一． 導數與函式的單調性
1.一般步驟：①確定f(x)的定義域(這一步必不可少，單調區間是定義域的子集)；
②計算導數f′(x)；
③求出方程f′(x)＝0的根；
④列表考察f′(x)的符號，進而確定f(x)的單調區間(必要時要進行分類討論)．
2.單調性分類討論的方法：
當導數f′(x)的二次項係數為常數時，先計算判別式：（1）若為完全平方式，則用求根公式求出兩根，再對兩根大小分類討論；（2）若不是完全平方式，則對分類討論，一般分為與兩類。
當導數f′(x)的二次項係數含引數時，則先討論引數，再討論的情況。
二． 極值與最值得求法
1.求函式f(x)的極值的步驟是：
①計算導數f′(x)；
②求出方程f′(x)＝0的根；
③列表考察f′(x)＝0的根左右值的符號：如果左正右負，那麼f(x)在這個根處取得極大值；如果左負右正，那麼f(x)在這個根處取得極小值．
2.求函式f(x)在閉區間[a，b]上最值的方法：
①計算導數f′(x)；
②求出方程f′(x)＝0的根x1，x2，…；
③比較函式值f(x1)，f(x2)，…及f(a)、f(b)的大小，其中的最大(小)者就是f(x)在閉區間[a，b]上最大(小)值．
3.含引數的最值求法：先分類討論函式的單調性（同上），再畫出草圖，結合影象求出最值。
三．不等式恆成立問題
1.轉化為求最值問題（通常要對引數分類討論）。要掌握幾種常見型別：
（1），恆成立
（2）（即函式的影象在的影象上方）
（3）,
（4）使得
2.先分離引數，再轉化為最值問題。（可避開分類討論，但要注意引數分離的條件，當正的區間時，適合分離引數）
實戰演練：
1.(大興一模） 已知函式，．
(ⅰ)求函式的單調區間；
(ⅱ)函式在區間上是否存在最小值，若存在，求出最小值，若不存在，請說明理由．
2. （東城3月）已知函式
(ⅰ)若，求函式在（1，）處的切線方程；
(ⅱ)討論函式的單調區間
3，（東城月考）設
（1）若在上存在單調遞增區間，求的取值範圍；
（2）當時，在上的最小值為，求在該區
間上的最大值.
4. （豐台）已知函式，.
(ⅰ)若曲線在點（1，0）處的切線斜率為0，求a,b的值；
(ⅱ)當，且ab=8時，求函式的單調區間，並求函式在區間[-2，-1]上的最小值。
5.（房山）已知函式,.
（ⅰ）當時，求曲線在點處的切線方程；
（ⅱ）當時，求函式的單調區間；
（ⅲ）當時，函式在上的最大值為，若存在，使得
成立，求實數b的取值範圍.
6.（石景山）已知函式f（x）=ax－1－1n x，ar．
（i）討論函式f（x）的單調區間：
（ii）若函式f（x）在x=l處取得極值，對x∈（0，+），f（x）≥bx－2恆成立，求實數b的取值範圍．
7.（延慶）已知函式.
(ⅰ) 討論函式的單調性；
（ⅱ）當時，求函式在區間的最小值.
8.（門頭溝）已知函式．
（ⅰ）函式在點處的切線與直線平行，求的值；
（ⅱ）當時，恆成立，求的取值範圍．
9.（東城一模）已知函式，（為常數，為自然對數的底）．
（ⅰ）當時，求；
（ⅱ）若在時取得極小值，試確定的取值範圍；
（ⅲ）在（ⅱ）的條件下，設由的極大值構成的函式為，將換元為，試判斷曲線是否能與直線（為確定的常數）相切，並說明理由．
答案：1（大興）解：（i），.
由，得，或.
