二次函式知識點
一、二次函式概念:
1.二次函式的概念:一般地,形如(是常數,)的函式,叫做二次函式。 這裡需要強調:和一元二次方程類似,二次項係數,而可以為零.二次函式的定義域是全體實數.
2. 二次函式的結構特徵:
⑴ 等號左邊是函式,右邊是關於自變數的二次式,的最高次數是2.
⑵是常數,是二次項係數,是一次項係數,是常數項.
二、二次函式的基本形式
1. 二次函式基本形式:的性質:
a 的絕對值越大,拋物線的開口越小。
2.的性質:
上加下減。
3.的性質:
左加右減。
4.的性質:
三、二次函式圖象的平移
1. 平移步驟:
方法一:⑴ 將拋物線解析式轉化成頂點式,確定其頂點座標;
⑵ 保持拋物線的形狀不變,將其頂點平移到處,具體平移方法如下:
2. 平移規律
在原有函式的基礎上「值正右移,負左移;值正上移,負下移」.
概括成八個字「左加右減,上加下減」.
方法二:
⑴沿軸平移:向上(下)平移個單位,變成
(或)⑵沿軸平移:向左(右)平移個單位,變成(或)
四、二次函式與的比較
從解析式上看,與是兩種不同的表達形式,後者通過配方可以得到前者,即,其中.
五、二次函式圖象的畫法
五點繪圖法:利用配方法將二次函式化為頂點式,確定其開口方向、對稱軸及頂點座標,然後在對稱軸兩側,左右對稱地描點畫圖.一般我們選取的五點為:
頂點、與軸的交點、以及關於對稱軸對稱的點、與軸的交點,(若與軸沒有交點,則取兩組關於對稱軸對稱的點).
畫草圖時應抓住以下幾點:開口方向,對稱軸,頂點,與軸的交點,與軸的交點.
六、二次函式的性質
1. 當時,拋物線開口向上,對稱軸為,頂點座標為.
當時,隨的增大而減小;當時,隨的增大而增大;當時,有最小值.
2. 當時,拋物線開口向下,對稱軸為,頂點座標為.當時,隨的增大而增大;當時,隨的增大而減小;當時,有最大值.
七、二次函式解析式的表示方法
1. 一般式:(,,為常數,);
2. 頂點式:(,,為常數,);
3. 兩根式:(,,是拋物線與軸兩交點的橫座標).
注意:任何二次函式的解析式都可以化成一般式或頂點式,但並非所有的二次函式都可以寫成交點式,只有拋物線與軸有交點,即時,拋物線的解析式才可以用交點式表示.二次函式解析式的這三種形式可以互化.
八、二次函式的圖象與各項係數之間的關係
1. 二次項係數
二次函式中,作為二次項係數,顯然.
⑴ 當時,拋物線開口向上,的值越大,開口越小,反之的值越小,開口越大;
⑵ 當時,拋物線開口向下,的值越小,開口越小,反之的值越大,開口越大.
總結起來,決定了拋物線開口的大小和方向,的正負決定開口方向,的大小決定開口的大小.
2. 一次項係數
在二次項係數確定的前提下,決定了拋物線的對稱軸.
⑴ 在的前提下,
當時,,即拋物線的對稱軸在軸左側;
當時,,即拋物線的對稱軸就是軸;
當時,,即拋物線對稱軸在軸的右側.
⑵ 在的前提下,結論剛好與上述相反,即
當時,,即拋物線的對稱軸在軸右側;
當時,,即拋物線的對稱軸就是軸;
當時,,即拋物線對稱軸在軸的左側.
總結起來,在確定的前提下,決定了拋物線對稱軸的位置.
的符號的判定:對稱軸在軸左邊則,在軸的右側則,概括的說就是「左同右異」
總結: 3. 常數項
⑴ 當時,拋物線與軸的交點在軸上方,即拋物線與軸交點的縱座標為正;
⑵ 當時,拋物線與軸的交點為座標原點,即拋物線與軸交點的縱座標為;
⑶ 當時,拋物線與軸的交點在軸下方,即拋物線與軸交點的縱座標為負.
總結起來,決定了拋物線與軸交點的位置.
總之,只要都確定,那麼這條拋物線就是唯一確定的.
二次函式解析式的確定:
根據已知條件確定二次函式解析式,通常利用待定係數法.用待定係數法求二次函式的解析式必須根據題目的特點,選擇適當的形式,才能使解題簡便.一般來說,有如下幾種情況:
1. 已知拋物線上三點的座標,一般選用一般式;
2. 已知拋物線頂點或對稱軸或最大(小)值,一般選用頂點式;
3. 已知拋物線與軸的兩個交點的橫座標,一般選用兩根式;
4. 已知拋物線上縱座標相同的兩點,常選用頂點式.
九、二次函式圖象的對稱
二次函式圖象的對稱一般有五種情況,可以用一般式或頂點式表達
1. 關於軸對稱
關於軸對稱後,得到的解析式是;
關於軸對稱後,得到的解析式是;
2. 關於軸對稱
關於軸對稱後,得到的解析式是;
關於軸對稱後,得到的解析式是;
3. 關於原點對稱
關於原點對稱後,得到的解析式是;
關於原點對稱後,得到的解析式是;
4. 關於頂點對稱(即:拋物線繞頂點旋轉180°)
關於頂點對稱後,得到的解析式是;
關於頂點對稱後,得到的解析式是.
5. 關於點對稱
關於點對稱後,得到的解析式是
根據對稱的性質,顯然無論作何種對稱變換,拋物線的形狀一定不會發生變化,因此永遠不變.求拋物線的對稱拋物線的表示式時,可以依據題意或方便運算的原則,選擇合適的形式,習慣上是先確定原拋物線(或表示式已知的拋物線)的頂點座標及開口方向,再確定其對稱拋物線的頂點座標及開口方向,然後再寫出其對稱拋物線的表示式.
