5.1相交線
1、鄰補角與對頂角
兩直線相交所成的四個角中存在幾種不同關係的角,它們的概念及性質如下表:
注意點:⑴對頂角是成對出現的,對頂角是具有特殊位置關係的兩個角;
⑵如果∠α與∠β是對頂角,那麼一定有∠α=∠β;反之如果∠α=∠β,那麼∠α與∠β不一定是對頂角
⑶如果∠α與∠β互為鄰補角,則一定有∠α+∠β=180°;反之如果∠α+∠β=180°,則∠α與∠β不一定是鄰補角。
⑶兩直線相交形成的四個角中,每乙個角的鄰補角有兩個,而對頂角只有乙個。
2、垂線
⑴定義,當兩條直線相交所成的四個角中,有乙個角是直角時,就說這兩條直線互相垂直,其中的一條直線叫做另一條直線的垂線,它們的交點叫做垂足。
符號語言記作:
如圖所示:ab⊥cd,垂足為o
⑵垂線性質1:過一點有且只有一條直線與已知直線垂直 (與平行公理相比較記)
⑶垂線性質2:連線直線外一點與直線上各點的所有線段中,垂線段最短。簡稱:垂線段最短。
3、垂線的畫法:
⑴過直線上一點畫已知直線的垂線;⑵過直線外一點畫已知直線的垂線。
注意:①畫一條線段或射線的垂線,就是畫它們所在直線的垂線;②過一點作線段的垂線,垂足可**段上,也可以**段的延長線上。
畫法:⑴一靠:用三角尺一條直角邊靠在已知直線上,⑵二移:移動三角尺使一點落在它的另一邊直角邊上,⑶三畫:沿著這條直角邊畫線,不要畫成給人的印象是線段的線。
4、點到直線的距離
直線外一點到這條直線的垂線段的長度,叫做點到直線的距離
記得時候應該結合圖形進行記憶。
如圖,po⊥ab,同p到直線ab的距離是po的長。po是垂線段。po是點p到直線ab所有線段中最短的一條。
現實生活中開溝引水,牽牛喝水都是「垂線段最短」性質的應用。
5、如何理解「垂線」、「垂線段」、「兩點間距離」、「點到直線的距離」這些相近而又相異的概念
分析它們的聯絡與區別
⑴垂線與垂線段區別:垂線是一條直線,不可度量長度;垂線段是一條線段,可以度量長度。 聯絡:具有垂直於已知直線的共同特徵。(垂直的性質)
⑵兩點間距離與點到直線的距離區別:兩點間的距離是點與點之間,點到直線的距離是點與直線之間。 聯絡:都是線段的長度;點到直線的距離是特殊的兩點(即已知點與垂足)間距離。
⑶線段與距離距離是線段的長度,是乙個量;線段是一種圖形,它們之間不能等同。
5.2平行線
1、平行線的概念:
在同一平面內,不相交的兩條直線叫做平行線,直線與直線互相平行,記作∥。
2、兩條直線的位置關係
在同一平面內,兩條直線的位置關係只有兩種:⑴相交;⑵平行。
因此當我們得知在同一平面內兩直線不相交時,就可以肯定它們平行;反過來也一樣(這裡,我們把重合的兩直線看成一條直線)
判斷同一平面內兩直線的位置關係時,可以根據它們的公共點的個數來確定:
①有且只有乙個公共點,兩直線相交;
②無公共點,則兩直線平行;
③兩個或兩個以上公共點,則兩直線重合(因為兩點確定一條直線)
3、平行公理――平行線的存在性與惟一性
經過直線外一點,有且只有一條直線與這條直線平行
4、平行公理的推論:
如果兩條直線都與第三條直線平行,那麼這兩條直線也互相平行
如左圖所示,∵∥,∥
注意符號語言書寫,前提條件是兩直線都平行於第三條直線,才會結論,這兩條直線都平行。
5、三線八角
兩條直線被第三條直線所截形成八個角,它們構成了同位角、內錯角與同旁內角。
如圖,直線被直線所截
①∠1與∠5在截線的同側,同在被截直線的上方,
叫做同位角(位置相同)
②∠5與∠3在截線的兩旁(交錯),在被截直線之間(內),叫做內錯角(位置在內且交錯)
③∠5與∠4在截線的同側,在被截直線之間(內),叫做同旁內角。
④三線八角也可以成模型中看出。同位角是「a」型;內錯角是「z」型;同旁內角是「u」型。
6、如何判別三線八角
判別同位角、內錯角或同旁內角的關鍵是找到構成這兩個角的「三線」,有時需要將有關的部分「抽出」或把無關的線略去不看,有時又需要把圖形補全。
例如:如圖,判斷下列各對角的位置關係:⑴∠1與∠2;⑵∠1與∠7;⑶∠1與∠bad;⑷∠2與∠6;⑸∠5與∠8。
我們將各對角從圖形中抽出來(或者說略去與有關角無關的線),得到下列各圖。
如圖所示,不難看出∠1與∠2是同旁內角;∠1與∠7是同位角;∠1與∠bad是同旁內角;∠2與∠6是內錯角;∠5與∠8對頂角。
注意:圖中∠2與∠9,它們是同位角嗎?
