13.5 複數
一、選擇題
1．複數的共軛複數是( )．
a．－ ib. ic．－id．i
解析 ＝＝i，∴的共軛複數為－i.
答案 c
2．複數＝( )．
a．ib．－i
c．－－id．－＋i
解析因為＝＝＝i，故選擇a.
答案 a
3.在復平面內，設z＝1＋i(i是虛數單位)，則複數＋z2對應的點位於
a．第一象限b．第二象限
c．第三象限d．第四象限
解析由題知，＋z2＝＋(1＋i)2＝1－i＋2i＝1＋i，
所以複數＋z2對應的點為(1,1)，其位於第一象限．
答案 a
4． i是虛數單位，若＝a＋bi(a，b∈r)，則a＋b的值是( )
a．0bc．1d．2
解析 ∵＝＝－i，∴a＝，b＝－，∴a＋b＝－＝1.
答案 c
5．把複數z的共軛複數記作，i為虛數單位．若z＝1＋i，則(1＋z)·＝( )．
a．3－ib．3＋i c．1＋3id．3
解析 (1＋z)·＝(2＋i)(1－i)＝3－i.
答案 a
6.複數( )
abcd．
解析，選c.
答案 c
7．設z是複數，f(z)＝zn(n∈n*)，對於虛數單位i，則f(1＋i)取得最小正整數時，對應n的值是( )．
a．2b．4c．6d．8
解析 f(1＋i)＝(1＋i)n，則當f(1＋i)取得最小正整數時，n為8.
答案 d
二、填空題
8．設複數z滿足i(z＋1)＝－3＋2i，則z的實部是________．
解析由i(z＋1)＝－3＋2i，得z＋1＝＝2＋3i，即z＝1＋3i.
答案 1
9．若複數(1＋ai)2(i為虛數單位，a∈r)是純虛數， 則複數1＋ai的模是________．
解析因為(1＋ai)2＝1－a2＋2ai是純虛數，所以1－a2＝0，a2＝1，複數1＋ai的模為＝.
答案10．如果複數(m2＋i)(1＋mi)(其中i是虛數單位)是實數，則實數m
解析 (m2＋i)(1＋mi)＝(m2－m)＋(1＋m3)i.於是有1＋m3＝0m＝－1.
答案 －1
11.若複數z滿足為虛數單位)，則為______.
解析.故選a.
答案 3+5i
12．定義運算＝ad－bc.若複數x＝，y＝，則y
解析因為x＝＝＝－i.
所以y＝＝＝－2.
答案 －2
三、解答題
13．已知複數z＝m(m－1)＋(m2＋2m－3)i；當實數m取什麼值時，複數z是：
(1)零；(2)純虛數．
解析 (1)由得m＝1，即當m＝1時，z＝0.
(2)由得m＝0.即當m＝0時，z是純虛數．
14．如圖所示，平行四邊形oabc，頂點o，a，c分別表示：0,3＋2i，－2＋4i，試求：
(1)、所表示的複數；(2)對角線所表示的複數；(3)求b點對應的複數．
解析 (1)＝－，∴所表示的複數為－3－2i.
∵＝，∴所表示的複數為－3－2i.
(2)＝－，∴所表示的複數為(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.
(3)＝＋＝＋，∴表示的複數為(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i，
即b點對應的複數為1＋6i.
15．已知複數z滿足條件|z|＝2，求複數1＋i＋z的模的最大值、最小值．
解析由已知，複數z對應的點z在復平面上的軌跡是以原點o為圓心、2為半徑的圓．
設ω＝1＋i＋z＝z－(－1－i)，則|ω|表示動點z到點c(－1，－)的距離，∵||＝2，根據圓的幾何性質知，
動點z到點c(－1，－)的距離最大值為2＋r＝2＋2＝4，最小值為2－r＝0，
∴複數1＋i＋z的模的最大值為4，最小值為0.
16．已知z是複數，z＋2i、均為實數(i為虛數單位)，且複數(z＋ai)2在復平面上對應的點在第一象限，求實數a的取值範圍．
解析設z＝x＋yi(x、y∈r)， ∴z＋2i＝x＋(y＋2)i，由題意得y＝－2.
＝＝(x－2i)(2＋i)＝(2x＋2)＋(x－4)i.
由題意得x＝4，∴z＝4－2i.
∵(z＋ai)2＝(12＋4a－a2)＋8(a－2)i，
根據條件，可知解得2＜a＜6，
∴實數a的取值範圍是(2,6)．
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