圓錐曲線的中點弦問題是高考常見的題型，在選擇題、填空題和解答題中都是命題的熱點。它的一般方法是：聯立直線和圓錐曲線的方程，借助於一元二次方程的根的判別式、根與係數的關係、中點座標公式及引數法求解。
若已知直線與圓錐曲線的交點（弦的端點）座標，將這兩點代入圓錐曲線的方程並對所得兩式作差，得到乙個與弦的中點和斜率有關的式子，可以大大減少運算量。我們稱這種代點作差的方法為「點差法」，它的一般結論叫做點差法公式。本文就拋物線的點差法公式在高考中的妙用做一些粗淺的**，以饗讀者。
定理1 在橢圓（＞＞0）中，若直線與橢圓相交於m、n兩點，點是弦mn的中點，弦mn所在的直線的斜率為，則.
證明：設m、n兩點的座標分別為、，則有，得又
同理可證，在橢圓（＞＞0）中，若直線與橢圓相交於m、n兩點，點是弦mn的中點，弦mn所在的直線的斜率為，則.
定理2 在雙曲線（＞0，＞0）中，若直線與雙曲線相交於m、n兩點，點
是弦mn的中點，弦mn所在的直線的斜率為，則.
證明：設m、n兩點的座標分別為、，則有，得又
同理可證，在雙曲線（＞0，＞0）中，若直線與雙曲線相交於m、n兩點，點是弦mn的中點，弦mn所在的直線的斜率為，則.
定理3 在拋物線中，若直線與拋物線相交於m、n兩點，點是弦mn的中點，弦mn所在的直線的斜率為，則.
證明：設m、n兩點的座標分別為、，則有
，得又.
.注意：能用這個公式的條件：（1）直線與拋物線有兩個不同的交點；（2）直線的斜率存在.
同理可證，在拋物線中，若直線與拋物線相交於m、n兩點，點是弦mn的中點，弦mn所在的直線的斜率為，則.
注意：能用這個公式的條件：（1）直線與拋物線有兩個不同的交點；（2）直線的斜率存在，且不等於零.
典題妙解
例1（09年四川）已知橢圓（＞＞0）的左、右焦點分別為、，離心率，右準線方程為.
(ⅰ) 求橢圓的標準方程；
(ⅱ) 過點的直線與該橢圓相交於m、n兩點，且，求直線的方程.
解：（ⅰ）根據題意，得
.所求的橢圓方程為.
（ⅱ）橢圓的焦點為、. 設直線被橢圓所截的弦mn的中點為.
由平行四邊形法則知：.
由得：.
若直線的斜率不存在，則軸，這時點p與重合，，與題設相矛盾，故直線的斜率存在.
由得：②代入①，得
整理，得：.
解之得：，或.
由②可知，不合題意.
，從而.
所求的直線方程為，或.
例2. 設雙曲線的中心在原點，以拋物線的頂點為雙曲線的右焦點，拋物線的準線為雙曲線的右準線．
（ⅰ）試求雙曲線c的方程；
（ⅱ）設直線與雙曲線交於兩點，求；
（ⅲ）對於直線，是否存在這樣的實數，使直線與雙曲線的交點關於直線(為常數)對稱，若存在，求出值；若不存在，請說明理由．
解：（ⅰ）由得，
，拋物線的頂點是，準線是.
在雙曲線c中，.
雙曲線c的方程為.
（ⅱ）由得：.
設，則.
. （ⅲ）假設存在這樣的實數，使直線與雙曲線的交點關於直線對稱，則是線段ab的垂直平分線. 因而，從而. 設線段ab的中點為.
由得 由得
由①、②得：.
由得：， .
又由得：
直線與雙曲線c相交於a、b兩點，
＞0，即＜6，且.
符合題意的的值存在，.
例3. （05全國ⅲ文22）設兩點在拋物線上，是ab的垂直平分線.
（ⅰ）當且僅當取何值時，直線經過拋物線的焦點f？證明你的結論.
（ⅱ）當時，求直線的方程.
解：（ⅰ）， .
設線段ab的中點為，直線的斜率為，則.
若直線的斜率不存在，當且僅當時，ab的垂直平分線為軸，經過拋物線的焦點f.
若直線的斜率存在，則其方程為，.
由得：， .
若直線經過焦點f，則得：，，與相矛盾.
當直線的斜率存在時，它不可能經過拋物線的焦點f.
綜上所述，當且僅當時，直線經過拋物線的焦點f.
（ⅱ）當時，
由得：.
所求的直線的方程為，即
練習1. (05湖北)設a、b是橢圓上的兩點，點是線段ab的中點，線段ab的垂直平分線與橢圓相交於c、d兩點.
（1）確定的取值範圍，並求直線ab的方程；
（2）略.
2.（02江蘇）設a、b是雙曲線上兩點，點是線段ab的中點.
（1）求直線ab的方程；
（2）如果線段ab的垂直平分線與雙曲線相交於c、d兩點，那麼a、b、c、d四點是否共圓，為什麼？
3. (08陝西理20) 已知拋物線，直線交c於a、b兩點，m是線段ab的中點，過m作x軸的垂線交c於點n.
（ⅰ）證明：拋物線c在點n處的切線與ab平行；
（ⅱ）是否存在實數使，若存在，求的值；若不存在，請說明理由
參***
1. 解：（1）點在橢圓內， ＜，即＞12.
的取值範圍是.
由得， ，焦點在y軸上.
若直線ab的斜率不存在，則直線ab軸，根據橢圓的對稱性，線段ab的中點n在x軸上，不合題意，故直線ab的斜率存在.
由得：， .
所求直線ab的方程為，即.
從而線段ab的垂直平分線cd的方程為，即.
2. 解：（1），焦點在上. 由得：， .
所求的直線ab方程為，即.
（2）設直線cd的方程為，點在直線cd上，
，.直線cd的方程為.
又設弦cd的中點為，由得：，即.
由得.點m的座標為.
又由得.
由兩點間的距離公式可知：.
故a、b、c、d四點到點m的距離相等，即a、b、c、d四點共圓.
8.（ⅰ）證明：，設點m的座標為.
當時，點m在y軸上，點n與原點o重合，拋物線c
在點n處的切線為x軸，與ab平行.
當時，由得：.
. 得點n的座標為.
設拋物線c在點n處的切線方程為，即.
代入，得：，
整理得：.
， ，即拋物線c在點n處的切線的斜率等於直線ab的斜率.
故拋物線c在點n處的切線與ab平行.
（ⅱ）解：若，則，即..，
.由得.
設，則.
.. 即.
化簡，得：，即.
.故存在實數，使.
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