第四章整式的運算
一、整式
單項式和多項式統稱整式。
a)由數與字母的積組成的代數式叫做單項式。單獨乙個數或字母也是單項式。
b)單項式的係數是這個單項式的數字因數，作為單項式的係數，必須連同數字前面的性質符號，如果乙個單項式只是字母的積，並非沒有係數，係數為1或-1。
c)乙個單項式中，所有字母的指數和叫做這個單項式的次數(注意：常數項的單項式次數為0)
a)幾個單項式的和叫做多項式。在多項式中，每個單項式叫做多項式的項。其中，不含字母的項叫做常數項。乙個多項式中，次數最高項的次數，叫做這個多項式的次數.
b)單項式和多項式都有次數，含有字母的單項式有係數，多項式沒有係數。多項式的每一項都是單項式，乙個多項式的項數就是這個多項式作為加數的單項式的個數。多項式中每一項都有它們各自的次數，但是它們的次數不可能都作是為這個多項式的次數，乙個多項式的次數只有乙個，它是所含各項的次數中最高的那一項次數.
a)整式的加減實質上就是去括號後，合併同類項，運算結果是乙個多項式或是單項式.
b)括號前面是「-」號，去括號時，括號內各項要變號，乙個數與多項式相乘時，這個數與括號內各項都要相乘。
二、同底數冪的乘法
(m，n都是整數)是冪的運算中最基本的法則，在應用法則運算時，要注意以下幾點：
a)法則使用的前提條件是：冪的底數相同而且是相乘時，底數a可以是乙個具體的數字式字母，也可以是乙個單項或多項式;
b) 指數是1時，不要誤以為沒有指數;
c)不要將同底數冪的乘法與整式的加法相混淆，對乘法，只要底數相同指數就可以相加;而對於加法，不僅底數相同，還要求指數相同才能相加;
d)當三個或三個以上同底數冪相乘時，法則可推廣為(其中m、n、p均為整數);
e)公式還可以逆用：(m、n均為整數)
a)冪的乘方法則：(m，n都是整數數)是冪的乘法法則為基礎推導出來的，但兩者不能混淆。
b)（m,n都為整數）。
c) 底數有負號時，運算時要注意，底數是a與(-a)時不是同底，但可以利用乘方法則化成同底，如將(-a)3化成-a3
d)底數有時形式不同，但可以化成相同。
e) 要注意區別(ab)n與(a+b)n意義是不同的，不要誤以為(a+b)n=an+bn(a、b均不為零)。
f) 積的乘方法則：積的乘方，等於把積每乙個因式分別乘方，再把所得的冪相乘，即（ab）n=anbn(n為正整數)。
g) 冪的乘方與積乘方法則均可逆向運用。
五、同底數冪的除法
a)同底數冪的除法法則：同底數冪相除，底數不變，指數相減，即(a≠0).
b)在應用時需要注意以下幾點:
1) 法則使用的前提條件是「同底數冪相除」而且0不能做除數，所以法則中a0。
2)任何不等於0的數的0次冪等於1，即a0=1(a≠0) ，如100=1 ，(-2.50=1)，則00無意義。
c)任何不等於0的數的-p次冪(p是正整數)，等於這個數的p的次冪的倒數，即( a≠0，p是正整數)，而0-1，0-3都是無意義的;當a>0時，a-p的值一定是正的，當a<0時，a-p的值可能是正也可能是負的，如， d)運算要注意運算順序。
六、整式的乘法
單項式相乘，它們的係數、相同字母分別相乘，對於只在乙個單項式裡含有的字母，連同它的指數作為積的乙個因式。
單項式乘法法則在運用時要注意以下幾點：
a)積的係數等於各因式係數積，先確定符號，再計算絕對值。這時容易出現的錯誤的是，將係數相乘與指數相加混淆;
b)相同字母相乘，運用同底數冪的乘法法則;
c)只在乙個單項式裡含有的字母，要連同它的指數作為積的乙個因式;
d)單項式乘法法則對於三個以上的單項式相乘同樣適用;
e)單項式乘以單項式，結果仍是乙個單項式。
單項式乘以多項式，是通過乘法對加法的分配律，把它轉化為單項式乘以單項式，即單項式與多項式相乘，就是用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加。
單項式與多項式相乘時要注意以下幾點：
a)單項式與多項式相乘，積是乙個多項式，其項數與多項式的項數相同;
b)運算時要注意積的符號，多項式的每一項都包括它前面的符號;
c) 在混合運算時，要注意運算順序。
多項式與多項式相乘，先用乙個多項式中的每一項乘以另乙個多項式的每一項相乘，再把所得的積相加。
多項式與多項式相乘時要注意以下幾點：
a)多項式與多項式相乘要防止漏項，檢查的方法是：在沒有合併同類項之前，積的項數應等於原兩個多項式項數的積;
b)多項式相乘的結果應注意合併同類項;
c)對含有同乙個字母的一次項係數是1的兩個一次二項式相乘（x+a）（x+b）=x2+（a+b）x+ab，其二次項係數為1，一次項係數等於兩個因式中常數項的和，常數項是兩個因式中常數項的積。對於一次項係數不為1的兩個一次二項式(mx+a)和(nx+b)相乘可以得到。
七.平方差公式
兩數和與這兩數差的積，等於它們的平方差，即。
其結構特徵是：
a)公式左邊是兩個二項式相乘，兩個二項式中第一項相同，第二項互為相反數;
b) 公式右邊是兩項的平方差，即相同項的平方與相反項的平方之差。
八、完全平方公式
兩數和(或差)的平方，等於它們的平方和，加上(或減去)它們的積的2倍，即;
口訣：首平方，尾平方，2倍乘積在**;
a)公式左邊是二項式的完全平方;
b)公式右邊共有三項，是二項式中二項的平方和，再加上或減去這兩項乘積的2倍。
