武漢外國語學校2011-2012學年度上學期期中考試
高一數學試卷
一、選擇題：
已知m，n為集合的非空真子集，且m，n不相等，若，則（ ）
a． b. c. d.
答案：a
考點：集合的運算
分析：因為，所以，所以.
解答：因為，所以，所以.
故答案為a.
備註：考點：集合的運算.難度a.
2.已知函式的定義域為，在同一座標系下，函式的圖象與直線的交點個數為（ ）
a.0個 b.1個 c.0個或1個 d.不確定
答案：b
考點：函式的概念，函式的圖象性質.
分析：由函式的概念可知，當時，的取值唯一，所以函式的圖象與直線的交點個數為1個.
解答：由函式的概念可知，當時，的取值唯一，所以函式的圖象與直線的交點個數為1個.
故答案為b.
備註：考點：函式的概念，函式的圖象性質.難度a.
3.設集合，則下述對應法則中，不能構成到的對映的是（ ）
ab.c. d.
答案：d
考點：對映的概念.
分析：按照對映的概念對四個選項逐一進行判斷.
解答：對於a，當時，，滿足題意；對於b，當時，，滿足題意；對於c，當時，，滿足題意；對於d，當時，，不滿足題意.
故答案為d.
備註：考點：對映的概念.難度a.
4.已知函式其中，則（ ）
a.2 b.4 c.6 d.7
答案：d
考點：分段函式
分析：.
解答：.
故答案為d.
備註：考點：分段函式，難度a.
5.已知，這下列正確的是（ ）
a.奇函式，在r上為增函式 b. 偶函式，在r上為增函式
c.奇函式，在r上為減函式 d. 偶函式，在r上為減函式
答案：a
考點：函式的奇偶性，函式的單調性.
分析：利用函式奇偶性和單調性的定義進行判斷.
解答：函式的定義域為r，且，所以為奇函式；
任取，則
因為，所以，所以，，
所以，所以在r上為增函式.
故答案為a.
備註：考點：函式的奇偶性，函式的單調性.難度a.
6.若，則化簡的結果是（ ）
a. b. c. d.
答案：c
考點：指數式的化簡與計算.
分析：因為，所以，所以.
解答：因為，所以，所以.
故答案為c.
備註：考點：指數式的化簡與計算.難度a.
7.已知函式的值域為，則的取值範圍是（ ）
a. b. c. d.
答案：d
考點：二次函式的值域.
分析：數形結合，根據二次函式的圖象進行解答.
解答：，作出函式的圖象如圖所示，
因為，且函式的值域為，所以的取值範圍是.
故答案為d.
備註：考點：二次函式的值域.難度a.
8.國家規定個人稿費納稅辦法為：不超過800元的不納稅；超過800元而不超過4000元的按超過部分的14%納稅；超過4000元的按全稿酬的11%納稅，某人出版了一書共納稅308元，這個人的稿費為（ ）
a.3800元 b.5600元 c.3818元 d.3000元
答案：d
考點：分段函式模型的實際應用.
分析：先寫出分段函式的解析式，再根據函式的解析式進行求解.
解答：設稿費為，納稅金額為，則
所以當時，，所以某人出版了一書共納稅308元，則稿費金額，所以，解得.
故答案為d.
備註：考點：分段函式模型的實際應用.難度a.
9.若點在的圖象上，，則下列點也在此圖象上的是（ ）
a. b. c. d.
答案：d
考點：對數函式的函式性質.
分析：因為點在的圖象上，所以，所以，所以點也在此圖象上.
解答：因為點在的圖象上，所以，所以，所以點也在此圖象上.
故答案為d .
備註：考點：對數函式的函式性質.難度b.
10．已知函式既是奇函式，有是增函式，那麼的圖象是（ ）
答案：d
考點：對數函式的圖象與性質，函式的奇偶性，單調性.
分析：由函式既是奇函式，又是增函式，結合復合函式的性質，我們可得，由此不難判斷函式的圖象．
解答：因為函式在r上是奇函式，則，即，因為不為0，所以，；
又因為函式在r上是增函式，則，
所以，函式圖象必過原點，且為增函式，
故答案為d.
備註：考點：對數函式的圖象與性質，函式的奇偶性，單調性.難度b.
二、填空題：
11.不等式的解集是
答案：考點：分式不等式的解法.
