一、解答題（共30小題）
1．（2012涼山州）如圖，在平面直角座標系中，直線y=x+4與x軸、y軸分別交於a、b兩點，拋物線y=﹣x2+bx+c經過a、b兩點，並與x軸交於另一點c（點c點a的右側），點p是拋物線上一動點．
（1）求拋物線的解析式及點c的座標；
（2）若點p在第二象限內，過點p作pd⊥軸於d，交ab於點e．當點p運動到什麼位置時，線段pe最長？此時pe等於多少？
（3）如果平行於x軸的動直線l與拋物線交於點q，與直線ab交於點n，點m為oa的中點，那麼是否存在這樣的直線l，使得△mon是等腰三角形？若存在，請求出點q的座標；若不存在，請說明理由．
2．（2012連雲港）如圖，拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交於a、b兩點，與y軸交於點c，點o為座標原點，點d為拋物線的頂點，點e在拋物線上，點f在x軸上，四邊形ocef為矩形，且of=2，ef=3，
（1）求拋物線所對應的函式解析式；
（2）求△abd的面積；
（3）將△aoc繞點c逆時針旋轉90°，點a對應點為點g，問點g是否在該拋物線上？請說明理由．
3．（2012麗水）在直角座標系中，點a是拋物線y=x2在第二象限上的點，連線oa，過點o作ob⊥oa，交拋物線於點b，以oa、ob為邊構造矩形aobc．
（1）如圖1，當點a的橫座標為時，矩形aobc是正方形；
（2）如圖2，當點a的橫座標為時，
①求點b的座標；
②將拋物線y=x2作關於x軸的軸對稱變換得到拋物線y=﹣x2，試判斷拋物線y=﹣x2經過平移交換後，能否經過a，b，c三點？如果可以，說出變換的過程；如果不可以，請說明理由．
4．（2012樂山）如圖，在平面直角座標系中，點a的座標為（m，m），點b的座標為（n，﹣n），拋物線經過a、o、b三點，連線oa、ob、ab，線段ab交y軸於點c．已知實數m、n（m＜n）分別是方程x2﹣2x﹣3=0的兩根．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點p為線段ob上的乙個動點（不與點o、b重合），直線pc與拋物線交於d、e兩點（點d在y軸右側），連線od、bd．
①當△opc為等腰三角形時，求點p的座標；
②求△bod 面積的最大值，並寫出此時點d的座標．
5．（2012蘭州）若x1、x2是關於一元二次方程ax2+bx+c（a≠0）的兩個根，則方程的兩個根x1、x2和係數a、b、c有如下關係：x1+x2=﹣，x1x2=．把它稱為一元二次方程根與係數關係定理．如果設二次函式y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸的兩個交點為a（x1，0），b（x2，0）．利用根與係數關係定理可以得到a、b連個交點間的距離為：ab=|x1﹣x2|====；
參考以上定理和結論，解答下列問題：
設二次函式y=ax2+bx+c（a＞0）的圖象與x軸的兩個交點a（x1，0），b（x2，0），拋物線的頂點為c，顯然△abc為等腰三角形．
（1）當△abc為直角三角形時，求b2﹣4ac的值；
（2）當△abc為等邊三角形時，求b2﹣4ac的值．
6．（2012蘭州）如圖，rt△abo的兩直角邊oa、ob分別在x軸的負半軸和y軸的正半軸上，o為座標原點，a、b兩點的座標分別為（﹣3，0）、（0，4），拋物線y=x2+bx+c經過點b，且頂點在直線x=上．
（1）求拋物線對應的函式關係式；
（2）若把△abo沿x軸向右平移得到△dce，點a、b、o的對應點分別是d、c、e，當四邊形abcd是菱形時，試判斷點c和點d是否在該拋物線上，並說明理由；
（3）在（2）的條件下，連線bd，已知對稱軸上存在一點p使得△pbd的周長最小，求出p點的座標；
（4）在（2）、（3）的條件下，若點m是線段ob上的乙個動點（點m與點o、b不重合），過點m作∥bd交x軸於點n，連線pm、pn，設om的長為t，△pmn的面積為s，求s和t的函式關係式，並寫出自變數t的取值範圍，s是否存在最大值？若存在，求出最大值和此時m點的座標；若不存在，說明理由．
7．（2012荊門）已知：y關於x的函式y=（k﹣1）x2﹣2kx+k+2的圖象與x軸有交點．
（1）求k的取值範圍；
（2）若x1，x2是函式圖象與x軸兩個交點的橫座標，且滿足（k﹣1）x12+2kx2+k+2=4x1x2．
①求k的值；②當k≤x≤k+2時，請結合函式圖象確定y的最大值和最大值．
8．（2012荊門）如圖甲，四邊形oabc的邊oa、oc分別在x軸、y軸的正半軸上，頂點在b點的拋物線交x軸於點a、d，交y軸於點e，連線ab、ae、be．已知tan∠cbe=，a（3，0），d（﹣1，0），e（0，3）．
（1）求拋物線的解析式及頂點b的座標；
（2）求證：cb是△abe外接圓的切線；
（3）試**座標軸上是否存在一點p，使以d、e、p為頂點的三角形與△abe相似，若存在，直接寫出點p的座標；若不存在，請說明理由；
（4）設△aoe沿x軸正方向平移t個單位長度（0＜t≤3）時，△aoe與△abe重疊部分的面積為s，求s與t之間的函式關係式，並指出t的取值範圍．
