導數定義及運算法則
【知識點】
設函式在處附近有定義，當自變數在處有增量時，則函式相應地有增量，如果時，與的比（也叫函式的平均變化率）有極限即無限趨近於某個常數，我們把這個極限值叫做函式在處的導數，記作，即
在定義式中，設，則，當趨近於時，趨近於，因此，導數的定義式可寫成
.導數的幾何意義：
導數是函式在點的處瞬時變化率，它反映的函式在點處變化的快慢程度.
它的幾何意義是曲線上點（）處的切線的斜率.因此，如果在點可導，則曲線在點（）處的切線方程為
導函式(導數):如果函式在開區間內的每點處都有導數，此時對於每乙個，都對應著乙個確定的導數，從而構成了乙個新的函式, 稱這個函式為函式在開區間內的導函式，簡稱導數，也可記作，即＝＝
函式在處的導數就是函式在開區間上導數在處的函式值，即＝.所以函式在處的導數也記作
可導: 如果函式在開區間內每一點都有導數，則稱函式在開區間內可導
可導與連續的關係：如果函式在點處可導，那麼函式在點處連續，反之不成立. 函式具有連續性是函式具有可導性的必要條件，而不是充分條件.
求函式的導數的一般步驟：求函式的改變量
求平均變化率；取極限，得導數
幾種常見函式的導數：
(為常數
求導法則：
法則 ．
法則 ,
法則：復合函式的導數：設函式在點處有導數，函式在點的對應點處有導數，則復合函式在點x處也有導數，且或
復合函式的求導法則：復合函式對自變數的導數，等於已知函式對中間變數的導數，乘以中間變數對自變數的導數
復合函式求導的基本步驟是：分解——求導——相乘——回代
導數的幾何意義是曲線在點（）處的切線的斜率，即，
要注意「過點的曲線的切線方程」與「在點處的切線方程」是不盡相同的，後者必為切點，前者未必是切點.
【練習】
問題1．
已知，求
設函式在點處可導，求
對於上可導的任意函式，若滿足≥，則必有
≤≥設函式，在上均可導，且，則當時，有
問題2．
的導函式的圖象如圖所示，則的圖象最有可能的是
問題3．
求下列函式的導數：
問題4．
求過點且與曲線相切的直線方程.
（全國ⅱ文）過點作拋物線的切線，則其中一條切線為
（屆高三攸縣一中）已知曲線的一條切線方程是，則
的值為或或
【課後作業】
若,求（屆高三皖南八校聯考）已知，則
（四）走向高考：
過原點作曲線的切線，則切點的座標為 ，切線的斜率為
設函式（），若是奇函式，
則設，，，…，，，則
若曲線的一條切線與直線垂直，則的方程為
； ； ；
曲線在點處的切線與座標軸所圍三角形的面積為
已知曲線的一條切線的斜率為，則切點的橫座標為
已知函式的圖象在點處的切線方程是，則
曲線在點處的切線方程是
對正整數，設曲線在處的切線與軸交點的縱座標為，則數列的前項和的公式是
已知函式在處取得極值.
討論和函式的的極大值還是極小值；
過點作曲線的切線，求此切線方程.
導數的應用
（一） 主要知識及主要方法：
利用導數研究多項式函式單調性的一般步驟:
求;確定在內符號;若在上恆成立，則在上
是增函式；若在上恆成立，則在上是減函式
①為增函式（為減函式）.
②在區間上是增函式≥在上恆成立；
在區間上為減函式≤在上恆成立.
極大值： 一般地，設函式在點附近有定義，如果對附近的所有的點，都有，就說是函式的乙個極大值，記作極大值，是極大值點.
極小值：一般地，設函式在附近有定義，如果對附近的所有的點，都有就說是函式的乙個極小值，記作極小值，是極小值點.
極大值與極小值統稱為極值
在定義中，取得極值的點稱為極值點，極值點是自變數的值，極值指的是函式值請注意以下幾點：
（）極值是乙個區域性概念由定義，極值只是某個點的函式值與它附近點的函式值比較是最大或最小.並不意味著它在函式的整個的定義域內最大或最小.
（）函式的極值不是唯一的即乙個函式在某區間上或定義域內極xs大值或極小值可以不止乙個.
（）極大值與極小值之間無確定的大小關係即乙個函式的極大值未必大於極小值，如下圖所示，是極大值點，是極小值點，而》.
（）函式的極值點一定出現在區間的內部，區間的端點不能成為極值點而使函式取得最大值、最小值的點可能在區間的內部，也可能在區間的端點.
