《圓》章節知識點複習
一、圓的概念
垂徑定理
垂徑定理：垂直於弦的直徑平分弦且平分弦所對的弧。
推論1：（1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直於弦，並且平分弦所對的兩條弧；
（2）弦的垂直平分線經過圓心，並且平分弦所對的兩條弧；
（3）平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，並且平分弦所對的另一條弧
以上共4個定理，簡稱2推3定理：此定理中共5個結論中，只要知道其中2個即可推出其它3個結論，即：①是直徑弧弧 ⑤ 弧弧
中任意2個條件推出其他3個結論。
推論2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等。即：在⊙中，∵∥∴弧弧
例1、 基本概念
1．下面四個命題中正確的乙個是（ ）
a．平分一條直徑的弦必垂直於這條直徑 b．平分一條弧的直線垂直於這條弧所對的弦
c．弦的垂線必過這條弦所在圓的圓心 d．在乙個圓內平分一條弧和它所對弦的直線必過這個圓的圓心
2．下列命題中，正確的是（ ）．
a．過弦的中點的直線平分弦所對的弧b．過弦的中點的直線必過圓心
c．弦所對的兩條弧的中點連線垂直平分弦，且過圓心 d．弦的垂線平分弦所對的弧
例2、垂徑定理
1、在直徑為52cm的圓柱形油槽內裝入一些油後，截面如圖所示，如果油的最大深度為16cm，那麼油麵寬度ab是________cm.
例3、度數問題
1、已知：在⊙中，弦，點到的距離等於的一半，求：的度數和圓的半徑.
2、已知：⊙o的半徑，弦ab、ac的長分別是、.求的度數。
例4、相交問題
如圖，已知⊙o的直徑ab和弦cd相交於點e，ae=6cm，eb=2cm，∠bed=30°，求cd的長.
例5、平行問題
在直徑為50cm的⊙o中，弦ab=40cm，弦cd=48cm，且ab∥cd，求：ab與cd之間的距離.
例6、同心圓問題
如圖，在兩個同心圓中，大圓的弦ab，交小圓於c、d兩點，設大圓和小圓的半徑分別為.求證：.
六、圓心角定理
圓心角定理：同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弦相等，所對的弧相等，弦心距相等。 此定理也稱1推3定理，即上述四個結論中，只要知道其中的1個相等，則可以推出其它的3個結論，即：
①；②；③；④ 弧弧
七、圓周角定理
1、圓周角定理：同弧所對的圓周角等於它所對的圓心的角的一半。
八、圓內接四邊形
圓的內接四邊形定理：圓的內接四邊形的對角互補，外角等於它的內對角。
例1、如圖7-107，⊙o中，兩弦ab∥cd，m是ab的中點，過m點作弦de．求證：e，m，o，c四點共圓．
九、切線的性質與判定定理
（1）切線的判定定理：過半徑外端且垂直於半徑的直線是切線；
兩個條件：過半徑外端且垂直半徑即∵且過半徑外端 ∴是⊙的切線
（2）性質定理：切線垂直於過切點的半徑（如上圖）
推論1：過圓心垂直於切線的直線必過切點。
推論2：過切點垂直於切線的直線必過圓心。
以上三個定理及推論也稱二推一定理：即：①過圓心；②過切點；③垂直切線，三個條件中知道其中兩個條件就能推出最後乙個。
十、切線長定理
切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這點和圓心的連線平分兩條切線的夾角。
即：∵、是的兩條切線 ∴，平分
【利用切線性質計算線段的長度】例1：如圖，已知：ab是⊙o的直徑，p為延長線上的一點，pc切⊙o於c，cd⊥ab於d，又pc=4，⊙o的半徑為3．求：od的長．
【利用切線性質計算角的度數】例2：如圖，已知：ab是⊙o的直徑，cd切⊙o於c，ae⊥cd於e，bc的延長線與ae的延長線交於f，且af=bf．求：∠a的度數．
【利用切線性質證明角相等】例3：如圖，已知：ab為⊙o的直徑，過a作弦ac、ad，並延長與過b的切線交於m、n．求證：∠m**=∠mdn．
【利用切線性質證線段相等】例4：如圖，已知：ab是⊙o直徑，co⊥ab，cd切⊙o於d，ad交co於e．求證：cd=ce．
【利用切線性質證兩直線垂直】例5：如圖，已知：△abc中，ab=ac，以ab為直徑作⊙o，交bc於d，de切⊙o於d，交ac於e．求證：de⊥ac．
十一、圓冪定理
(1)相交弦定理：圓內兩弦相交，交點分得的兩條線段的乘積相等。即：在⊙中，∵弦、相交於點，∴
（2）推論：如果弦與直徑垂直相交，那麼弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項。
即：在⊙中，∵直徑， ∴
（3）切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項。
即：在⊙中，∵是切線，是割線 ∴
（4）割線定理：從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等（如上圖）。
即：在⊙中，∵、是割線 ∴
例1.如圖1，正方形abcd的邊長為1，以bc為直徑。在正方形內作半圓o，過a作半圓切線，切點為f，交cd於e，求de：ae的值。
例2.⊙o中的兩條弦ab與cd相交於e，若ae＝6cm，be＝2cm，cd＝7cm，那麼cecm。圖2十
二、兩圓公共弦定理
圓公共弦定理：兩圓圓心的連線垂直並且平分這兩個圓的的公共弦。
如圖：垂直平分，即：∵⊙、⊙相交於、兩點 ∴垂直平分
十三、圓的公切線
兩圓公切線長的計算公式：（1）公切線長：中，；
（2）外公切線長：是半徑之差； 內公切線長：是半徑之和 。
初三數學圓知識點複習專題
圓 章節知識點複習 一 圓的概念 集合形式的概念 1 圓可以看作是到定點的距離等於定長的點的集合 2 圓的外部 可以看作是到定點的距離大於定長的點的集合 3 圓的內部 可以看作是到定點的距離小於定長的點的集合 軌跡形式的概念 1 圓 到定點的距離等於定長的點的軌跡就是以定點為圓心，定長為半徑的圓 補...
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