一、一周知識概述
勾股定理:如果直角三角形的兩條直角邊長分別為a、b，斜邊為c，那麼a2＋b2=c2．即直角三角形兩直角邊的平方和等於斜邊的平方．
勾股定理只適用於直角三角形，對於一般非直角三角形就不存在這種關係．勾股定理的作用是：①已知直角三角形的兩邊求第三邊；②在直角三角形中，已知其中的一邊，求另兩邊的關係；③用於證明平方關係；④利用勾股定理，作出長為的線段．
二、重點、難點、疑點突破
1、勾股定理:勾股定理反映了直角三角形（三邊分別為a，b，c，其中c為斜邊）的三邊關係，即c2=a2＋b2． 它的變形為c2－a2=b2或c2－b2=a2．
運用它可以由直角三角形中的兩條邊長求第三邊．
例如：已知乙個直角三角形兩邊長分別為3cm，4cm，求第三邊長．
因為該題設沒有說明哪條邊是直角三角形的斜邊，所以要進行分類討論．
當兩直角邊分別為3cm，4cm時;當斜邊為4cm，一直角邊為3cm時
2、直角三角形的幾個性質
（1）兩銳角互餘； （2）三邊長滿足勾股定理；
（3）如果有乙個銳角等於30°，那麼所對的直角邊（設此邊長為a）等於斜邊的一半，三邊長的關係為a，，2a； （4）等腰直角三角形（直角邊邊長為a）三邊長的關係為a，a，； （5）面積等於兩直角邊乘積的一半．
3、用尺規畫長為的線段
教材中介紹了用尺規畫長為的線段的作法，對畫長為（k為自然數）的線段，我們通常可將k寫成兩個自然數的平方和或平方差來解決．
例如用尺規畫長為的線段．
因為21=25－4=52－22，所以畫rt△abc，使一條直角邊ac=2，斜邊ab=5，則另一條直角邊bc=；同理，因為37=36＋1=62＋12，所以畫rt△abc，使兩直角邊ac=1，bc=6，則斜邊ab=．
4、數形結合思想
三、典型例題剖析
1、運用勾股定理求值
例1、如圖，在△abc中，cd⊥ab於d，若ab=5，cd=，∠bcd=30°，求ac的長．解：∵cd⊥ab於d，∠bcd=30°，∴bd=bc．
設bd=x，則bc=2x．
在rt△bcd中，由勾股定理有bd2＋cd2=bc2，即
點撥：這裡分別在兩個直角三角形中運用了勾股定理，但含30°角的直角三角形的性質也給解題帶來了很大的方便．
例2、如圖，在△abc中，∠a=90°，p是ac的中點，pd⊥bc於d，bc=9，dc=3，求ab的長．
解：鏈結pb，bd=bc－dc=6．
在rt△bdp和rt△pdc中，
pd2=bp2－bd2，pd2=pc2－dc2，
∴bp2－bd2=pc2－dc2．
∴bp2－ pc2=36－9=27．
∵ap=pc，∴bp2－ap2=ab2=27，
∴ab=．
點撥： 鏈結bp，在pd為公共邊的兩個直角三角形中運用勾股定理，得到bp2－pc2=bd2－dc2=27，是解答本題的關鍵所在．
例3、如圖，在△abc中，∠c=90°，ad、be是中線，be=，ad=5，求ab的長．
解：設ce=x，cd=y，則
ac=2x，bc=2y．
在rt△acd和rt△bce中，由勾股定理得
在rt△abc中，．
點撥：運用勾股定理計算時，常設未知數，列方程或方程組來求解．
2、構造直角三角形解題
例4、如圖，已知，∠a=60°，∠b=∠d=90°，ab=2，cd=1．求bc和ad的長．
解：如圖，延長bc，ad交於e．
∵∠b=90°，∠a=60°，
∴∠e=30°，∴ae=2ab=4．
同理ce=2cd=2．
在rt△abe中，be2=ae2－ab2=16－4=12，
∴be=．
在rt△cde中，de2=ce2－cd2=4－1=3，
∴de=．
∴bc=be－ce=－2，ad=ae－de=4－．
點撥： 靈活根據圖形及條件，構造直角三角形（其實也就是補圖），創造條件去利用勾股定理解題．
例5、如圖，在△abc中，∠bac=90°，ab=ac，點d、e在bc上，且∠dae=45°，求證：cd2＋be2=de2．
解：如圖，將△abe繞點a逆時針旋轉90°得△acf，則
∠acf=∠b=45°，be=cf，∠bae=∠caf．
又∵∠acb=45°，∴∠dcf=90°．
∵∠ead=45°，∴∠bae＋∠dac=45°．
∴∠daf=∠caf＋∠dac=45°．
在△aed和△afd中，
∴△aed≌△afd，∴ed=fd．
又在rt△cdf中，cd2＋cf2=fd2，∴cd2＋be2=de2.
