西北農林科技大學實驗報告
學院名稱：理學院專業年級：2011級信計1班
姓名：***學號：***
課程：數學模型與數學建模報告日期：2023年11月26日
(一) 實驗題目：
阿登高原戰鬥模型
(二) 實驗問題陳述：
阿登高原戰鬥是二次大戰期間德國國防軍最後一場大規模的進攻。戰鬥於2023年12月16日開始，德國首先發起驚人的攻擊，並預計戰鬥將在20天之內結束取得勝利。頭6天中，戰線突入盟軍防線達43.
5km寬，31km深。到2023年1月28日，戰線退回到原來的位置，整個戰鬥結束。表一概述了戰鬥統計資料，其中每天非戰鬥**數字主要是推測出來的。
在此次戰役中德軍損失12萬人，盟軍損失7.7萬人。德軍的這次**雖使美軍遭受重大損失，但嚴重削弱了它在西線的防禦力量和東線的機動兵力，加速了德國的失敗。
（三) 實驗目的：
沒有關於德國每天戰鬥**的數字，這與日本硫磺島的情況一樣，利用這些數字建模並對這場戰鬥進行分析。
（四）實驗內容：
1.模型假設：
（1）.假設雙方士兵的人數是連續變化的，並且充分光滑。
（2）每一方的戰鬥減員率取決於雙方的兵力。
（3）.每一方的非戰鬥減員率（由疾病、開小差以及其他非作戰事故因素所引起的損失率）與本方的兵力成正比。
（4）.每一方的增援率是給定的分段函式。（由表一給定）
2.引數設定:
t時間（天）
a美軍減員率比例係數
b德軍減員率比例係數
a(t美軍第t天的人數
g(t德軍第t天的人數
u(t美軍增援率
v(t德軍增員率
k美軍比德軍**及防禦能力的倍數比
a1、b1美軍**優劣及防禦能力強弱的綜合效果。
a2、b2德軍**優劣及防禦能力強弱的綜合效果
3.模型的建立與求解:
（1）利用常規戰爭模型，建立微分方程組：
（2）用求和代替積分，可得：
因g=(33)=80000， a(s)=8013780,可得b=0.0356。
（3）這時可以通過g（t）的式子模擬出德軍每天的剩餘戰鬥力，如表所示，且可得到
於是a(t)=92200-0.0149,從而可以得到美軍每天剩餘戰鬥力的理論值，把實際值與理論值進行比較，繪圖可直**出理論值擬合的很好。
4.實驗結果分析與討論:
通過美軍的資料推測，實際值與理論值相符度很好，說明德軍的推算資料也基本符合真實值，我們可以採用經過推測的資料對交戰雙方做進一步分析。
德軍的參謀曾預計這次突襲可在20天之內結束並取得勝利，於是我們在雙方都不增援，並且考慮**力量的情況下，對交戰作進一步分析，用matlab模擬戰鬥：
(1)由於a=0.0149,b=0.0356，我們可得美軍的**力量比德軍強2.4倍。即k=2.4
(2)直接交火的**與敵軍步兵數量成正比
有直接交火導致的：德軍喪亡=a1a(n)(單位/天)
美軍喪亡=a2g(n)(單位/天)
(3)交火造成的**與敵軍的炮兵數和我軍的密度兩者都有關係
有炮火導致的：德軍喪亡率=b1a(n)g(n)(單位/天)
美軍喪亡率=b2a(n)g(n)(單位/天)
比例係數a1b1、a2b2分別代表美、德軍**優劣和美、德軍防禦能力強弱的綜合效果。
(4)a(n)=a(n-1)-0.03kg(n-1)-0.01ka(n-1)g(n-1)
g(n)=g(n-1)-0.03a(n-1)-0.01a(n-1)g(n-1)
g(0)=20,a(0)=9.220
執行結果如下：
>> fire(20,9.22,2.4,0.03,3)
ans =
columns 1 through 6
20.0000 14.9106 11.9979 10.0835 8.7269 7.7187
9.2200 6.7760 5.3183 4.3203 3.5822 3.0077
columns 7 through 12
6.9450 6.3378 5.8540 5.4647 5.1499 4.8956
2.5440 2.1590 1.8320 1.5492 1.3006 1.0791
columns 13 through 18
4.6911 4.5287 4.4027 4.3086 4.2429 4.2030
0.8794 0.6974 0.5300 0.3745 0.2292 0.0921
column 19
4.1871
-0.0378
(5)結論：
可見在第18天時美軍已經戰敗，這表明德軍的突襲計畫還是有成功的可見性的，但是美軍指揮得當，且增援及時，最後取得了勝利。由此說明在戰鬥中**力量並不是決勝的唯一因素，增援和指戰仍然起著不可或缺的重要作用。
6.實驗程式：
function x=fire(x10,x20,k,a,c)
a=[1 -k*a;-a 1];
b=[a*k/c a/c]';
xx=[x10,x20]';
y1=[x10 x20]';
while y1(1)>0 &&y1(2)>0
y=y1;
y1=a*y-b*y(1)*y(2);
xx=[xx y1];
endx=xx;
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