當在點連續時，判別是極大、極小值的方法:
若滿足，且在的兩側的導數異號，則是的極值點，是極值，並且如果在兩側滿足「左正右負」，則是的極大值點，是極大值；如果在兩側滿足「左負右正」，則是的極小值點，是極小值.
求可導函式的極值的步驟:
確定函式的定義區間，求導數求方程的根
用函式的導數為的點，順次將函式的定義區間分成若干小開區間，並列成**.檢查在方程根左右的值的符號，如果左正右負，那麼在這個根處取得極大值；如果左負右正，那麼在這個根處取得極小值；如果左右不改變符號，那麼在這個根處無極值.如果函式在某些點處連續但不可導，也需要考慮這些點是否是極值點 .
函式的最大值和最小值: 一般地，在閉區間上連續的函式在上必有最大值與最小值．
說明：在開區間內連續的函式不一定有最大值與最小值．如函式在內連續，但沒有最大值與最小值；
函式的最值是比較整個定義域內的函式值得出的；函式的極值是比較極值點附近函式值得出的．
函式在閉區間上連續，是在閉區間上有最大值與最小值的充分條件而非必要條件．
函式在其定義區間上的最大值、最小值最多各有乙個，而函式的極值可能不止乙個，也可能沒有乙個.
利用導數求函式的最值步驟:
由上面函式的圖象可以看出，只要把連續函式所有的極值與定義區間端點的函式值進行比較，就可以得出函式的最值了．
設函式在上連續，在內可導，則求在上的最大值與最小值的步驟如下：求在內的極值；
將的各極值與、比較得出函式在上的最值p
求引數範圍的方法：①分離變數法；②構造（差）函式法.
建構函式法是證明不等式的常用方法：構造時要注意四變原則：變具體為抽象，變常量為變數，變主元為輔元，變分式為整式.
通過求導求函式不等式的基本思路是：以導函式和不等式為基礎，單調性為主線，最(極值）為助手，從數形結合、分類討論等多視角進行綜合探索.
（二）典例分析：
問題1．
函式在定義域內可導，其圖象如圖所示，記的導函式為，則不等式的解集為
設均是定義在上的奇函式，當時，
，且，則不等式的解集是
問題2．
如果函式在區間上單調遞增，並且方程的根都在區間內，則的取值範圍為
已知，那麼在區間上單調遞增在上單調遞增
在上單調遞增在上單調遞增
函式，（ⅰ）求的單調區間和極值；
（ⅱ）若關於的方程有個不同實根，求實數的取值範圍.
（ⅲ）已知當時，≥恆成立，求實數的取值範圍.
問題3．
已知函式，其中．
（ⅰ）當時，求曲線在點處的切線方程；
（ⅱ）當時，求函式的單調區間與極值．
問題4．
1．已知定義在正實數集上的函式，，其中．設兩曲線，有公共點，且在該點處的切線相同．（ⅰ）用表示，並求的最大值；（ⅱ）求證：≥（）．
若函式在上可導且滿足不等式
恆成立，且常數滿足，則下列不等式一定成立的是
求滿足條件的的範圍：
使為上增函式，則的範圍是
使為上增函式，則的範圍是
使為上增函式，則的範圍是
證明方程在上至多有一實根.
如果是二次函式, 且的圖象開口向上,頂點座標為, 那麼曲線上任一點的切線的傾斜角的取值範圍是
如圖，是函式的大致影象，則等於
函式的定義域是開區間,
導函式在內的圖象如圖所示，則函式
在開區間內有極小值點
個個個個
函式的圖象如圖所示，
且，則有
已知：，證明不等式：
設恰有三個單調區間，試確定的取值範圍，並求出這三個單調區間
已知函式在處取得極值．求實數的值；若關於的方程在區間上恰有兩個不同的實數根，求實數的取值範圍；證明：對任意的正整數，不等式都成立．
（四）走向高考：
是定義在上的非負可導函式，且滿足≤．
對任意正數，若，則必有
≤ ≤ ≤≤
已知二次函式的導數為，，對於任意實數，有≥，則的最小值為
函式在下面哪個區間內是增函式
曲線在點處的切線與軸、直線所圍成的三角形的面積為，則
已知函式在處取得極值，其中為常數．（ⅰ）試確定的值；（ⅱ）討論函式的單調區間；
（ⅲ）若對任意，不等式恆成立，求的取值範圍．
設函式（ⅰ）若當時，取得極值，求的值，並討論的單調性；
（ⅱ）若存在極值，求的取值範圍，並證明所有極值之和大於．
設函式．
（ⅰ）證明：的導數；
（ⅱ）若對所有都有，求的取值範圍．
若函式在區間內為減函式，在區間內為增函式，試求實數的取值範圍.
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