9．（2012江西）如圖，已知二次函式l1：y=x2﹣4x+3與x軸交於a、b兩點（點a在點b的左邊），與y軸交於點c．
（1）寫出a、b兩點的座標；
（2）二次函式l2：y=kx2﹣4kx+3k（k≠0），頂點為p．
①直接寫出二次函式l2與二次函式l1有關圖象的兩條相同的性質；
②是否存在實數k，使△abp為等邊三角形？如果存在，請求出k的值；如不存在，請說明理由；
③若直線y=8k與拋物線l2交於e、f兩點，問線段ef的長度是否會發生變化？如果不會，請求出ef的長度；如果會，請說明理由．
10．（2012嘉興）某汽車租賃公司擁有20輛汽車．據統計，當每輛車的日租金為400元時，可全部租出；當每輛車的日租金每增加50元，未租出的車將增加1輛；公司平均每日的各項支出共4800元．設公司每日租出工輛車時，日收益為y元．（日收益=日租金收入一平均每日各項支出）
（1）公司每日租出x輛車時，每輛車的日租金為元（用含x的代數式表示）；
（2）當每日租出多少輛時，租賃公司日收益最大？最大是多少元？
（3）當每日租出多少輛時，租賃公司的日收益不盈也不虧？
11．（2012嘉興）在平面直角座標系xoy中，點p是拋物線：y=x2上的動點（點在第一象限內）．連線 op，過點0作op的垂線交拋物線於另一點q．連線pq，交y軸於點m．作pa丄x軸於點a，qb丄x軸於點b．設點p的橫座標為m．
（1）如圖1，當m=時，
①求線段op的長和tan∠pom的值；
②在y軸上找一點c，使△ocq是以oq為腰的等腰三角形，求點c的座標；
（2）如圖2，連線am、bm，分別與op、oq相交於點d、e．
①用含m的代數式表示點q的座標；
②求證：四邊形odme是矩形．
12．（2012佳木斯）如圖，拋物線y=x2+bx+c經過座標原點，並與x軸交於點a（2，0）．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）寫出頂點座標及對稱軸；
（3）若拋物線上有一點b，且s△oab=3，求點b的座標．
13．（2012濟寧）如圖，拋物線y=ax2+bx﹣4與x軸交於a（4，0）、b（﹣2，0）兩點，與y軸交於點c，點p是線段ab上一動點（端點除外），過點p作pd∥ac，交bc於點d，連線cp．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）當動點p運動到何處時，bp2=bdbc；
（3）當△pcd的面積最大時，求點p的座標．
14．（2012吉林）問題情境
如圖，在x軸上有兩點a（m，0），b（n，0）（n＞m＞0）．分別過點a，點b作x軸的垂線，交拋物線y=x2於點c、點d．直線oc交直線bd於點e，直線od交直線ac於點f，點e、點f的縱座標分別記為ye，yf．
特例**
填空：當m=1，n=2時，yeyf
當m=3，n=5時，yeyf
歸納證明
對任意m，n（n＞m＞0），猜想ye與yf的大小關係，並證明你的猜想．
拓展應用
（1）若將「拋物線y=x2」改為「拋物線y=ax2（a＞0）」，其他條件不變，請直接寫出ye與yf的大小關係；
（2）連線ef，ae．當s四邊形ofea=3s△ofe時，直接寫出m與n的關係及四邊形ofea的形狀．
15．（2012雞西）如圖，拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交於a、b兩點，與y軸交於點c，且oa=2，oc=3．
（1）求拋物線的解析式．
（2）若點d（2，2）是拋物線上一點，那麼在拋物線的對稱軸上，是否存在一點p，使得△bdp的周長最小？若存在，請求出點p的座標；若不存在，請說明理由．
注：二次函式y=ax2+bx+c（a≠0）的對稱軸是直線x=﹣．
16．（2012黃石）已知拋物線c1的函式解析式為y=ax2+bx﹣3a（b＜0），若拋物線c1經過點（0，﹣3），方程ax2+bx﹣3a=0的兩根為x1，x2，且|x1﹣x2|=4．
（1）求拋物線c1的頂點座標．
（2）已知實數x＞0，請證明x+≥2，並說明x為何值時才會有x+=2．
（3）若將拋物線先向上平移4個單位，再向左平移1個單位後得到拋物線c2，設a（m，y1），b（n，y2）是c2上的兩個不同點，且滿足：∠aob=90°，m＞0，n＜0．請你用含m的表示式表示出△aob的面積s，並求出s的最小值及s取最小值時一次函式oa的函式解析式．
（參考公式：在平面直角座標系中，若p（x1，y1），q（x2，y2），則p，q兩點間的距離為）
17．（2012黃岡）某科技開發公司研製出一種新型的產品，每件產品的成本為2400元，銷售單價定為3000元，在該產品的試銷期間，為了**，鼓勵商家購買該新型產品，公司決定商家一次購買這種新型產品不超過10件時，每件按3000元銷售；若一次購買該種產品超過10件時，每多購買一件，所購買的全部產品的銷售單價均降低10元，但銷售單價均不低於2600元．
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