①當，即時，在上，，單調遞減；
②當，即時，在上，，單調遞增，在上，，單調遞減。
綜上所述：時，的減區間為； 時，的增區間為，的減區間為。
（ii）（1）當時，由（i）在上單調遞減，不存在最小值；
（2）當時，
若，即時，在上單調遞減，不存在最小值；
若，即時，在上單調遞增，在上單調遞減，
因為，且當時，，所以時，。
又因為，所以當，即時，有最小值；，即時， 沒有最小值。
綜上所述：當時，有最小值；當時，沒有最小值。
2. 解：（1）當時，
，切線方程為4分
(2) 定義域
令，解得，
①當，恆成立，則是函式的單調遞增區間
②當時，，
在區間（0,1）和（）上，；在（）區間上，
故的單調遞增區間是（0,1）和（），單調遞減區間是（）
③當時，在區間（0,）和（）上，；在（）區間上，故的單調遞增區間是（0,）和（），單調遞減區間是（）
④當時，，在區間（0,1）上，在區間（）上，，故的單調遞增區間是（），單調遞減區間是（0,1）。
3. 解答 （12分
在上存在單調遞增區間
存在的子區間，使得時
在上單調遞減
，即解得
當時，在上存在單調遞增區間6分
（2）令
；在上單調遞減，在上單調遞增
在上單調遞增，在上單調遞減8分
所以的最大值為
10分解得13分
4.解：(ⅰ)函式h(x)定義域為{x|x≠-a1分
則3分h(x)在點（1，0）處的切線斜率為0，
即,解得或……………………6分
(ⅱ)記(x)=，則(x)=(x+a)(bx2+3x)(x≠-a),
ab=8，所以， (x≠-a),
,令，得，或8分
因為，所以，
故當，或時，，當時，，
函式(x)的單調遞增區間為，
單調遞減區間為10分
,,，1 當，即時, (x)在[-2,-1]單調遞增,
(x)在該區間的最小值為11分
2 當時,即,
(x)在[-2, 單調遞減, 在單調遞增，
(x)在該區間的最小值為12分
③當時,即時,
(x)在[-2,-1]單調遞減, (x)在該區間的最小值為，………13分
綜上所述，當時，最小值為；當時，最小值為；當時，最小值為. （不綜述者不扣分）
5. （ⅰ）當時1分
2分所以曲線在點處的切線方程3分
（ⅱ）………4分
1 當時，解，得，解，得
所以函式的遞增區間為，遞減區間為在5分
2 時，令得或
）當時，
………………………6分
函式的遞增區間為，，遞減區間為……………………7分
）當時，
在上，在上8分
函式的遞增區間為，遞減區間為9分
（ⅲ）由（ⅱ）知，當時，在上是增函式，在上是減函式，
所以11分
存在，使
即存在，使，
方法一：只需函式在[1，2]上的最大值大於等於
所以有即解得13分
方法二：將
整理得從而有所以的取值範圍13分
6. 7. 解：函式的定義域為1分
4分（1）當時，，所以在定義域為上單調遞增； …5分
（2）當時，令，得（捨去），，
當變化時，，的變化情況如下：
此時，在區間單調遞減，
在區間上單調遞增7分
（3）當時，令，得，（捨去），
當變化時，，的變化情況如下：
此時，在區間單調遞減，
在區間上單調遞增9分
（ⅱ）由(ⅰ)知當時，在區間單調遞減，在區間上單調遞增10分
（1）當，即時，在區間單調遞減，
所以11分
（2）當，即時，在區間單調遞減，
在區間單調遞增，所以，………12分
（3）當，即時，在區間單調遞增，
所以13分
8.解2分
3分因為函式在點的切線與直線平行
所以5分
（ⅱ）令
當時，，在上，有，函式增；在上，有，函式減， 函式的最小值為0，結論不成立6分
當時7分
若，，結論不成立9分
若，則，在上，有，函式增；
在上，有，函式減，
只需，得到，
所以11分
若，，函式在有極小值，只需
得到，因為，所以 ………………13分
9. 解：（ⅰ）當時，．
．所以．
（ⅱ）．
令，得或．
當，即時，
恆成立，
此時在區間上單調遞減，沒有極小值；
當，即時，
若，則．
若，則．
所以是函式的極小值點．
當，即時，
若，則．
若，則．
此時是函式的極大值點．
綜上所述，使函式在時取得極小值的的取值範圍是．
（ⅲ）由（ⅱ）知當，且時，，
因此是的極大值點，極大值為．
所以． ．令．
則恆成立，即在區間上是增函式．
所以當時，，即恒有．
又直線的斜率為，
所以曲線不能與直線相切．
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