一、定義描述(8』)
1、群:設g是乙個非空集合, 是它的乙個代數運算。如果滿足以下條件:
(1)結合律成立,即對g中任意元素a,b,c都有(a b) c = a (b c).
(2)g中有元素e.叫做g的左單位元,它對g中每個元素a都有e a = a .
(3)對g中每個元素a,在g中都有元素a-1,叫做a的左逆元,使a-1 a = e .
則稱g對代數運算做成乙個群。
2、正規子群:設n是群g的乙個子群,如果對g中每個元素a都有 an=na,即 ana-1=n ,則稱n是群g的乙個正規子群(或不變子群)。
3、環:設非空集合r有兩個代數運算,乙個叫做加法並用加號 + 表示,另乙個叫做乘法用乘號表示,如果:
(1)r對加法作成乙個**;
(2)r對乘法滿足結合律:(ab)c = a(bc);
(3)乘法對加法滿足左右分配率:a(b+c)= ab + ac ,(b+c)a = ba + ca .
其中a,b,c為r中任意元素,則稱r對這兩個代數運算作成乙個環。
4、極大理想:設n是環r的乙個理想,且n≠r .如果除r和n外,r中沒有包含n的其它理想,則稱n為環r的乙個極大理想。
5、惟一分解整環:設k是有單位元的整環。如果k中每個既不是零又不是單位的元素都能惟一分解,則稱k為惟一分解整環。整數環z及域f上多項式環f[ x ]都是惟一分解整環。
6、歐氏環:設k是乙個有單位元的整環,如果
(1)有乙個從k的非零元集k – 到非負整數集的對映ψ存在;
(2)這個ψ對k中任意元素a及b≠0,在k中有元素q,r使a=bq + r,r=0
或ψ(r)<ψ(b),則稱r關於ψ作成乙個歐氏環
7、素理想:設r是乙個交換環,p r .如果ab∈p => a∈p或b∈p,其中a,b∈r,則稱p是r的乙個素理想。
顯然,環r本身是r的乙個素理想;又零理想是r的素理想當且僅當r無零因子,
亦即r是乙個整環。
8、主理想:設r是乙個環,任取a∈r,r中包含a的全部理想的交也是r的乙個理想,且是r的包含元素a的最小理想,並稱其為r的由a生成的主理想,記為< a > .
9、理想:設n是環r的乙個子**,即對n中任意元素a,b,差a-b仍屬於n,如果又有 r∈r,a∈n => ra∈n,則稱n是環r的乙個左理想;
如果 r∈r,a∈n => ar∈n,則稱n是環r的乙個右理想;
如果n既是r的左理想又是右理想,則稱n是環r的乙個雙邊理想,簡稱理想,並用
符號n r表示。否則記為n r .
10、商群:群g的正規子群n的全體陪集對於陪集的乘法作成乙個群,稱為g關於n的商群,記為g/n .
11、主理想環:設k是乙個有單位元的整環。如果k的每乙個理想都是乙個主理想,則稱k是乙個主理想整環。
整數環和域f上的多項式環f[ x]都是主理想整環。但是,整數環z上的多項式環z[ x]不是乙個主理想整環。
二、填空(30』)
1、集合m的乙個分類決定m的乙個等價關係。
2、集合m的乙個等價關係決定m的乙個分類。
3、設g是乙個半群,則g作為成群的充要條件是,對g中任意元素a、b,
方程ax=b , ya=b在g中都有解。
4、群g的乙個非空子集h作成子群的充要條件是:
(1)a,b∈h => ab∈h ;
(2)a∈h => a-1∈h.
5、設h,k是群g的兩個子群,則hk≤g hk=kh.
6、整數**z是無限迴圈群。
7、無限迴圈群有兩個生成元,即a與a-1;n階迴圈群有ψ(n)個生成元,
其中ψ(n)為euler函式。
例如,4、5、6階迴圈群分別有ψ(4)=2 ,ψ(5)=4 ,ψ(6)=2 個生成元。
8、設是任意乙個迴圈群。
(1)若|a|=∞,則與整數**z同構;
(2)若|a|=n,則與n次單位根群un 同構。
9、迴圈群的子群仍為迴圈群。
10、不相連迴圈相乘時可以交換。
11、k—迴圈的階為k;不相連迴圈乘積的階為各因子的階的最小公倍。
12、(設h是有限群g的乙個子群,則|g|=|h|(g:h).從
而任何子集的階和指數都是群g的階的因數。
13、有限群中每個元素的階都整除群的階。
14、左陪集的重要性質
(1)a∈ah . (2)a∈h ah=h . (3)b∈ah ah=bh .
(4)ah=bh,即a與b同在乙個左陪集中 a-1b∈h(或b-1a∈h)。
(5)若ah∩bh≠φ,則ah=bh .對任二陪集來說,要麼相等要麼無公共元素。
15、迴圈群的商群也是迴圈群。
16、(第一同構定理)設ψ是群g到g的乙個同態滿射,又kerψ n g,n=ψ(n),
則g/n ≌ g/n .
17、(第二同構定理)設g是群,又h≤g,n g .則h∩n h,並且hn/n≌h/(h∩n) .
