圓的有關計算與證明是中考的必考內容之一，占有較大的比重，通常結合三角形、四邊形等知識綜合考查，以計算題、證明題的形式出現，解答此類問題要熟練掌握圓的基本性質，特別是切線的性質和判定，同時要注意已知條件之間的相互聯絡.
例 (2014·江西)如圖1，ab是⊙o的直徑，點c在ab的延長線上，ab＝4，bc＝2，p是⊙o上半部分的乙個動點，連線op，cp.
(1)求△opc的最大面積；
(2)求∠ocp的最大度數；
(3)如圖2，延長po交⊙o於點d，連線db.當cp＝db時，求證：cp是⊙o的切線.
【思路點撥】(1)當op⊥oc時△opc的面積最大，利用已知條件即可求出△opc的最大面積；
(2)當pc與⊙o相切時∠ocp的度數最大，利用三角函式可求出∠ocp的最大度數；
(3)連線ap，bp，由圓的有關知識可得△opc≌△pbd，從而得出∠opc＝∠pbd，繼而可證得結論
【解答】(1)∵△opc的邊長oc的是定值，
∴當op⊥oc時，oc邊上的高為最大值，此時△opc的面積最大.
∵ab＝4，bc＝2，
∴op＝ob＝2，oc＝ob+bc＝4.
∴s△opc＝oc·op＝×4×2＝4,
即△opc的最大面積為4.
(2)當pc與⊙o相切，即op⊥pc時，∠ocp的度數最大.
在rt△opc中，∠opc＝90°，oc＝4，op＝2，
∴sin∠ocp＝＝，∴∠ocp＝30°.
(3)證明：如圖2，連線ap，bp.
∵∠aop＝∠dob，∴ap＝db.
∵cp＝db，∴ap＝pc，∴∠a＝∠c.
∵∠a＝∠d，∴∠c＝∠d.
∵oc＝pd＝4，pc＝bd，∴△opc≌△pbd，
∴∠opc＝∠pbd.
∵pd是⊙o的直徑，∴∠pbd＝90°，
∴∠opc＝90°，∴op⊥pc.
又∵op是⊙o的半徑，∴cp是⊙o的切線.
方法歸納：與圓有關的計算和證明通常都與切線有關，切線的性質和判定的運用是解決這類題目的關鍵.
1.(2014·黃石)如圖，a、b是圓o上的兩點，∠aob=120°，c是ab弧的中點.
(1)求證：ab平分∠oac；
(2)延長oa至p使得oa=ap，連線pc，若圓o的半徑r=1，求pc的長.
2.(2014·昆明)如圖，在△abc中，∠abc=90°，d是邊ac上的一點，連線bd，使∠a=2∠1，e是bc上的一點，以be為直徑的⊙o經過點d.
(1)求證：ac是⊙o的切線；
(2)若∠a=60°，⊙o的半徑為2，求陰影部分的面積.(結果保留根號和π)
3.(2014·東營)如圖，ab是⊙o的直徑，od垂直於弦ac於點e，且交⊙o於點d，f是ba延長線上一點，若∠cdb=∠bfd.
(1)求證：fd是⊙o的一條切線；
(2)若ab=10，ac=8，求df的長.
4.(2013·麗水)如圖，在△abc中，ab=ac，∠bac=54°，以ab為直徑的⊙o分別交ac、bc於點d、e，過點b作⊙o的切線，交ac的延長線於點f.
(1)求證：be=ce；
(2)求∠cbf的度數；
(3)若ab=6，求的長.
5.(2014·臨沂)如圖，已知等腰三角形abc的底角為30°，以bc為直徑的⊙o與底邊ab交於點d，過d作de⊥ac，垂足為e.
(1)證明：de為⊙o的切線；
(2)連線oe，若bc=4，求△oec的面積.
6.(2013·瀘州)如圖，d為⊙o上一點，點c在直徑ba的延長線上，且∠cda=∠cbd.
（1）求證：cd2=ca·cb；
（2）求證：cd是⊙o的切線；
（3）過點b作⊙o的切線交cd的延長線於點e，若bc=12，tan∠cda=.求be的長.
參***
1.(1)證明：連線oc.
∵∠aob=120°，c是ab弧的中點，
∴∠aoc=∠boc=60°.
∵oa=oc，∴△aco是等邊三角形.
∴oa=ac.
同理ob=bc.
∴oa=ac=bc=ob.
∴四邊形aobc是菱形.
∴ab平分∠oac.
(2)∵c為弧ab中點，∠aob=120°，
∴∠aoc=60°.
∵oa=oc，∴△oac是等邊三角形.
