抽象函式是指沒有給出函式的具體解析式，只給出了一些體現函式特徵的式子的一類函式。由於抽象函式表現形式的抽象性，使得這類問題成為函式內容的難點之一.抽象性較強，靈活性大,解抽象函式重要的一點要抓住函式中的某些性質，通過區域性性質或圖象的區域性特徵，利用常規數學思想方法（如化歸法、數形結合法等），這樣就能突破「抽象」帶來的困難，做到胸有成竹.
另外還要通過對題目的特徵進行觀察、分析、模擬和聯想，尋找具體的函式模型，再由具體函式模型的圖象和性質來指導我們解決抽象函式問題的方法。常見的特殊模型:
目錄：一.定義域問題
二、求值問題
三、值域問題
四、解析式問題
五、單調性問題
六、奇偶性問題
七、週期性與對稱性問題
八、綜合問題
一.定義域問題多為簡單函式與復合函式的定義域互求。
例1.若函式y = f（x）的定義域是[－2，2]，則函式y = f（x+1）+f（x－1）的定義域為 。
解：f(x)的定義域是，意思是凡被f作用的物件都在中。
評析：已知f(x)的定義域是a，求的定義域問題，相當於解內函式的不等式問題。
練習：已知函式f(x)的定義域是，求函式的定義域。
例2：已知函式的定義域為[3，11]，求函式f(x)的定義域 。
評析： 已知函式的定義域是a，求函式f(x)的定義域。相當於求內函式的值域。
練習：定義在上的函式f(x)的值域為，若它的反函式為f-1(x)，則y=f-1(2-3x)的定義域為
，值域為 。
二、求值問題-----抽象函式的性質是用條件恒等式給出的，可通過賦特殊值法使問題得以解決。怎樣賦值?需要明確目標,細心研究,反覆試驗;
例3.①對任意實數x,y，均滿足f(x+y2)=f(x)+2[f(y)]2且f(1)≠0,則f(2001
解析:這種求較大自變數對應的函式值，一般從找週期或遞推式著手：
令x=0,y=1,得f(0+12)=f(0)+2f[(1)]2, 令x=y=0,得：f(0)=0,
∴f(1)=,
②r上的奇函式y=f(x)有反函式y=f-1(x),由y=f(x+1)與y=f-1(x+2)互為反函式，則f(2009)= .
解析：由於求的是f(2009)，可由y=f-1(x+2)求其反函式y=f(x)-2,所以f(x+1)= f(x)-2，又f(0)=0,通過遞推可得f(2009)=-4918.
例4.已知f(x)是定義在r上的函式，f(1)=1,且對任意x∈r都有f(x+5)≥f(x)+5,f(x+1)≤f(x)+1.若g(x)=f(x)+1-x,則g(20021
解:由g(x)=f(x)+1-x,得f(x)=g(x)+x-1. 而f(x+5)≥f(x)+5，所以g(x+5)+(x+5)-1≥g(x)+x-1+5 ,
又f(x+1)≤f(x)+1，所以 g(x+1)+(x+1)-1≤g(x)+x-1+1
即 g(x+5)≥g(x), g(x+1)≤g(x). 所以g(x)≤g(x+5)≤g(x+4)≤g(x+3)≤g(x+2)≤g(x+1),
故g(x)=g(x+1) 又g(1)=1, 故g(2002)=1.
練習： 1. f(x)的定義域為，對任意正實數x,y都有f(xy)=f(x)+f(y) 且f(4)=2 ，則 （）2. 。2000
.(,原式=16)
3、對任意整數函式滿足：，若，則c
a.-1b.1c. 19d. 43
4、函式f(x)為r上的偶函式，對都有成立，若，則=（ ）（b）
a . 2005b. 2c.1d.0
5、定義在r上的函式y=f(x)有反函式y=f-1(x)，又y=f(x)過點（2，1），y=f(2x)的反函式為y=f-1(2x)，則y=f-1(16)為（ ）（a）
abc）8 d）16
三、值域問題
例4.設函式f(x)定義於實數集上，對於任意實數x、y，f(x+y)=f(x)f(y)總成立，且存在,使得，求函式f(x)的值域。
解：令x=y=0，有f(0)=0或f(0)=1。若 f(0)=0，則 f(x)=f(0+x)=f(x)f(0)=0恆成立，這與存在實數，使得成立矛盾，故 f(0)≠0，必有 f(0)=1。
由於f(x+y)=f(x)f(y)對任意實數x、y均成立，因此， ,又因為若f(x)=0,則f(0)=f(x-x)=f(x)f(-x)=0與f(0)≠0矛盾,所以f(x)>0.
