．
考點：直角三角形兩銳角的關係.
考點典例
三、直角三角形斜邊上的中線
【例3】如圖，在rt△abc中，∠acb=90°，點d是ab的中點，且cd=，如果rt△abc的面積為1，則它的周長為（ ）
a． b． cd．
【答案】d
考點：勾股定理；直角三角形斜邊上的中線．
【點睛】本題主要考查了等邊三角形的判定和性質及平移的性質，解題的關鍵是據圖找出規律．
【舉一反三】
（2015.山東棗莊，第15題，4分）如圖，△abc中，cd⊥ab於d，e是ac的中點，若ad=6，de=5，則cd
【答案】
【解析】
【試題分析】因為cd⊥ab，所以△adc是直角三角形，e為ac的中點，所以ac=2de=10，由勾股定理可得ad=8.
考點：直角三角形的性質
考點典例
四、命題
【例3】下列命題中，是真命題的是( )
a．等腰三角形都相似 b．等邊三角形都相似
c．銳角三角形都相似 d．直角三角形都相似
【答案】b．
【解析】
試題分析：根據相似三角形的判定，只有等邊三角形的內角都相等，為60°，從而都相似. 故選b．
考點：1. 命題和定理；2.相似三角形的判定；3. 等邊三角形的性質.
【點睛】本題考查了軸對稱的性質，解直角三角形，等腰直角三角形的判定與性質，正方形的判定與性質，熟記性質是解題的關鍵，設出邊長為1可使求解過程更容易理解．
【舉一反三】
下列命題錯誤的是（ ）
a．所有的實數都可用數軸上的點表示
b．等角的補角相等
c．無理數包括正無理數，0，負無理數
d．兩點之間，線段最短
【答案】
【解析】
試題分析：根據實數與數軸上的點一一對應對a進行判斷；
根據補角的定義對b進行判斷；
根據無理數的分類對c進行判斷；
根據線段公理對d進行判斷．
考點：命題與定理．
課時作業☆能力提公升
一、選擇題
1. (2015.北京市，第6題，3分)如圖，公路ac，bc互相垂直，公路ab的中點m與點c被湖隔開，若測得am的長為1.2km，則m、c兩點間的距離為( )
a0.5km b.0.6km c.0.9km d.1.2km
【答案】d．
【解析】
試題分析：根據直角三角形斜邊上的中線等於斜邊的一半可得mc=1.2km．故選d．
考點：直角三角形斜邊上的中線等於斜邊的一半
2. （2015·湖北黃岡，6題，3分）如圖，在△abc 中，∠c=rt∠，∠b=30°，邊ab 的垂直平分線de 交ab 於點e，交bc 於點d，cd=3，則bc 的長為（ ）
a．6b． c．9d．
【答案】c．
考點：1．含30度角的直角三角形；2．線段垂直平分線的性質．
3.（2015·遼寧大連）如圖，在△abc中，∠c=90°，ac=2，點d在bc上，∠adc=2∠b，ad=，則bc的長為（ ）
a.-1 b.+1 c.-1 d.+1
【答案】d
【解析】
試題分析：在△adc中，∠c=90°，ac=2，所以cd=，
因為∠adc=2∠b，∠adc=∠b+∠bad，所以∠b=∠bad，所以bd=ad=，所以bc=+1，故選d.
考點：解直角三角形.
4.（2015資陽）如圖，透明的圓柱形容器（容器厚度忽略不計）的高為12cm，底面周長為10cm，在容器內壁離容器底部3cm的點b處有一飯粒，此時乙隻螞蟻正好在容器外壁，且離容器上沿3cm的點a處，則螞蟻吃到飯粒需爬行的最短路徑是（ ）
a．13cm b．cm c．cm d．cm
【答案】a．
【解析】
試題分析：如圖：∵高為12cm，底面周長為10cm，在容器內壁離容器底部3cm的點b處有一飯粒，此時螞蟻正好在容器外壁，離容器上沿3cm與飯粒相對的點a處，∴a′d=5cm，bd=12﹣3+ae=12cm，∴將容器側面展開，作a關於ef的對稱點a′，連線a′b，則a′b即為最短距離，a′b===13（cm）．故選a．
考點：平面展開-最短路徑問題．
5.（2015眉山）如圖，在rt△abc中，∠b=900，∠a=300，de垂直平分斜邊ac，交ab於d，e是垂足，連線cd．若bd=l，則ac的長是（ ）
a． b．2 c． d．4
【答案】a．
【解析】
試題分析：在rt△abc中，∵∠b=90°，∠a=30°，∴∠acb=60°，∵de垂直平分斜邊ac，∴ad=cd，∴∠acd=∠a=30°，∴∠dcb=60°﹣30°=30°，在rt△dbc中，∠b=90°，∠dcb=30°，bd=1，∴cd=2bd=2，由勾股定理得：bc==，在rt△abc中，∠b=90°，∠a=30°，bc=，∴ac=2bc=，故選a．
考點：1．含30度角的直角三角形；2．線段垂直平分線的性質；3．勾股定理．
6.（2015樂山）如圖，已知△abc的三個頂點均在格點上，則cosa的值為（ ）
a． b． c． d．
【答案】d．
考點：1．銳角三角函式的定義；2．勾股定理；3．勾股定理的逆定理；4．網格型．
二、填空題
7.（2015成都）如圖，在平行四邊形abcd中，ab=，ad=4，將平行四邊形abcd沿ae翻摺後，點b恰好與點c重合，則摺痕ae的長為________．
【答案】3．
【解析】
試題分析：點b恰好與點c重合，且四邊形abcd是平行四邊形，根據翻摺的性質， 則ae⊥bc，be=ce=2，在rt△abe中，由勾股定理得．故答案為：3．
考點：1．翻摺變換（摺疊問題）；2．勾股定理；3．平行四邊形的性質．
8.（2015內江）在△abc中，∠b=30°，ab=12，ac=6，則bc= ．
【答案】．
考點：1．含30度角的直角三角形；2．勾股定理．
9.如圖，在rt△abc中，∠abc=90°，ab=3，ac=5，點e在bc上，將△abc沿ae摺疊，使點b落在ac邊上的點b′處，則be的長為 ．
【答案】．
【解析】
試題分析：∵在rt△abc中，∠abc=90°，ab=3，ac=5，
∴.由摺疊的性質得：be=be′，ab=ab′，
設be=x，則b′e=x，ce=4﹣x，b′c=ac﹣ab′=ac﹣ab=2，
在rt△b′ec中，b′e2+b′c2=ec2，即x2+22=（4﹣x）2，解得：x=．
∴be的長為．
考點：1. 摺疊的性質；2.勾股定理；3.方程思想的應用.
10. （2015·黑龍江省黑河市、齊齊哈爾市、大興安嶺）bd為等腰△abc的腰ac上的高，bd=1，tan∠abd=，則cd的長為
【答案】或或．
【解析】
試題分析：分三種情況：①如圖1，∠a為鈍角，ab=ac，在rt△abd中，∵bd=1，tan∠abd=，∴ad=，ab=2，∴ac=2，∴cd=，
②如圖2，∠a為銳角，ab=ac，在rt△abd中，∵bd=1，tan∠abd=，∴ad=，ab=2，∴ac=2，∴cd=，
③如圖3，ba=bc，∵bd⊥ac，∴ad=cd，在rt△abd中，∵bd=1，tan∠abd=，∴ad=，∴cd=，
綜上所述；cd的長為：或或，故答案為：或或．
考點：1．解直角三角形；2．等腰三角形的性質；3．勾股定理．
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