∵oa=ac，∴ap=ac.∴∠apc=30°.
∴△opc是直角三角形.
∴pc=oc=.
2.(1)證明：∵od=ob，∴∠1=∠odb，
∴∠doc=∠1+∠odb=2∠1.
又∵∠a=2∠1，∴∠doc=∠a.
∵∠a+∠c=90°，∴∠doc+∠c=90°，
∴od⊥dc.
∴ac是⊙o的切線.
(2)∵∠a=60°，∴∠c=30°，∠doc=60°.
在rt△doc中，od=2，∴cd=od=2.
∴陰影部分的面積=s△cod-s扇形doe=×2×2-=2-.
3.(1)證明：∵∠cdb=∠cab，∠cdb=∠bfd，
∴∠cab=∠bfd，∴fd∥ac.
∵∠aeo=90°，∴∠fdo=90°，
∴fd是⊙o的一條切線.
(2)∵ab=10，ac=8，do⊥ac，
∴ae=ec=4，ao=5，∴eo=3.
∵ae∥fd，∴△aeo∽△fdo.
∴=.∴=，解得fd=.
4.(1)證明：連線ae，
∵ab是⊙o的直徑，
∴∠aeb=90°，即ae⊥bc.
又∵ab=ac，∴be=ce.
(2)∵∠bac=54°，ab=ac，∴∠abc=63°.
又∵bf是⊙o的切線，∴∠abf=90°，
∴∠cbf=∠abf-∠abc=27°.
(3)連線od.
∵∠bac=54°，∴∠bod=108°，∴∠aod=72°.
又∵ab=6，∴oa=3.
∴==.
5.(1)證明：連線od，cd.
∵bc為⊙o直徑，∴∠bdc=90°，即cd⊥ab.
∵△abc是等腰三角形，∴ad=bd.
∵ob=oc，∴od是△abc的中位線.∴od∥ac.
∵de⊥ac，∴od⊥de.
∵d點在⊙o上，∴de為⊙o的切線.
(2)∵∠a=∠b=30°，bc=4，
∴cd=bc=2，bd=bc·cos30°=2.
∴ad=bd=2，ab=2bd=4，
∴s△abc=ab·cd=×4×2=4.
∵de⊥ac，∴de=ad=×2=，
ae=ad·cos30°=3.
∴s△ode=od·de=×2×=，
s△ade=ae·de=××3=.
∵s△bod=s△bcd=×s△abc=14×4=，
∴s△oec=s△abc-s△bod-s△ode-s△ade=4---=.
6.(1)證明：∵∠cda=∠cbd，∠c=∠c，
∴△cad∽△cdb,∴=.
∴cd2=ca·cb.
(2)證明：連線od，
∵ab是⊙o的直徑，
∴∠adb=90°.
∵ob=od，∴∠obd=∠odb.
∵∠obd=∠cda，∴∠cda=∠odb.
∴∠odc=∠adb=90°,∴cd是⊙o的切線.
(3)∵tan∠cda=，∴tan∠cbd=.
在rt△abd中，tan∠cbd==，
由(1)得△cad∽△cdb，∴==.
∴cd=8.設be=x，則de=x，
由勾股定理得x2+122=(x+8)2.解得x=5，
即be=5.
如何抓住中考前10天覆習數學
如何抓好中考前十天的數學複習 距離中考10天 學生進入最後衝刺階段，如何把握這段時間，抓好中考前的數學複習，使自己有所收穫和提高呢？第一 回歸基礎爭取得分點 學生在中考前十天覆習中，應該從專題訓練 模擬訓練階段回歸到基礎知識的理解，強化基礎知識的掌握和運用。中考試題中有容易題 中等難度題與難題，但以...
2019考研政治大綱解析及考前100天覆習指導
在百萬考生的期盼中，2016年考試大綱終於出爐了。尤其是考研政治新大綱的公布，是眾多考生最為關注的。凱程教育政治教研室很榮幸能夠在這裡和大家進行分享，幫助各位考生了解考研政治大綱的變動。2016年考研政治大綱的變動，可以用乙個詞概括，即 意料之中 說意料之中，是因為考研政治是一門與時俱進的學科，必然...
2019在職碩士聯考英語考前100天覆習規劃指導
清華 獨家提供 2011 06 27 關鍵詞 2011在職碩士7月1日至14 名歷年真題集錦同等學力真題解析字型 大中小 編輯推薦2011在職攻碩7月1日起報名禁止跨省調劑歷年報考人數分析 報考 2011年在職會計碩士招生院校及限額 25所 2011年在職體育碩士招生院校及限額 21所 報考 201...