四、解析式問題（換元法，解方程組，待定係數法，遞推法，區間轉移法，
例5. 已知f(1+sinx)=2+sinx+cos2x, 求f(x)
解:令u=1+sinx,則sinx=u-1 (0≤u≤2),則f(u)=-u2+3u+1 (0≤u≤2)故f(x)=-x2+3x+1 (0≤u≤2)
小結：換元法包括顯性換元法和隱性換元法，它是解答抽象函式問題的基本方法.
例6、設對滿足x≠0,x≠1的所有實數x，函式f(x)滿足, ,求f(x)的解析式。
解: ----（2）
---（3）
小結：通過解方程組的方法可求表示式。怎樣實現由兩個變數向乙個變數的轉化是解題關鍵。通常，給某些變數適當賦值，使之在關係中「消失」，進而保留乙個變數，是實現這種轉化的重要策略。
例7.已知f(x)是多項式函式，且f(x+1)+f(x-1)=2x2-4x,求f(x).
解:易知f(x)是二次多項式，設f(x)=ax2+bx+c (a≠0)，代入比較係數得:a=1,b= -2,c= -1,f(x)=x2-2x-1.
小結：如果抽象函式的型別是確定的，則可用待定係數法來解答有關抽象函式的問題。
例8.是否存在這樣的函式f(x),使下列三個條件:
①f(n)>0,n∈n; ②f(n1+n2)=f(n1)f(n2),n1,n2∈n*;
③f(2)=4同時成立?若存在,求出函式f(x)的解析式；若不存在，說明理由.
解:假設存在這樣的函式f(x),滿足條件,得f(2)=f(1+1)=4,解得f(1)=2.
又f(2)=4=22,f(3)=23,…,由此猜想:f(x)=2x (x∈n*) (數學歸納證明略）
小結：對於定義在正整數集n*上的抽象函式,用數列中的遞推法來**，如果給出的關係式具有遞推性，也常用遞推法來求解.
a． b． c． d．
解：易知t=2，當時, ,∴;
當時,∴.故選d。
小結：利用函式的週期性和對稱性把未知區間轉移到已知區間，利用已知區間的表示式求未知區間的表示式，是求解析式中常用的方法。
練習：1、
解:，2.（2006重慶）已知定義域為r的函式f(x)滿足f(f(x)-x2+x)=f(x)-x2+x.
（ⅰ）若f(2)=3，求f(1)；又若f(0)=a，求f(a)；
（ⅱ）設有且僅有乙個實數x0，使得f(x0)=x0，求函式f(x)的解析表示式。
3、函式f(x)對一切實數x,y均有f(x+y)-f(y)=(x+2y+1)x成立，且f(1)=0， （1）求的值；
（2）對任意的，，都有f(x1)+2解：（1）由已知等式，令，得，又∵，∴．
（2）由，令得，
由（1）知，∴．∵，∴在上單調遞增，∴．要使任意，都有成立，必有都成立.當時，,顯然不成立．當時，，解得∴的取值範圍是．
方法提煉怎樣賦值?需要明確目標,細心研究,反覆試驗;(2)小題中實質是不等式恆成立問題.
五、單調性問題 （抽象函式的單調性多用定義法解決）
例10.設函式f(x)對任意實數x,y，都有f(x+y)=f(x)+f(y),若x>0時f(x)<0,且f(1)= -2,求f(x)
在[-3，3]上的最大值和最小值.
解析:由單調性的定義步驟設x10,∴f(x2-x1)<0）
所以f(x)是r上的減函式, 故f(x)在[-3,3]上的最大值為f(3)=f(1)+f(2)=3f(1)=-6,最小值為f(-3),
令x=y=0,得f(0)=0,令y=-x,得f(-x)+f(x)=f(0)=0,即f(x)為奇函式.∴f(-3)=-f(3)=6.
練習：設f(x)定義於實數集上，當x>0時，f(x)>1,且對於任意實數x、y，有f(x+y)=f(x)f(y求證：f(x)在r上為增函式。
證明：設r上x11，
f(x2)=f(x2-x1+x1)=f(x2-x1)f(x1),(注意此處不能直接得大於f(x1)，因為f(x1)的正負還沒確定) 。
抽象函式常見題型解法綜述
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抽象函式常見題型解法學生版
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抽象函式的型別與解法
廣州市黃埔區教育局教研室曾辛金 1.正比例函式型的抽象函式 例1已知函式f x 對任意實數x y均有f x y f x f y 且當x 0時，f x 0，f 1 2求f x 在區間 2,1 上的值域.分析 先證明函式f x 在r上是增函式 注意到f x2 f x2 x1 x1 f x2 x1 f x...