1.判斷下列方程是幾階微分方程?
(12);
(34).
解微分方程中所出現的未知函式的導數(或微分)的最高端數,叫做微分方程的階.所以有,
(1)一階微分方程2)一階微分方程;
(3)三階微分方程4)三階微分方程.
2.指出下列各題中的函式是否為所給微分方程的解:
(1),;
(2),;
(3),;
(4),.
解 (1)將代入所給微分方程的左邊,得左邊,而右邊=2左邊,所以是的解.
(2)將,代入所給微分方程的左邊,得左邊右邊,所以是所給微分方程的解.
(3)將,,代入所給微分方程的左邊,得
左邊(右邊),
所以不是所給微分方程的解.
(4)對的兩邊關於求導,得,即
再對求導,得
,即所以是所給微分方程的解.
3.確定下列各函式關係式中所含引數,使函式滿足所給的初始條件.
(12),.
解 (1)將,代入微分方程,得
所以,所求函式為.
(2),將,分別代入和,得
,,所以,所求函式為.
4.能否適當地選取常數,使函式成為方程的解.
解因為,,所以為使函式成為方程的解,只須滿足,即
而,因此必有,即或,從而當,或時,函式均為方程的解.
5.消去下列各式中的任意常數,寫出相應的微分方程.
(12);
(34).
解注意到,含乙個任意常數及兩個變數的關係式對應於一階微分方程;含兩個獨立常數的式子對應於二階微分方程.
(1)由兩邊對求導,得
,代入原關係式,得所求的微分方程為
. (2)由兩邊對求導,得,即
.而,故所求的微分方程為
,化簡得
. (3)由兩邊對求導,得
,兩邊再對求導,得
,這樣便可得所求的微分方程為
. (4)由兩邊對求導,得
,將代入上式,並化簡得
,對上式兩邊再對求導,得
,故所求的微分方程為
.1.求下列微分方程的通解或特解:
(12);
(34);
(5),; (6),.
解 (1)分離變數,得
,兩端積分,得,即
,所以原方程的通解為
.注該等式中的與等本應寫為與等,去絕對值符號時會出現號;但這些號可認為含於最後答案的任意常數中去了,這樣書寫簡潔些,可避開絕對值與正負號的冗繁討論,使注意力集中到解法方面,本書都做這樣的處理.
(2)原方程分離變數,得
,兩端積分,得,即
,故原方程的通解為
.(3)原方程可化成
,分離變數,得
,兩端積分,得
即是原方程的通解.
(4)分離變數,得
,兩邊積分,得,即
是原方程的通解.
(5)分離變數,得
,兩端積分,得,即
.由定解條件,知
,即,故所求特解為
,即.(6)將方程兩邊同除以,得
,兩端積分,得
,積分後得
(其中),
從而有,
代入初始條件,得
.因此,所求方程滿足初始條件的特解為,即
.2.一曲線過點在兩座標軸間任意點處的切線被切點所平分,求此曲線的方程.
解設曲線的方程為,過點的切線與x軸和y軸的交點分別為及,則點就是該切線的中點.於是有
,即,且,
分離變數後,有
,積分得,即
.由定解條件,有
,故為所求的曲線.
3.一粒質量為20克的子彈以速度(公尺/秒)打進一塊厚度為10厘公尺的木板,然後穿過木板以速度(公尺/秒)離開木板.若該木板對子彈的阻力與運動速度的平方成正比(比例係數為k),問子彈穿過木板的時間.
解依題意有 ,,即
,兩端積分得
(其中20克=0.02千克),
代入定解條件,得
,故有.
設子彈穿過木板的時間為秒,則
,又已知時,公尺/秒,於是,從而
,為此有,所以
(秒),
故子彈穿過木板運動持續了(秒).
4.求下列齊次方程的通解或特解:
(12);
(3); (4);
(5),; (6), .
解 (1)原方程變形,得
,令,即,有,則原方程可進一步化為
,分離變數,得
,兩端積分得,即
,將代入上式並整理,得原方程的通解為
. (2)原方程變形,得
,即.令,即,有,則原方程可進一步化為,即
,兩端積分,得
,將代入上式並整理,得原方程的通解為
(其中).
