《圓》章節知識點複習
一、圓的概念
集合形式的概念: 1、 圓可以看作是到定點的距離等於定長的點的集合;
2、圓的外部:可以看作是到定點的距離大於定長的點的集合;
3、圓的內部:可以看作是到定點的距離小於定長的點的集合
軌跡形式的概念: 1、圓:到定點的距離等於定長的點的軌跡就是以定點為圓心,定長為半徑的圓;
(補充)2、垂直平分線:到線段兩端距離相等的點的軌跡是這條線段的垂直平分線(也叫中垂線);
3、角的平分線:到角兩邊距離相等的點的軌跡是這個角的平分線;
4、到直線的距離相等的點的軌跡是:平行於這條直線且到這條直線的距離等於定長的兩條直線;
5、到兩條平行線距離相等的點的軌跡是:平行於這兩條平行線且到兩條直線距離都相等的一條直線。
二、點與圓的位置關係
1、點在圓內點在圓內;
2、點在圓上點在圓上;
3、點在圓外點在圓外;
三、直線與圓的位置關係
1、直線與圓相離無交點;
2、直線與圓相切有乙個交點;
3、直線與圓相交有兩個交點;
四、圓與圓的位置關係
外離(圖1) 無交點 ;
外切(圖2)有乙個交點;
相交(圖3)有兩個交點;
內切(圖4)有乙個交點;
內含(圖5) 無交點 ;
五、垂徑定理
垂徑定理:垂直於弦的直徑平分弦且平分弦所對的弧。
推論1:(1)平分弦(不是直徑)的直徑垂直於弦,並且平分弦所對的兩條弧;
(2)弦的垂直平分線經過圓心,並且平分弦所對的兩條弧;
(3)平分弦所對的一條弧的直徑,垂直平分弦,並且平分弦所對的另一條弧
以上共4個定理,簡稱2推3定理:此定理中共5個結論中,只要知道其中2個即可推出其它3個結論,即:
①是直徑弧弧 ⑤ 弧弧
中任意2個條件推出其他3個結論。
推論2:圓的兩條平行弦所夾的弧相等。
即:在⊙中,∵∥
弧弧例題1、 基本概念
1.下面四個命題中正確的乙個是( )
a.平分一條直徑的弦必垂直於這條直徑 b.平分一條弧的直線垂直於這條弧所對的弦
c.弦的垂線必過這條弦所在圓的圓心 d.在乙個圓內平分一條弧和它所對弦的直線必過這個圓的圓心
2.下列命題中,正確的是( ).
a.過弦的中點的直線平分弦所對的弧b.過弦的中點的直線必過圓心
c.弦所對的兩條弧的中點連線垂直平分弦,且過圓心 d.弦的垂線平分弦所對的弧
例題2、垂徑定理
1、 在直徑為52cm的圓柱形油槽內裝入一些油後,截面如圖所示,如果油的最大深度為16cm,那麼油麵寬度ab是________cm.
2、在直徑為52cm的圓柱形油槽內裝入一些油後,,如果油麵寬度是48cm,那麼油的最大深度為________cm.
3、如圖,已知在⊙中,弦,且,垂足為,於,於.
(1)求證:四邊形是正方形.
(2)若,,求圓心到弦和的距離.
4、已知:△abc內接於⊙o,ab=ac,半徑ob=5cm,圓心o到bc的距離為3cm,求ab的長.
5、如圖,f是以o為圓心,bc為直徑的半圓上任意一點,a是的中點,ad⊥bc於d,求證:ad=bf.
例題3、度數問題
1、已知:在⊙中,弦,點到的距離等於的一半,求:的度數和圓的半徑.
2、已知:⊙o的半徑,弦ab、ac的長分別是、.求的度數。
例題4、相交問題
如圖,已知⊙o的直徑ab和弦cd相交於點e,ae=6cm,eb=2cm,∠bed=30°,求cd的長.
例題5、平行問題
在直徑為50cm的⊙o中,弦ab=40cm,弦cd=48cm,且ab∥cd,求:ab與cd之間的距離.
例題6、同心圓問題
如圖,在兩個同心圓中,大圓的弦ab,交小圓於c、d兩點,設大圓和小圓的半徑分別為.求證:.
例題7、平行與相似
已知:如圖,是⊙的直徑,是弦, ,於.求證: .
六、圓心角定理
圓心角定理:同圓或等圓中,相等的圓心角所對的弦相等,所對的弧相等,弦心距相等。 此定理也稱1推3定理,即上述四個結論中,
只要知道其中的1個相等,則可以推出其它的3個結論,
即:①;②;
③;④ 弧弧
七、圓周角定理
1、圓周角定理:同弧所對的圓周角等於它所對的圓心的角的一半。
即:∵和是弧所對的圓心角和圓周角
∴2、圓周角定理的推論:
推論1:同弧或等弧所對的圓周角相等;同圓或等圓中,相等的圓周角所對的弧是等弧;
即:在⊙中,∵、都是所對的圓周角
推論2:半圓或直徑所對的圓周角是直角;圓周角是直角所對的弧是半圓,所對的弦是直徑。
即:在⊙中,∵是直徑或∵
是直徑推論3:若三角形一邊上的中線等於這邊的一半,那麼這個三角形是直角三角形。
即:在△中,∵
是直角三角形或
注:此推論實是初二年級幾何中矩形的推論:在直角三角形中斜邊上的中線等於斜邊的一半的逆定理。
【例1】用直角鋼尺檢查某一工件是否恰好是半圓環形,根據圖形3-3-19所表示的情形,四個工件哪乙個肯定是半圓環形?