不是,因為∠2與∠9的各邊分別在四條不同直線上,不是兩直線被第三條直線所截而成。
7、兩直線平行的判定方法
方法一兩條直線被第三條直線所截,如果同位角相等,那麼這兩條直線平行
簡稱:同位角相等,兩直線平行
方法二兩條直線被第三條直線所截,如果內錯角相等,那麼這兩條直線平行
簡稱:內錯角相等,兩直線平行
方法三兩條直線被第三條直線所截,如果同旁內角互補,那麼這兩條直線平行
簡稱:同旁內角互補,兩直線平行
幾何符號語言:
3=∠2
ab∥cd(同位角相等,兩直線平行)
1=∠2
ab∥cd(內錯角相等,兩直線平行)
4+∠2=180°
ab∥cd(同旁內角互補,兩直線平行)
請同學們注意書寫的順序以及前因後果,平行線的判定是由角相等,然後得出平行。平行線的判定是寫角相等,然後寫平行。
注意:⑴幾何中,圖形之間的「位置關係」一般都與某種「數量關係」有著內在的聯絡,常由「位置關係」決定其「數量關係」,反之也可從「數量關係」去確定「位置關係」。上述平行線的判定方法就是根據同位角或內錯角「相等」或同旁內角「互補」這種「數量關係」,判定兩直線「平行」這種「位置關係」。
⑵根據平行線的定義和平行公理的推論,平行線的判定方法還有兩種:①如果兩條直線沒有交點(不相交),那麼兩直線平行。②如果兩條直線都平行於第三條直線,那麼這兩條直線平行。
典型例題:判斷下列說法是否正確,如果不正確,請給予改正:
⑴不相交的兩條直線必定平行線。
⑵在同一平面內不相重合的兩條直線,如果它們不平行,那麼這兩條直線一定相交。
⑶過一點可以且只可以畫一條直線與已知直線平行
解答:⑴錯誤,平行線是「在同一平面內不相交的兩條直線」。「在同一平面內」是一項重要條件,不能遺漏。
⑵正確⑶不正確,正確的說法是「過直線外一點」而不是「過一點」。因為如果這一點不在已知直線上,是作不出這條直線的平行線的。
典型例題:如圖,根據下列條件,可以判定哪兩條直線平行,並說明判定的根據是什麼?
解答:⑴由∠2=∠b可判定ab∥de,根據是同位角相等,兩直線平行;
⑵由∠1=∠d可判定ac∥df,根據是內錯角相等,兩直線平行;
⑶由∠3+∠f=180°可判定ac∥df,根據同旁內角互補,兩直線平行。
5.3平行線的性質
1、平行線的性質:
性質1:兩直線平行,同位角相等;
性質2:兩直線平行,內錯角相等;
性質3:兩直線平行,同旁內角互補。
幾何符號語言:
ab∥cd
1=∠2(兩直線平行,內錯角相等)
ab∥cd
3=∠2(兩直線平行,同位角相等)
ab∥cd
4+∠2=180°(兩直線平行,同旁內角互補)
2、兩條平行線的距離
如圖,直線ab∥cd,ef⊥ab於e,ef⊥cd於f,則稱線段ef的長度為兩平行線ab與cd間的距離。
注意:直線ab∥cd,在直線ab上任取一點g,過點g作cd的垂線段gh,則垂線段gh的長度也就是直線ab與cd間的距離。
3、命題:
⑴命題的概念:
判斷一件事情的語句,叫做命題。
⑵命題的組成
每個命題都是題設、結論兩部分組成。題設是已知事項;結論是由已知事項推出的事項。命題常寫成「如果……,那麼……」的形式。
具有這種形式的命題中,用「如果」開始的部分是題設,用「那麼」開始的部分是結論。
有些命題,沒有寫成「如果……,那麼……」的形式,題設和結論不明顯。對於這樣的命題,要經過分析才能找出題設和結論,也可以將它們改寫成「如果……,那麼……」的形式。
注意:命題的題設(條件)部分,有時也可用「已知……」或者「若……」等形式表述;命題的結論部分,有時也可用「求證……」或「則……」等形式表述。
4、平行線的性質與判定
①平行線的性質與判定是互逆的關係
兩直線平行同位角相等;
兩直線平行內錯角相等;
兩直線平行同旁內角互補。
其中,由角的相等或互補(數量關係)的條件,得到兩條直線平行(位置關係)這是平行線的判定;由平行線(位置關係)得到有關角相等或互補(數量關係)的結論是平行線的性質。
典型例題:已知∠1=∠b,求證:∠2=∠c
證明:∵∠1=∠b(已知)
∴de∥bc(同位角相等,
兩直線平行)
∴∠2=∠c(兩直線平行
同位角相等)
注意,在了de∥bc,不需要再寫一次了,得到了de∥bc,這可以把它當作條件來用了。
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