多項式擬合

最小二乘法的基本原理和多項式擬合

一最小二乘法的基本原理

近似函式,資料點(i=0,1,…,m)誤差(i=0,1,…,m)

常用的方法有以下三種：

一是誤差絕對值的最大值，即誤差向量的∞—範數；

二是誤差絕對值的和，即誤差向量r的1—範數；

三是誤差平方和的算術平方根，即誤差向量r的2—範數；

資料擬合的具體作法是：對給定資料 (i=0,1,…，m)，

在取定的函式類中,求,使誤差(i=0,1,…,m)的

平方和最小，即

=函式稱為擬合函式或最小二乘解，求擬合函式的方法稱為曲線

擬合的最小二乘法。

假設給定資料點(i=0,1,…,m)，現求一,使得

(1)當擬合函式為多項式時，稱為多項式擬合，滿足式（1）的稱為最小二乘擬合多項式。顯然

為的多元函式，因此上述問題即為求的極值問題。

由多元函式求極值的必要條件，關於的線性方程組，用矩陣表示為

(4)式（3）或式（4）稱為正規方程組或法方程組。

可以證明，方程組（4）的係數矩陣是乙個對稱正定矩陣，故存在唯一解。從式（4）中解出(k=0,1,…，n)，從而可得多項式

5)可以證明，式（5）中的滿足式（1），即為所求的擬合多項式。我們把稱為最小二乘擬合多項式的平方誤差，記作

由式(2)可得

6) 多項式擬合的一般方法可歸納為以下幾步：

(1) 由已知資料畫出函式粗略的圖形——散點圖，確定擬合多項式的次數n；

(2) 列表計算和；

(3) 寫出正規方程組，求出；

(4) 寫出擬合多項式。

*四多項式擬合中克服正規方程組的病態

在多項式擬合中，當擬合多項式的次數較高時，其正規方程組往往是病態的。而且

①正規方程組係數矩陣的階數越高，病態越嚴重；

②擬合節點分布的區間偏離原點越遠，病態越嚴重；

③(i=0,1,…，m)的數量級相差越大，病態越嚴重。

為了克服以上缺點，一般採用以下措施：

①盡量少作高次擬合多項式，而作不同的分段低次擬合；

②不使用原始節點作擬合，將節點分布區間作平移，使新的節點關於原點對稱，可大大降低正規方程組的條件數，從而減低病態程度。

平移公式為：

(9)③對平移後的節點(i=0,1,…，m),再作壓縮或擴張處理：

（10）

其中 ,（r是擬合次數） （11）

經過這樣調整可以使的數量級不太大也不太小，特別對於等距節點，作式（10）和式（11）兩項變換後，其正規方程組的係數矩陣設為a，則對1～4次多項式擬合，條件數都不太大，都可以得到滿意的結果。

變換後的條件數上限表如下：

④在實際應用中還可以利用正交多項式求擬合多項式。一種方法是構造離散正交多項式；另一種方法是利用切比雪夫節點求出函式值後再使用正交多項式。這兩種方法都使正規方程組的係數矩陣為對角矩陣，從而避免了正規方程組的病態。

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