【例2】如圖,已知⊙o中,ab為直徑,ab=10cm,弦ac=6cm,∠acb的平分線交⊙o於d,求bc、ad和bd的長.
【例3】如圖所示,已知ab為⊙o的直徑,ac為弦,od∥bc,交ac於d,bc=4cm.
(1)求證:ac⊥od; (2)求od的長; (3)若2sina-1=0,求⊙o的直徑.
【例4】四邊形abcd中,ab∥dc,bc=b,ab=ac=ad=a,如圖,求bd的長.
【例5】如圖1,ab是半⊙o的直徑,過a、b兩點作半⊙o的弦,當兩弦交點恰好落在半⊙o上c點時,則有ac·ac+bc·bc=ab2.
(1)如圖2,若兩弦交於點p在半⊙o內,則ap·ac+bp·bd=ab2是否成立?請說明理由.
(2)如圖3,若兩弦ac、bd的延長線交於p點,則ab2參照(1)填寫相應結論,並證明你填寫結論的正確性.
八、圓內接四邊形
圓的內接四邊形定理:圓的內接四邊形的對角互補,外角等於它的內對角。
即:在⊙中,
四邊形是內接四邊形
例1、如圖7-107,⊙o中,兩弦ab∥cd,m是ab的中點,過m點作弦de.求證:e,m,o,c四點共圓.
九、切線的性質與判定定理
(1)切線的判定定理:過半徑外端且垂直於半徑的直線是切線;
兩個條件:過半徑外端且垂直半徑,二者缺一不可
即:∵且過半徑外端
是⊙的切線
(2)性質定理:切線垂直於過切點的半徑(如上圖)
推論1:過圓心垂直於切線的直線必過切點。
推論2:過切點垂直於切線的直線必過圓心。
以上三個定理及推論也稱二推一定理:
即:①過圓心;②過切點;③垂直切線,三個條件中知道其中兩個條件就能推出最後乙個。
十、切線長定理
切線長定理:
從圓外一點引圓的兩條切線,它們的切線長相等,這點和圓心的連線平分兩條切線的夾角。
即:∵、是的兩條切線
∴平分利用切線性質計算線段的長度
例1:如圖,已知:ab是⊙o的直徑,p為延長線上的一點,pc切⊙o於c,cd⊥ab於d,又pc=4,⊙o的半徑為3.求:od的長.
利用切線性質計算角的度數
例2:如圖,已知:ab是⊙o的直徑,cd切⊙o於c,ae⊥cd於e,bc的延長線與ae的延長線交於f,且af=bf.求:∠a的度數.
利用切線性質證明角相等
例3:如圖,已知:ab為⊙o的直徑,過a作弦ac、ad,並延長與過b的切線交於m、n.求證:∠m**=∠mdn.
利用切線性質證線段相等
例4:如圖,已知:ab是⊙o直徑,co⊥ab,cd切⊙o於d,ad交co於e.求證:cd=ce.
利用切線性質證兩直線垂直
例5:如圖,已知:△abc中,ab=ac,以ab為直徑作⊙o,交bc於d,de切⊙o於d,交ac於e.求證:de⊥ac.
十一、圓冪定理
(1)相交弦定理:圓內兩弦相交,交點分得的兩條線段的乘積相等。
即:在⊙中,∵弦、相交於點,
(2)推論:如果弦與直徑垂直相交,那麼弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項。
即:在⊙中,∵直徑,
(3)切割線定理:從圓外一點引圓的切線和割線,切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項。
即:在⊙中,∵是切線,是割線
(4)割線定理:從圓外一點引圓的兩條割線,這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等(如上圖)。
即:在⊙中,∵、是割線
例1.如圖1,正方形abcd的邊長為1,以bc為直徑。在正方形內作半圓o,過a作半圓切線,切點為f,交cd於e,求de:ae的值。
例2.⊙o中的兩條弦ab與cd相交於e,若ae=6cm,be=2cm,cd=7cm,那麼cecm。
圖2例3.如圖3,p是⊙o外一點,pc切⊙o於點c,pab是⊙o的割線,交⊙o於a、b兩點,如果pa:pb=1:
4,pc=12cm,⊙o的半徑為10cm,則圓心o到ab的距離是cm。
圖3例4.如圖4,ab為⊙o的直徑,過b點作⊙o的切線bc,oc交⊙o於點e,ae的延長線交bc於點d,(1)求證:;(2)若ab=bc=2厘公尺,求ce、cd的長。
圖4例5.如圖5,pa、pc切⊙o於a、c,pdb為割線。求證:ad·bc=cd·ab
圖5例6.如圖6,在直角三角形abc中,∠a=90°,以ab邊為直徑作⊙o,交斜邊bc於點d,過d點作⊙o的切線交ac於e。
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