(3)原方程變形,得
,即,令,有,則原方程可進一步化為 ,即
,兩端積分,得,即
,將代入上式並整理,得原方程的通解為
. (4)顯然,原方程是乙個齊次方程,又注意到方程的左端可以看成是以為變數的函式,故令,即,有,則原方程可化為
,整理並分離變數,得
,兩端積分,得,即
.將代入上式並整理,得原方程的通解為
.(5)原方程可化為
.令,有,則原方程可進一步化為 ,即
,兩端積分,得
,將代入上式,得
,代入初始條件,得
.因此,所求方程滿足初始條件的特解為
.(6)原方程可寫成
.令,即,有,則原方程成為
,分離變數,得
,兩端積分,得,即
,代入並整理,得通解
.由初始條件,得.於是所求特解為
.5.設有鏈結原點o和的一段向上凸的曲線弧,對於上任一點,曲線弧與直線段所圍成圖形的面積為,求曲線弧的方程.
解設曲線弧的方程為,依題意有
,上式兩端對x求導,
,即得微分方程
,令,有,則微分方程可化為
,即,積分得
,因,故有
.又因曲線過點,故.於是得曲線弧的方程是
.6.化下列方程為齊次方程,並求出通解:
(12).
解 (1)原方程可寫成
,令,解得交點為,.作座標平移變換,,有
,所以原方程可進一步化為
這是齊次方程.
設,則,,於是(*)式可化為,即
,變數分離,得
,兩端積分,得 ,即
,將代入上式,得原方程的通解為
.(2)原方程可寫成
,該方程屬於型別,一般可令.
令,有,則原方程可化為,即
,積分得
,將代入上式,得原方程的通解為
.1.求下列微分方程的通解:
(1); (23);
(4); (5); (6).
解(1)
. (2)原方程可化為
,故通解為
.(3)原方程可化為
,故通解為
. (4)所給方程的通解為
(5)方程可化為,即
,故通解為
. (6)
2.求下列微分方程的特解:
(12),;
(3),.
解(1)
,代入初始條件,得.故所求特解為
. (2)
代入初始條件,得,故所求特解為,即
.(3)
,代入初始條件,得,故所求特解為
.3.求一曲線的方程,這曲線通過原點,並且它在點處的切線斜率等於.
解設曲線方程為,依題意有,即.從而
由,,得.故所求曲線的方程為
.4.設曲線積分在右半平面()內與路徑無關,其中可導,且,求.
解依題意及曲線積分與路徑無關的條件,有,即
.記,即得微分方程及初始條件為
,.於是,
代入初始條件,得,從而有
.5.求下列伯努利方程的通解:
(12);
(34).
解(1)方程可以化為
.令,則,即.代入上面的方程,得,即
,其通解為
,所以原方程的通解為
. (2)原方程化為
.令,則,即.代入上面的方程,得,即
,其通解為
.所以原方程的通解為
. (3)原方程化為
.令,則,於是原方程化為
,其通解為
所以原方程的通解為
. (4)原方程化為
,即.令,則,則原方程化為
,其通解為
所以原方程的通解為
,或寫成
第十一章習題
第十一章財務控制 一 單項選擇題 1 將財務控制分為收支控制和現金控制所採用的分類標誌是 a.控制的物件 b.控制的主體 c.控制的依據 d.控制的時間 2 成本中心包括兩種型別,其中標準成本中心控制的物件是以實際產出量為基礎的標準成本,即 a.技術性成本 b.酌量性成本 c.全部成本 d.預算成本...
第十一章負債習題
一 單項選擇題 1 企業按照辭退計畫條款的規定,合理預計並確認辭退福利產生的應付職工薪酬並確認為負債,同時全部計入 科目。a 生產成本 b 管理費用 c 製造費用 d 營業外支出 3 職工薪酬義務的確認時間是在 a 職工提供服務的會計期間b 款項應付或實際支付期間 c 在職職工是提供服務的會計期間 ...
第十一章熱學
一 擴散 不同物質相互接觸時彼此進入對方的現象 意義 分子永不停息的做無規則的運動,而且溫度越高,擴散越快。固體 液體也有擴散現象 二 布朗運動1827年 英 布朗首先用顯微鏡觀察水中的花粉時發現的,稱為布朗運動。1 運動是無規則的 2 顆粒體積越小越明顯,質量越小越明顯 3 溫度越高越明顯 4 氣...