●知識梳理
1.三角函式的圖象和性質
函式性質 y=sinx y=cosx y=tanx
定義域值域圖象奇偶性週期性單調性對稱性注：讀者自己填寫.
2.圖象與性質是乙個密不可分的整體，研究性質要注意聯想圖象.
●點選雙基
1.函式y=sin( -2x)+sin2x的最小正週期是
a.2π b.π c. d.4π
解析：y= cos2x- sin2x+sin2x= cos2x+ sin2x=sin( +2x)，t=π.
答案：b
2.若f(x)sinx是週期為π的奇函式，則f(x)可以是
解析：檢驗.
答案：b
3.函式y=2sin( -2x)(x∈[0，π])為增函式的區間是
a.[0， ] b.[ ， ]
c.[ ， ] d.[ ，π]
解析：由y=2sin( -2x)=-2sin(2x- )其增區間可由y=2sin(2x- )的減區間得到，即2kπ+ ≤2x- ≤2kπ+ ，k∈z.
∴kπ+ ≤x≤kπ+ ，k∈z.
令k=0，故選c.
答案：c
4.把y=sinx的圖象向左平移個單位，得到函式的圖象;再把所得圖象上的所有點的橫座標伸長到原來的2倍，而縱座標保持不變，得到函式的圖象.
解析：向左平移個單位，即以x+ 代x，得到函式y=sin(x+ )，再把所得圖象上所有點的橫座標伸長到原來的2倍，即以 x代x，得到函式：y=sin( x+ ).
答案：y=sin(x+ ) y=sin( x+ )
5.函式y=lg(cosx-sinx)的定義域是_______.
解析：由cosx-sinx>0 cosx>sinx.由圖象觀察，知2kπ-
答案：2kπ-
●典例剖析
【例1】 (1)y=cosx+cos(x+ )的最大值是_______;
(2)y=2sin(3x- )的圖象的兩條相鄰對稱軸之間的距離是_______.
剖析：(1)y=cosx+ cosx- sinx
= cosx- sinx= ( cosx- sinx)
= sin( -x).
所以ymax= .
(2)t= ，相鄰對稱軸間的距離為 .
答案：【例2】 (1)已知f(x)的定義域為[0，1)，求f(cosx)的定義域;
(2)求函式y=lgsin(cosx)的定義域.
剖析：求函式的定義域：(1)要使0≤cosx≤1，(2)要使sin(cosx)>0，這裡的cosx以它的值充當角.
解：(1)0≤cosx0 2kπ
評述：求三角函式的定義域，要解三角不等式，常用的方法有二：一是圖象，二是三角函式線.
【例3】 求函式y=sin6x+cos6x的最小正週期，並求x為何值時，y有最大值.
剖析：將原函式化成y=asin(ωx+ )+b的形式，即可求解.
解：y=sin6x+cos6x=(sin2x+cos2x)(sin4x-sin2xcos2x+cos4x)=1-3sin2xcos2x=1- sin22x= cos4x+ .
∴t= .
當cos4x=1，即x= (k∈z)時，ymax=1.
深化拓展
函式y=tan(ax+θ)(a>0)當x從n變化為n+1(n∈z)時，y的值恰好由-∞變為+∞，則a=_______.
分析：你知道函式的週期t嗎?
答案：π
●闖關訓練
夯實基礎
1.若函式f(x)=sin(ωx+ )的圖象(部分)，則ω和的取值是
a.ω=1， = b.ω=1， =-
c.ω= ， = d.ω= ， =-
解析：由圖象知，t=4( + )=4π= ，∴ω= .
又當x= 時，y=1，∴sin( × + )=1，
+ =2kπ+ ，k∈z，當k=0時， = .
答案：c
2. f(x)=2cos2x+ sin2x+a(a為實常數)在區間[0， ]上的最小值為-4，那麼a的值等於
a.4 b.-6 c.-4 d.-3
解析：f(x)=1+cos2x+ sin2x+a
=2sin(2x+ )+a+1.