點撥： 此題從待論證的結論可以聯想到勾股定理，而三條線段不在同乙個直角三角形中，故可運用旋轉法將分散的線段集中在同乙個三角形中．
3、運用面積法解題
例6、如圖，△abc中，∠b=90°，兩直角邊ab=7，bc=24．在三角形內有一點p到各邊的距離相等，則這個距離是（ ）
a．1b．3
c．6d．無法求出
解：依勾股定理知ac=．
設點p到各邊的距離為r，鏈結pa、pb、pc．依三角形的面積關係，有
s△abp＋s△bcp＋s△acp=s△abc，
即ab·r＋bc·r＋ac·r=ab·bc．
得（7＋24＋25）r=7×24，解得r=3．
故選b．
點撥： 涉及到垂線段的問題，常可聯絡到某一三角形的高，從而可應用面積法來解題．因為它是一種代數方法，因此顯得十分直觀、簡捷．
例7、如圖，rt△abc的兩直角邊ab=4，ac=3，△abc內有一點p，pd⊥bc於d，pe⊥ac於e，pf⊥ab於f，且．求pd、pe、pf的長．
解：在rt△abc中，
∵ab=4，ac=3，∴bc==5．
設pf=x，pe=y，pd=z，則
． ①
鏈結pa、pb、pc．
∵s△pab＋s△pbc＋s△pac=s△abc，
∴ab·x＋bc·z＋ac·y=ab·ac，
即4x＋3y＋5z=12． ②
①＋②，得4x＋3y＋5z＋=24，
配方，得
∴pd=pe=pf=1．
點撥： 本題顯然不能直接運用勾股定理來計算pd、pe、pf的長，只能在鏈結pa、pb、pc後，將原三角形分成三個分別以ab、bc、ca為底，pf、pd、pe為高的三角形，由面積法列出關係式，再利用題設條件，即可求解．
4、構造幾何圖形解答代數問題
例8、設a、b、c、d都是正數，求證：
．分析：題**現線段的平方和，考慮構造直角三角形，利用勾股定理證明．
證明：構造乙個邊長分別為(a＋b)、(c＋d)的矩形abcd（如圖）．
在rt△abe中，
．在rt△bcf中，
．在rt△def中，
．在△bef中，be＋ef>bf，即
點撥：勾股定理將直角三角形的位置關係（兩邊垂直）轉化為數量關係，這為我們運用代數方法研究幾何問題提供了工具，反過來，對有些代數問題，特別是含有平方和或平方差的代數式，我們也可以通過構造直角三角形用勾股定理來解決，即用幾何方法解決代數問題．
一、一周知識概述
1、勾股定理的逆定理是直角三角形判定的重要方法
如果三角形的三邊長為a，b，c，且滿足a2＋b2=c2，那麼這個三角形是直角三角形．
這就是勾股定理的逆定理．在敘述定理時，不能簡單地將原命題(勾股定理)的條件和結論顛倒過來，寫成「如果乙個三角形的兩直角邊a，b的平方和等於斜邊c的平方，即a2＋b2=c2，那麼這個三角形是直角三角形」．要是這樣敘述，則條件中所說「直角邊，斜邊」等名詞已承認三角形是直角三角形，而結論又為直角三角形，這樣條件與結論就會混亂．
勾股定理的逆定理給出了判定乙個三角形是直角三角形的方法．這種方法與前面學過的一些判定方法不同，它是通過代數運算「算」出來的．實際上利用計算證明幾何問題在幾何裡也是很重要的．這裡體現了數學中的重要思想——數形結合思想，打破了利用角與角之間的轉化計算直角的方法，建立了通過求邊與邊關係判定直角的新方法．它將數形之間的聯絡體現得淋漓盡致，因此也有人稱勾股定理的逆定理為「數形結合的第一定理」！
2、逆命題和逆定理的概念
把乙個命題的題設和結論互換，就得到它的逆命題．乙個真命題的逆命題不一定也是真命題．例如「全等三角形的對應角相等」是乙個真命題，它的逆命題是「對應角相等的兩個三角形是全等三角形」，顯然這個命題不是真命題，即為假命題．
乙個定理的逆命題是真命題，那麼這個逆命題就是這個定理的逆定理．例如：勾股定理和勾股定理的逆定理，就是互逆定理．前乙個是直角三角形的性質定理，後乙個是直角三角形的判定定理，我們要善於比較這兩個定理間的聯絡和區別．我們前面學習的角平分線的性質與判定，線段垂直平分線的性質與判定等都是像這樣的互逆定理，大家可以對照複習一下．
對於那些不是以「如果……，那麼……」形式給出的命題，在敘述它們的逆命題時，可以把這些命題變為「如果……，那麼……」的形式．例如「等邊對等角」可以改寫為「如果乙個三角形是等腰三角形，那麼它的兩個底角相等」．
3、勾股陣列
能夠成為直角三角形三條邊長的三個正整數，稱為勾股陣列．
不難驗證(3,4,5)，(5,12,13)，(7,24,25)，(9,40,41)，(11,60,61)，…均為基本勾股陣列．
顯然，若(a,b,c)為基本勾股陣列，則(ka,kb,kc)也為勾股陣列，其中k為正整數．例如(6,8,10)，(9,12,15)，(10,24,26)，…為勾股陣列．
若能掌握前幾個基本勾股陣列，會給解題帶來方便和快捷．
二、重難點知識歸納
1、勾股定理的逆定理的應用．
2、逆命題和逆定理的概念．
3、勾股陣列．
三、典型例題剖析
1、利用勾股定理的逆定理證直角
例1、如圖，在△abc中，d是bc上一點，ab=10，bd=6，ad=8，ac=17．求△abc的面積．
解：∵bd2＋ad2=36＋64=100=102=ab2，
∴△abd是直角三角形，∠adb=90°．
在△adc中，
∴bc=bd＋dc=6＋15=21．
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