【基礎知識精講】
1.正切函式的影象
(1)根據tan(x+π)===tanx
(其中x≠kπ+,k∈z)推出正切函式的週期為π.
(2)根據tanx=,要使tanx有意義,必須cosx≠0,
從而正切函式的定義域為
(3)根據正切函式的定義域和週期,我們取x∈(-,).利用單位圓中的正切線,通過平移,作出y=tanx,x∈(-,)的影象,而後向左、向右擴充套件,得y=tanx,x≠kπ+(k∈z)的影象,我們稱之為正切曲線,如圖所示.
y=tanx
2.餘切函式的影象如下:
y=cotx
3.正切函式、餘切函式的性質:
注:正切函式在每乙個開區間(kπ-,kπ+)(k∈z)內是增函式,但不能說成在整個定義域內是增函式,類似地,餘切函式也是如此.
【重點難點解析】
本節重點是正切函式影象的畫法及性質的運用.正切函式的影象一般用單位圓中的正切線作.因y=tanx定義域是,所以它的影象被平行線x=kπ+(k∈z)隔開而在相鄰兩平行線之間的影象是連續變化的.
1.正切函式應注意以下幾點:
(1)正切函式y=tanx的定義域是,而不是r,這點要特別注意:(2)正切函式的影象是間斷的,不是連續的,但在區間(kπ-,kπ+)(k∈z)上是連續的;(3)在每乙個區間(kπ-,kπ+)(k∈z)上都是增函式,但不能說正切函式是增函式.
2.解正切不等式一般有以下兩種方法:
影象法和三角函式線法.影象法即先畫出正切函式的影象,找到符合條件的邊界角,再寫出所有符合條件的角的集合.三角函式線法則先在單位圓中作出角的邊界值時的正切線,得到邊界角的終邊,在單位圓中劃出符合條件的區域(這裡特別要注意函式的定義域),再用不等式正確表示區域.
例1作出函式y=|tanx|的影象,並根據影象求其單調區間.
分析:要作出函式y=|tanx|的影象,可先作出y=tanx的影象,然後將它在x軸上方的影象保留,而將其在x軸下方的影象向上翻(即作出關於x軸對稱影象),就可得到y=|tanx|的影象.
所以其影象如圖所示,單調增區間為[kπ,kπ+(k∈z);單調減區間為kπ-,kπ](k∈z).
說明:根據影象我們還可以發現:函式y=|tanx|的最小正週期為π.一般地,y=a|tan(ωx+φ)|的最小正週期與y=atan(ωx+φ)的最小正週期相同,均為.
例2求函式y=lg(tanx-)+的定義域.
解:欲使函式有意義,必須
由此不等式組作圖
∴函式的定義域為(kπ+,kπ+).
評析:解正切不等式一般有兩種方法:影象法和三角函式線法.
影象法即先畫出函式影象,找出符合條件的邊界角,再寫出符合條件的角的集合.三角函式線法則是先在單位圓中作出角的邊界值時的正切線,得到邊界角的終邊,在單位圓中畫出符合條件的區域.要特別注意函式的定義域.
例3求函式y=tan(2x-)的單調區間.
解:y=tanx,x∈(-+kπ,+kπ)(k∈z)是增函式.
∴-+kπ<2x-<+kπ,(k∈z).
即-+<x<+,(k∈z)
函式y=tan(2x-)的單調遞增區間是(-+,+).(k∈z)
例4求函式f(x)=tan(2x+)的週期.
解:因為tan(2x++π)=tan(2x+)
即tan[2(x+)+]=tan(2x+)
∴tan(2x+)的週期是.
例5求函式y=3tan(2x+)的對稱中心的座標.
分析:y=tanx是奇函式,它的對稱中心有無窮多個,即(,0)(k∈z).函式y=atan(ωx+φ)的影象可由y=tanx經過變換影象而得到,它也有無窮多個對稱中心,這些對稱中心恰好為影象與x軸交點.
解:由2x+=,(k∈z)得
x=-(k∈z)
∴對稱中心座標為(-,0)(k∈z)
注意:函式y=atan(ωx+φ)(a>0,ω>0)的影象及性質可與函式y=asin(ωx+φ)(a>0,ω>0)的影象及性質加以比較研究.
【難題巧解點拔】
例判斷函式f(x)=tan(x-)+tan(x+)的奇偶性,並求此函式的週期及單調區間.
分析:奇偶性的判斷必須考慮①定義域是否關於原點對稱.②是否對任意x有f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)成立;關於週期和單調性必須將函式化為乙個三角函式的形式方可求.
解:此函式的定義域為它是關於原點對稱.
又f(-x) =tan(-x+)+tan(-x-)
=-tan(x-)-tan(x+)=-f(x)
故此函式是奇函式.
y=tan(x-)+tan(x+)
=tan[(x-)+(x+)][(1-tan(x-)tan(x+)
∵sin(-a)=cosa
cos(-a)=sina
∴tan(-a)=cota
cot(-a)=tana
故tan[-(x+)]=cot(x+)
即-tan(x-)=cot(x+)
∴y=tan2x[1+cot(x+)tan(x+)]=2tan2x
故此函式週期為
當kπ-<2x<kπ+
-<x<+(k∈z)
即x∈(-,+)時,原函式是增函式.
評析:此題的難點在於通過三角恒等化簡,將函式化為乙個三角函式.同時要求同學們必須熟悉正切函式的性質.
y=atan(ωx+φ)(a≠0)的週期為t=.
例2已知≤1,求函式y=cot2x-2cotx+5的值域.
分析:從已知條件的不等式中解出cotx的範圍,然後在此條件下求被求函式的值域.
解:由已知條件,可得0≤lg[-9cos(x+)]≤1.
得-≤cos(x+)≤
∴kπ+≤x+≤kπ+,(k∈z).
∴kπ+≤x≤kπ+,(k∈z).
∴0≤cotx≤y=cot2x-2cotx+5=(cotx-1)2+4
∴當x=kπ+,(k∈z)時,y取最小值4.
當x=kπ+,(k∈z)時,y取最大值5.
從而函式y=cot2x-2cotx+5的值域是[4,5].
【課本難題解答】
課本第72頁第5題:
(1)(2)
第6題:(1)d(2)c(3)c(4)b
【命題趨勢分析】
從歷屆高考試題可以看到,本節內容主要考查函式的定義域,週期性,影象及單調性等知識,一般以選擇題,填空題題型出現,屬基本題.
【典型熱點考題】
例1滿足tanα≥cotα的角的乙個取值區間是()
a.(0,)b.[0,]c.[,]d.(,)
分析:本考查正切函式單調性,應化同名函式,再化角為同一單調區間內.
解:由選擇項,可以考慮α∈(0,)的情況.
∵tanα≥tan(-α),且α,-α∈(0,)
故選c.
例2函式y=的最小正週期是()
解法1:將四個選項分別代入函式式驗算,可知b正確.
∴應選b.
解法2:y==cos4x
∴t==
∴應選b.
例3函式y=+的定義域是.
由①②得0<x≤4⑤
∴0<x<或π≤x≤4.
∴應填(0,)∪[π,4]
例4如果α、β∈(,π),且tanα<cotβ,那麼必有()
a.α<βb.β<αc.α+β<d.α+β>
解:∵tanα<cotβ<0,∴tanαtanβ>1.
有tan(α+β)=>0
有∴應選c.
說明:本題也可採取化為同名函式的方法,或都取特殊值比如取α=β=,可排除a、b、d.
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