十、二次函式與一元二次方程:
1. 二次函式與一元二次方程的關係(二次函式與軸交點情況):
一元二次方程是二次函式當函式值時的特殊情況.
圖象與軸的交點個數:
① 當時,圖象與軸交於兩點,其中的是一元二次方程的兩根.這兩點間的距離.
② 當時,圖象與軸只有乙個交點;
③ 當時,圖象與軸沒有交點.
當時,圖象落在軸的上方,無論為任何實數,都有;
當時,圖象落在軸的下方,無論為任何實數,都有.
2. 拋物線的圖象與軸一定相交,交點座標為,;
3. 二次函式常用解題方法總結:
⑴ 求二次函式的圖象與軸的交點座標,需轉化為一元二次方程;
⑵ 求二次函式的最大(小)值需要利用配方法將二次函式由一般式轉化為頂點式;
⑶ 根據圖象的位置判斷二次函式中,,的符號,或由二次函式中,,的符號判斷圖象的位置,要數形結合;
⑷ 二次函式的圖象關於對稱軸對稱,可利用這一性質,求和已知一點對稱的點座標,或已知與軸的乙個交點座標,可由對稱性求出另乙個交點座標.
⑸ 與二次函式有關的還有二次三項式,二次三項式本身就是所含字母的二次函式;下面以時為例,揭示二次函式、二次三項式和一元二次方程之間的內在聯絡:
十一、函式的應用
二次函式應用
二次函式影象與性質口訣:二次函式拋物線,圖象對稱是關鍵;開口、頂點和交點,它們確定圖象現;開口、大小由a斷,c與y軸來相見,b的符號較特別,符號與a相關聯;頂點位置先找見,y軸作為參考線,左同右異中為0,牢記心中莫混亂;頂點座標最重要,一般式配方它就現,橫標即為對稱軸,縱標函式最值見。若求對稱軸位置,符號反,一般、頂點、交點式,不同表達能互換。
二次函式拋物線,選定需要三個點,a的正負開口判,c的大小y軸看,△的符號最簡便,x軸上數交點,a、b同號軸左邊拋物線平移a不變,頂點牽著圖象轉,三種形式可變換,配方法作用最關鍵。
一、二次函式的定義
例1、已知函式y=(m-1)xm2 +1+5x-3是二次函式,求m的值。
練習、若函式y=(m2+2m-7)x2+4x+5是關於x的二次函式,則m的取值範圍為
二、五點作圖法的應用
例2. 已知拋物線,
(1)用配方法求它的頂點座標和對稱軸並用五點法作圖
(2)若該拋物線與x軸的兩個交點為a、b,求線段ab的長.
1、(2009泰安)拋物線的頂點座標為
(a)(-2,7) (b)(-2,-25) (c)(2,7) (d)(2,-9)
2、(2023年南充)拋物線的對稱軸是直線( )
a. b. c. d.
3、(2023年遂寧)把二次函式用配方法化成的形式
三、及的符號確定
例3. 已知拋物線如圖,試確定:
(1)及的符號;(2)與的符號。
1、(2023年南寧市)已知二次函式()的圖象如圖所示,有下列四個結論:④,其中正確的個數有( )
a.1個 b.2個 c.3個 d.4個
2、(2023年黃石市)已知二次函式的圖象如圖所示,有以下結論其中所有正確結論的序號是( )
abcd.①②③④⑤
3、(2023年棗莊市)二次函式的圖象如圖所示,則下列關係式中錯誤的是( )
a.a<0
b.c>0
c.>0
d.>0
4、(2023年甘肅慶陽)圖12為二次函式的圖象,給出下列說法:
①;②方程的根為;③;④當時,y隨x值的增大而增大;⑤當時,.
其中,正確的說法有請寫出所有正確說法的序號)
5、(2023年鄂州)已知=次函式y=ax+bx+c的圖象如圖.則下列5個代數式:ac,a+b+c,4a-2b+c,2a+b,2a-b中,其值大於0的個數為( )
a.2b 3c、4d、5
四、二次函式解析式的確定
例4. 求二次函式解析式:
(1)拋物線過(0,2),(1,1),(3,5);
北師大版中考複習二次函式經典總結及典型題
二次函式知識點 一 二次函式概念 1 二次函式的概念 一般地,形如 是常數,的函式,叫做二次函式。這裡需要強調 和一元二次方程類似,二次項係數,而可以為零 二次函式的定義域是全體實數 2.二次函式的結構特徵 等號左邊是函式,右邊是關於自變數的二次式,的最高次數是2 是常數,是二次項係數,是一次項係數...
二次函式 二 初三九年級數學北師大版
二次函式 二 一 二次函式的性質 1.當時,拋物線開口向上,對稱軸為,頂點座標為 當時,隨的增大而減小 當時,隨的增大而增大 當時,有最小值 2.當時,拋物線開口向下,對稱軸為,頂點座標為 當時,隨的增大而增大 當時,隨的增大而減小 當時,有最大值 3 拋物線的圖象與性質 1 a決定拋物線的 當a ...
北師大九下二次函式綜合練習
二次函式練習卷 一 選擇題 1 二次函式y x2 12 k x 12,當x 1時,y隨著x的增大而增大,當x 1時,y隨著x的增大而減小,則k的值應取 a 12 b 11 c 10 d 9 2 下列四個函式中,y的值隨著x值的增大而減小的是 a b c d 3 拋物線y ax2 bx c的圖象如圖,...