18、(第三同構定理)設g是群,又n g,h≤g/n .則
(1)存在g的惟一子群h n,且h=h/n ;
(2)又當h g/n時,有惟一的h g使h=h/n且g/h≌g/n/h/n .
19、設g是乙個群,a∈g,則
(1)σa:x —> axa-1 (x∈g)是g的乙個自同構,稱為g的乙個內自同構;
(2)g的全體內自同構作成乙個群,稱為群g的內自同構群,記為inn g;
(3)inn g aut g .
20、環r的非空子集s作成子環的充要條件是:
a,b∈s => a - b∈s , a,b∈s => ab∈s .
21、如果p是素數,則環zp是乙個域;如果n是合數,則環zn有零因子,從而不是域。
22、(環同態基本定理)設r與r是兩個環,且r ~ r . 則
(1)這個同態核n,即零元的全體逆象,是r的乙個理想;
(2)r/n ≌r.
23、設p是交換環r的乙個理想。則p是r的素理想的充分與必要條件是,商環r/p無
零因子,即為整環。
24、整數環z的理想n是z的極大理想,當且僅當n是由素數生成的理想。
25、整環k中的元素一定是不可約元。
26、設k是任意乙個惟一分解整環。則p是k的元素當且僅當p是k的不可約元。
27、設k是有單位元的整環。如果
(1)k中每個既不是零又不是單位的元素都可分為不可約元的乘積;
(2)k中的不可約元都是素元;
則k是乙個惟一分解整環。
28、gauss整環z[ i]是主理想整環。
29、整數環z是歐氏環。
30、域f上多項式環f[ x]是乙個歐氏環。
31、歐氏環必是主理想環,因而是惟一分解整環。(反之不成立)
32、主理想整環是惟一分解整環。(反之不成立)
33、群g中關於子群h的互異的左(或右)陪集的個數,叫做h在g裡的指數,記(g:h).
34、設p∈k .p≠0,且p不是單位。如果p|ab就必有p|a或p|b,則稱p是k的乙個元素。
35、同態:反身、傳遞 (不滿足對稱) ; 同構:反身、傳遞、對稱。
例一、設σ=(14)(235),τ=(153)(24). 求στσ-1 =?
解:由定理可知:
1 = (σ(1)σ(5)σ(3))(σ(2)σ(4))
425)(24).
例二、證明:k= 作成交代群a4 的乙個交換子群。這個群(以及與其同構的群)稱為klein(四元群。
證顯然k4 中的置換全為偶置換,而且除恒等置換外其餘三個置換的階都是2,而且
其中任二個相乘等於第三個,即k4 對置換的乘法封閉。從而k4 是a4的乙個子群,且
顯然是乙個交換子群證畢)
例三、證明:z[ i]= 作成乙個有單位元的整環(這個環稱為gauss整環),並
且其單位群是 .
證 z[ i ]作成有單位元的整環顯然。又顯然±1,±i均為其單位。下證:z[ i ]沒有別
的單位。
設ε=a + bi 是z[ i]的任一單位,則有η∈ z[ i ]使 εη=1,|ε|2|η|2 =1 .
這只有|ε|2 =a2 + b2=1,從而只有a=±1,b=0;或a=0,b=±1 .
即ε只能是±1及±i .
因此,±1和±i是環z[ i ]的全部單位。故 u(z[ i ])= .
例四、在模8剩餘類環z8 中 ,令< 4 >=,< 2 >=,則< 4 >不是z8的素理想
(因為2·2=4∈< 4 >,但是2∈< 4 >),也不是z8的極大理想(因為< 4 > < 2 > z8).
但是,易知< 2 >既是z8的素理想也是z8的極大理想。
例五、設g=< a > 為6階迴圈群。給出g的一切生成元和g的所有子群。
解: a,a56)=2 .
例六、試求下列各置換的階:τ1=(1378)(24);【4】 τ2=(1372)(234);【6】
τ3= 1 2 3 4 5 6
6 4 1 5 2 3 ;【3】
τ4= 1 2 3 4 5 6 7
5 7 6 3 1 4 2 ;【6】
近世代數複習提綱
一 判斷題 1 模剩餘類集合的乙個全體代表團是 2 群的兩個子群的交集仍是的乙個子群 3 模6剩餘類 的生成元為或 4 整環上的一元多項式環是唯一分解環 5 迴圈群一定是有限群 6 整數集合的元間的小於等於關係是的乙個等價關係 7 迴圈群一定是交換群 8 環中的乘法運算滿 換律 9 集合的元間乙個等...
近世代數習題解答
第一章基本概念 1.1 1.4.5.近世代數題解 1.2 2.3.近世代數題解 1.3 1.解 1 與3 是代數運算,2 不是代數運算 2.解這實際上就是m中n個元素可重複的全排列數nn 3.解例如ab e與ab ab a b 近世代數題解近世代數習題解答近世代數題解第一章基本概念 1.11.4.5...
近世代數讀書報告
讀書 報告 近世代數 學院 數學與統計學院 姓名 蔣旭輝 學號 0501090132 專業 數學與應用數學 教育方向 近世代數 之我想 剛開始接觸 近世代數 時,對它一點兒也不了解,總覺得它離我的學習和生活特別遙遠。當我認認真真學習了它之後才發現 原來它一點兒也不難學,從某種意義上來講,它還特別有趣...