分析：因為，所以，解得.
解答：因為，所以，解得，
故答案為.
備註：考點：分式不等式的解法.難度a.
12.函式的圖象如圖所示，則函式的定義域為
答案：考點：函式的定義域.
分析：要使有定義，則，由的圖象可知.
解答：要使有定義，則，由的圖象可知.
備註：考點：函式的定義域.難度a.
13.函式為偶函式，這實數
答案：0
考點：函式的奇偶性
分析：根據偶函式的定義進行計算.
解答：因為函式為偶函式，所以，
即，化簡得，所以，
故答案為0.
備註：考點：函式的奇偶性.難度a.
14. 函式的單調遞減區間是
答案：考點：復合函式的單調性.
分析：要求的單調遞減區間，即求的單調遞減區間，畫出函式的圖象，由圖象可求出遞減區間.
解答：要求的單調遞減區間，即求的單調遞減區間，畫出函式的圖象如圖所示，
由圖可知的單調遞減區間為.
故的單調遞減區間為.
故答案為.
備註：考點：復合函式的單調性.難度b.
15.對於任意實數，符號表示「不超過的最大整數，如，，則+
的值為______.
答案：-1
考點：對數式的運算，新定義運算.
分析：根據符號的意義進行計算即可.
解答： +
.備註：考點：對數式的運算，新定義運算.難度b.
三、解答題：
16.計算：
（1）；
（2）.
解答：（1）
；（2）
.備註：考點：指數式，對數式的計算.難度a.
17.已知函式的定義域為集合a，，
， （1）求；
（2）若，求實數的取值範圍.
解答：（1）由解得，所以，
所以，所以.
（2）由（1）得，因為，所以解得，
故的取值範圍為.
備註：考點：函式的定義域，集合的運算. 難度a.
18.已知函式為實數），，
（1）若，且函式的值域為，求的表示式；
（2）設，，，且為偶函式，判斷能否大於零，並說明理由.
解答：（1）因為，所以，
又因為的值域為，當時不符合題意，所以，
所以，結合，解得，
所以，所以
（2）能大於零.
證明：因為，，所以不妨設，且，
因為為偶函式，所以，即，所以，
所以，所以
，因為，所以.
證畢.備註：考點：分段函式.難度a.
19.市場上有一種新型的強力洗衣液，特點是去汙速度快.已知每投放個單位的洗衣液在一定量水的洗衣機中，它在水中釋放的濃度y（克/公升）隨著x（分鐘）變化的函式關係式近似為，其中
若多次投放，則某一時刻水中的洗衣液濃度為每次投放的洗衣液在相應時刻所是釋放的濃度之和.根據經驗，當水中洗衣液的濃度不低於4（克/公升）時，它才能起到有效去汙作用.
（1）若只投放一次4個單位的洗衣液，則有效去汙時間可達幾分鐘；
（2）若第一次投放2個單位的洗衣液，6分鐘後再投放1個單位的洗衣液，則在第8分鐘時能否有效去汙？並說明理由.
解答：（1）因為，所以
則當時，由，解得，所以，
當時，由，解得，所以，
所以有效去汙時間可達8分鐘.
（2）第8分鐘時，水中洗衣液的濃度，所以不能有效去汙.
20.已知函式，
（1）判斷並證明的奇偶性；
（2）若關於x的方程有實根，求實數k的取值範圍.
解答：（1）由，解得，所以函式的定義域關於原點對稱，
又，所以是奇函式.
（2）因為有實根，所以，
所以因為函式在區間上單調遞增，所以，
所以實數k的取值範圍是.
21.已知函式.
（1）若，解不等式；
（2）對於任意的實數恆成立，求的取值範圍；
（3）當時，求函式在上的最小值.
解答：（1）當時，，因為，
所以，所以，
當時，即為，恆成立；
當時，即為，解得，所以；
當時，即為，不成立.
綜上所述，不等式的解集為.
（2）因為對於任意的實數恆成立，所以，所以，所以，所以恆成立，所以，解得.
（3）由（2）可知，當時，，
所以，因為，，，
且，所以，
所以；當時，，
所以，因為，，，
且，所以當時，，所以；
當時，，.
綜上所述，當時，的最小值為1，當時，的最小值為e.
備註：考點：函式的性質，分段函式. 難度c.
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