c)在運用完全平方公式時，要注意公式右邊中間項的符號，以及避免出現這樣的錯誤。
九、整式的除法
單項式相除，把係數、同底數冪分別相除，作為商的因式，對於只在被除式裡含有的字母，則連同它的指數作為商的乙個因式;
多項式除以單項式，先把這個多項式的每一項除以單項式，再把所得的商相加，其特點是把多項式除以單項式轉化成單項式除以單項式，所得商的項數與原多項式的項數相同，另外還要特別注意符號。
第五章相交線與平行線
一、目標與要求
1.理解對頂角和鄰補角的概念，能在圖形中辨認;
2.掌握對頂角相等的性質和它的推證過程;
3.通過在圖形中辨認對頂角和鄰補角，培養學生的識圖能力。
二、重點
在較複雜的圖形中準確辨認對頂角和鄰補角;
兩條直線互相垂直的概念、性質和畫法;
同位角、內錯角、同旁內角的概念與識別。
三、難點
在較複雜的圖形中準確辨認對頂角和鄰補角;
對點到直線的距離的概念的理解;
對平行線本質屬性的理解，用幾何語言描述圖形的性質;
能區分平行線的性質和判定，平行線的性質與判定的混合應用。
四、知識框架
五、知識點、概念總結
1.鄰補角：兩條直線相交所構成的四個角中，有公共頂點且有一條公共邊的兩個角是鄰補角。
2.對頂角：乙個角的兩邊分別是另乙個叫的兩邊的反向延長線，像這樣的兩個角互為對頂角。
3.對頂角和鄰補角的關係
4.垂直：兩條直線、兩個平面相交，或一條直線與乙個平面相交，如果交角成直角，叫做互相垂直。
5.垂線：兩條直線相交成直角時，叫做互相垂直，其中一條叫做另一條的垂線。
6.垂足：如果兩直線的夾角為直角，那麼就說這兩條直線互相垂直，它們的交點叫做垂足。
7.垂線性質
(1)在同一平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直。
(2)連線直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短。簡單說成：垂線段最短。
(3)點到直線的距離：直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫做點到直線的距離。
8.同位角、內錯角、同旁內角：
同位角：∠1與∠5像這樣具有相同位置關係的一對角叫做同位角。
內錯角：∠2與∠6像這樣的一對角叫做內錯角。
同旁內角：∠2與∠5像這樣的一對角叫做同旁內角。
9.平行：在平面上兩條直線、空間的兩個平面或空間的一條直線與一平面之間沒有任何公共點時，稱它們平行。
10.平行線：在同一平面內，不相交的兩條直線叫做平行線。
11.命題：判斷一件事情的語句叫命題。
12.真命題：正確的命題，即如果命題的題設成立，那麼結論一定成立。
13.假命題：條件和結果相矛盾的命題是假命題。
14.平移：在平面內，將乙個圖形沿某個方向移動一定的距離，圖形的這種移動叫做平移平移變換，簡稱平移。
15.對應點：平移後得到的新圖形中每一點，都是由原圖形中的某一點移動後得到的，這樣的兩個點叫做對應點。
16.定理與性質
對頂角的性質：對頂角相等。
17.垂線的性質：
性質1：過一點有且只有一條直線與已知直線垂直。
性質2：連線直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短。
18.平行公理：經過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行。
平行公理的推論：如果兩條直線都與第三條直線平行，那麼這兩條直線也互相平行。
19.平行線的性質：
性質1：兩直線平行，同位角相等。
性質2：兩直線平行，內錯角相等。
性質3：兩直線平行，同旁內角互補。
20.平行線的判定：
判定1：同位角相等，兩直線平行。
判定2：內錯角相等，兩直線平行。
判定3：同旁內角相等，兩直線平行。
21.命題的擴充套件
三種命題
(1)對於兩個命題，如果乙個命題的條件和結論分別是另外乙個命題的結論和條件，那麼這兩個命題叫做互逆命題，其中乙個命題叫做原命題，另外乙個命題叫做原命題的逆命題。
(2)對於兩個命題，如果乙個命題的條件和結論分別是另外乙個命題的條件的否定和結論的否定，那麼這兩個命題叫做互否命題，其中乙個命題叫做原命題，另外乙個命題叫做原命題的否命題。
(3)對於兩個命題，如果乙個命題的條件和結論分別是另外乙個命題的結論的否定和條件的否定，那麼這兩個命題叫做互為逆否命題，其中乙個命題叫做原命題，另外乙個命題叫做原命題的逆否命題。
四種命題的相互關係
(1)四種命題的相互關係：原命題與逆命題互逆，否命題與原命題互否，原命題與逆否命題相互逆否，逆命題與否命題相互逆否，逆命題與逆否命題互否，逆否命題與否命題互逆。
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第五章相交線與平行線 5.1相交線 5.1.1相交線 有乙個公共的頂點，有一條公共的邊，另外一邊互為反向延長線，這樣的兩個角叫做鄰補角。兩條直線相交有4對鄰補角。有公共的頂點，角的兩邊互為反向延長線，這樣的兩個角叫做對頂角。兩條直線相交，有2對對頂角。對頂角相等。5.1.2 兩條直線相交，所成的四個...
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