∵x∈[0， ]，∴2x+ ∈[ ， ].
∴f(x)的最小值為2×(- )+a+1=-4.
∴a=-4.
答案：c
3.函式y= 的定義域是
解析：-sin ≥0 sin ≤0 2kπ-π≤ ≤2kπ 6kπ-3π≤x≤6kπ(k∈z).
答案：6kπ-3π≤x≤6kπ(k∈z)
4.函式y=tanx-cotx的最小正週期為
解析：y= - =-2cot2x，t= .
答案：5.求函式f(x)= 的最小正週期、最大值和最小值.
解：f(x)=
= = (1+sinxcosx)
= sin2x+ ，
所以函式f(x)的最小正週期是π，最大值是 ，最小值是 .
6.已知x∈[ ， ]，函式y=cos2x-sinx+b+1的最大值為 ，試求其最小值.
解：∵y=-2(sinx+ )2+ +b，
又-1≤sinx≤ ，∴當sinx=- 時，
ymax= +b= b=-1;
當sinx= 時，ymin=- .
培養能力
7.求使 = sin( - )成立的θ的區間.
解： = sin( - )
= ( sin - cos ) |sin -cos |=sin -cos
sin ≥cos 2kπ+ ≤ ≤2kπ+ (k∈z).
因此θ∈[4kπ+ ，4kπ+ ](k∈z).
8.已知方程sinx+cosx=k在0≤x≤π上有兩解，求k的取值範圍.
解：原方程sinx+cosx=k sin(x+ )=k，在同一座標系內作函式y1= sin(x+ )與y2=k的圖象.對於y= sin(x+ )，令x=0，得y=1.
∴當k∈[1， )時，觀察知兩曲線在[0，π]上有兩交點，方程有兩解.
評述：本題是通過函式圖象交點個數判斷方程實數解的個數，應重視這種方法.
**創新
9.已知函式f(x)=
(1)畫出f(x)的圖象，並寫出其單調區間、最大值、最小值;
(2)判斷f(x)是否為週期函式.如果是，求出最小正週期.
解：(1)實線即為f(x)的圖象.
單調增區間為[2kπ+ ，2kπ+ ]，[2kπ+ ，2kπ+2π](k∈z)，
單調減區間為[2kπ，2kπ+ ]，[2kπ+ ，2kπ+ ](k∈z)，
f(x)max=1，f(x)min=- .
(2)f(x)為週期函式，t=2π.
●思悟小結
1.三角函式是函式的乙個分支，它除了符合函式的所有關係和共性外，還有它自身的屬性.
2.求三角函式式的最小正週期時，要盡可能地化為只含乙個三角函式，且三角函式的次數為1的形式，否則很容易出現錯誤.
●教師**中心
教學點睛
1.知識精講由學生填寫，起到回顧作用.
2.例2、例4作為重點講解，例1、例3誘導即可.
拓展題例
【例1】 已知sinα>sinβ，那麼下列命題成立的是
a.若α、β是第一象限角，則cosα>cosβ
b.若α、β是第二象限角，則tanα>tanβ
c.若α、β是第三象限角，則cosα>cosβ
d.若α、β是第四象限角，則tanα>tanβ
解析：借助三角函式線易得結論.
答案：d
【例2】 函式f(x)=-sin2x+sinx+a，若1≤f(x)≤ 對一切x∈r恆成立，求a的取值範圍.
解：f(x)=-sin2x+sinx+a
=-(sinx- )2+a+ .
由1≤f(x)≤
1≤-(sinx- )2+a+ ≤
a-4≤(sinx- )2≤a- . ①
由-1≤sinx≤1 - ≤sinx- ≤
(sinx- ) = ，(sinx- ) =0.
∴要使①式恆成立，
只需 3≤a≤4.
三角函式的圖象
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