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2023年石景山區高三統一測試
數學（文）試卷
第一部分（選擇題共40分）
一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項．
1.設集合，集合，則（ ）
ab．cd．2.下列函式中既是奇函式，又在區間上是單調遞減的函式為（ ）
a． b． c． d．
3.執行如圖所示的程式框圖，輸出的結果是（ ）
a． b． c． d．
4.設滿足約束條件則下列不等式恆成立的是（ ）
abc. d.
5.已知平面向量滿足，與的夾角為，若，則
實數的值為（ ）
a． bc． d．
6. 「」是「」的（ ）
a.充分不必要條件b.必要不充分條件
c.充要條件d.既不充分也不必要條件
7. 若某多面體的三檢視（單位：）如圖所示，
則此多面體的體積是（ ）
ab.cd.
8.如圖，已知線段上有一動點（異於）,線段,且滿足（是大於且不等於的常數），則點的運動軌跡為（ ）
a．圓的一部分 b．橢圓的一部分
c．雙曲線的一部分 d．拋物線的一部分
第二部分（非選擇題共110分）
二、填空題共6小題，每小題5分，共30分．
9.複數
10.雙曲線的焦距是________,漸近線方程是
11.若圓的半徑為，其圓心與點關於直線對稱，則圓的標準方程為
12.在中，，，，則的面積等於________．
13.在等差數列中，如果是與的等比中項，那麼_____．
14.已知函式.
①當時，函式的零點個數為
②如果函式恰有兩個零點，那麼實數的取值範圍為
三、解答題共6小題，共80分．解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程．
15．（本小題共13分）
已知函式.
（ⅰ）求函式的最小正週期;
（ⅱ）求函式在區間上的最小值和最大值.
16．（本小題共13分）
在等差數列中，，其前項和滿足.
（ⅰ）求實數的值，並求數列的通項公式；
（ⅱ）若數列是首項為，公比為的等比數列，求數列的前項和.
17．（本小題共13分）
搶「微信紅包」已經成為中國百姓歡度春節時非常喜愛的一項活動．小明收集班內
20名同學今年春節期間搶到紅包金額（元）如下（四捨五入取整數）：
102 52 41 121 72
162 50 22 158 46
43 136 95 192 59
99 22 68 98 79
對這20個資料進行分組，各組的頻數如下：
（ⅰ）寫出m，n的值，並回答這20名同學搶到的紅包金額的中位數落在哪個組別；
（ⅱ）記c組紅包金額的平均數與方差分別為、，e組紅包金額的平均數與方差分別為、，試分別比較與、與的大小；（只需寫出結論）
（ⅲ）從a，e兩組所有資料中任取2個，求這2個資料差的絕對值大於100的概率．
18．（本小題共14分）
如圖，在三稜錐中，已知是正三角形，平面，，為的中點，在稜上，且．
（ⅰ）求三稜錐的體積；
（ⅱ）求證：平面；
（ⅲ）若為中點，在稜上，且，
求證： //平面．
19．（本小題共13分）
已知橢圓e: 的離心率，焦距為．
（ⅰ）求橢圓e的方程；
（ⅱ）若分別是橢圓e的左、右頂點，動點滿足，連線，交橢圓e於點．證明：為定值（為座標原點）．
20．（本小題共14分）
設函式，．
（ⅰ）當時，求函式的極小值；
（ⅱ）討論函式零點的個數；
（ⅲ）若對任意的，恆成立，求實數的取值範圍．
2023年石景山區高三統一測試
數學（文）試卷答案及評分參考
一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分．
二、填空題共6小題，每小題5分，共30分．
三、解答題共6小題，共80分．
15.（本小題滿分13分）
解：（ⅰ）
5分所以週期為6分
（ⅱ）因為，
所以7分
所以當時，即時.
當時,即時13分
16.（本小題滿分13分）
解：（ⅰ）設等差數列的公差為，
因為2分
所以，所以4分
所以，所以.
所以6分
（ⅱ）由（ⅰ）知，
所以.所以9分
所以13分
17.（本小題13分）
解：（ⅰ）m=4，n=2，b3分
（ⅱ）<， <6分
（ⅲ）a組兩個資料為22，22，e組兩個資料為162，192
任取兩個資料，可能的組合為
(22，22)，(22，162)，(22，192)，(22，162)，(22，192)，(162，192)，
共6種結果
記資料差的絕對值大於100為事件a，事件a包括4種結果
所以13分
18.（本小題14分）
解：（ⅰ）因為是正三角形，且，
所以2分
又⊥平面3分
故s△bcd． ………………4分
（ⅱ）在底面中，取的中點，連線，
因，故．
因，故為的中點．
又為的中點，故∥，
故．……5分
因平面，平面，
故平面平面．
是正三角形，為的中點，
故，故平面7分
平面，故8分
又，故平面9分
（ⅲ）當時，連，設，連．
因為的中點，為中點，
故為△的重心10分
因，，故，
所以12分
又平面，平面，所以∥平面． ……14分
19.（本小題13分）
（ⅰ）解：因為， 所以1分
因為，所以3分
因為， 所以4分
所以橢圓方程為5分
（ⅱ）方法一：
證明：c(－2，0)，d(2，0)，
設，則7分
直線cm：，即8分
代入橢圓方程，
得，所以10分
所以．所以12分
所以·＝．
即·為定值13分
方法二：設，
由可得，即.
∵點在上
∴.∴.
∴為定值.
方法三：因為直線不在軸上，故可設.
由得，∴，即．
在直線中令，則，即．
∴.∴為定值.
20.（本小題14分）
解：（ⅰ）因為，
所以當時，，在上單調遞減；
當時，，在上單調遞增；
所以當時，取得極小值3分
（ⅱ），
令，得．
設，則．
所以當時，，在上單調遞增；
當時，，在上單調遞減；
所以的最大值為，又，可知：
當時，函式沒有零點；
當或時，函式有且僅有1個零點；
③當時，函式有2個零9分
（ⅲ）原命題等價於恒成立．.
設，則等價於在上單調遞減．
即在上恆成立，
所以恆成立，
所以．即的取值範圍是14分
【注：若有其它解法，請酌情給分】
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