《圓》章節知識點
一、圓的概念
集合形式的概念： 1、 圓可以看作是到定點的距離等於定長的點的集合；
2、圓的外部：可以看作是到定點的距離大於定長的點的集合；
3、圓的內部：可以看作是到定點的距離小於定長的點的集合
軌跡形式的概念：
1、圓：到定點的距離等於定長的點的軌跡就是以定點為圓心，定長為半徑的圓；
（補充）2、垂直平分線：到線段兩端距離相等的點的軌跡是這條線段的垂直平分線（也叫中垂線）；
3、角的平分線：到角兩邊距離相等的點的軌跡是這個角的平分線；
4、到直線的距離相等的點的軌跡是：平行於這條直線且到這條直線的距離等於定長的兩條直線；
5、到兩條平行線距離相等的點的軌跡是：平行於這兩條平行線且到兩條直線距離都相等的一條直線。
二、點與圓的位置關係
1、點在圓內點在圓內；
2、點在圓上點在圓上；
3、點在圓外點在圓外；
三、直線與圓的位置關係
1、直線與圓相離無交點；
2、直線與圓相切有乙個交點；
3、直線與圓相交有兩個交點；
四、圓與圓的位置關係
外離（圖1） 無交點 ；
外切（圖2）有乙個交點；
相交（圖3）有兩個交點；
內切（圖4）有乙個交點；
內含（圖5） 無交點 ；
五、垂徑定理
垂徑定理：垂直於弦的直徑平分弦且平分弦所對的弧。
推論1：（1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直於弦，並且平分弦所對的兩條弧；
（2）弦的垂直平分線經過圓心，並且平分弦所對的兩條弧；
（3）平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，並且平分弦所對的另一條弧
以上共4個定理，簡稱2推3定理：此定理中共5個結論中，只要知道其中2個即可推出其它3個結論，即：
①是直徑弧弧 ⑤ 弧弧
中任意2個條件推出其他3個結論。
推論2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等。
即：在⊙中，∵∥
弧弧六、圓心角定理
圓心角定理：同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弦相等，所對的弧相等，弦心距相等。 此定理也稱1推3定理，即上述四個結論中，只要知道其中的1個相等，則可以推出其它的3個結論，
即：①；②；
③；④ 弧弧
七、圓周角定理
1、圓周角定理：同弧所對的圓周角等於它所對的圓心的角的一半。
即：∵和是弧所對的圓心角和圓周角
∴2、圓周角定理的推論：
推論1：同圓或等圓中同弧或等弧所對的圓周角相等；，相等的圓周角所對的弧是等弧；
即：在⊙中，∵、都是所對的圓周角
推論2：半圓或直徑所對的圓周角是直角；圓周角是直角所對的弧是半圓，所對的弦是直徑。
即：在⊙中，∵是直徑或∵
是直徑八、圓內接四邊形
圓的內接四邊形定理：圓的內接四邊形的對角互補，外角等於它的內對角。
即：在⊙中，
四邊形是內接四邊形
九、切線的性質與判定定理
（1）切線的判定定理：過半徑外端且垂直於半徑的直線是切線;兩個條件：過半徑外端且垂直半徑，二者缺一不可
即：∵且過半徑外端 ∴是⊙的切線
（2）性質定理：切線垂直於過切點的半徑（如上圖）
推論1：過圓心垂直於切線的直線必過切點。
推論2：過切點垂直於切線的直線必過圓心。
以上三個定理及推論也稱二推一定理：
即：①過圓心；②過切點；③垂直切線，三個條件中知道其中兩個條件就能推出最後乙個。
十、切線長定理
切線長定理： 從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這點和圓心的連線平分兩條切線的夾角。
即：∵、是的兩條切線平分
十一、圓冪定理
（1）相交弦定理：圓內兩弦相交，交點分得的兩條線段的乘積相等。
即：在⊙中，∵弦、相交於點，
（2）推論：如果弦與直徑垂直相交，那麼弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項。
即：在⊙中，∵直徑， ∴
（3）切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項。
即：在⊙中，∵是切線，是割線 ∴
（4）割線定理：從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等（如上圖）。
即：在⊙中，∵、是割線
十二、兩圓公共弦定理
圓公共弦定理：兩圓圓心的連線垂直並且平分這兩個圓的的公共弦。
如圖：垂直平分。
即：∵⊙、⊙相交於、兩點垂直平分
十三、圓的公切線
兩圓公切線長的計算公式：
（1）公切線長：中，；
（2）外公切線長：是半徑之差； 內公切線長：是半徑之和 。
十四、圓內正多邊形的計算
（1）正三角形在⊙中△是正三角形，有關計算在中進行：；
（2）正四邊形
同理，四邊形的有關計算在中進行，：
（3）正六邊形
同理，六邊形的有關計算在中進行，.
十五、扇形、圓柱和圓錐的相關計算公式
1、扇形：（1）弧長公式：；（2）扇形面積公式：
：圓心角 ：扇形多對應的圓的半徑 ：扇形弧長：扇形面積
2、圓柱：
（1）圓柱側面展開圖 =
（2）圓柱的體積：
（2）圓錐側面展開圖（1）=
（2）圓錐的體積：
3.1點與圓的位置關係導學案
一、：思考：平面上的乙個圓把平面上的點分成哪幾部分？ 各部分的點與圓有什麼共同特徵？
歸納小結：設⊙o的半徑為r，點p到圓的距離為d，則有：
點p在圓外圓的外部可以看成是的點的集合。
點p在圓上圓是的點的集合。
點p在圓內圓的內部可以看成是的點的集合；
二、自學檢查
1、已知矩形abcd的邊ab=3厘公尺，ad=4厘公尺
（1）以點a為圓心，3厘公尺為半徑作圓a，則點b、c、d與圓a的位置關係如何？
（2）以點a為圓心，4厘公尺為半徑作圓a，則點b、c、d與圓a的位置關係如何？
（3）以點a為圓心，5厘公尺為半徑作圓a，則點b、c、d與圓a的位置關係如何？
隨堂練習1
1． 已知⊙o的半徑為3，點q在⊙p外，點a在⊙p上，點h在⊙p內， 則pq__ 3，pa____3,ph_____3
2. ⊙o的半徑為10cm，a、b、c三點到圓心的距離分別為8cm、10cm、12cm，則點a、b、c與⊙o的位置關係是：點a在 ；點b在 ；點c 在
3. 正方形abcd的邊長為2cm，以a為圓心2cm為半徑作⊙a，則點b在⊙a ；點c在⊙a ；點d在⊙a 。
隨堂訓練2
1．已知⊙的半徑為8，點到的距離為，則有（ ）
a．點在⊙的內部 b．點在⊙的外部 c．點在⊙上 d．以上都不對
2．下列圖形中四個頂點在同乙個圓上的是（ ）
a．矩形、平行四邊形 b．菱形、正方形 c．正方形、平行四邊形 d．矩形、等腰梯形
3．已知矩形的邊，.
⑴以點為圓心，為半徑作⊙，求點、、與⊙的位置關係；
⑵若以點為圓心作⊙，使得、、三點中有且只有一點在圓外，求⊙的半徑的取值範圍.
3.2圓的對稱性
1：知識準備
（1）圓是軸圖形，任何一條所在直線都是它的對稱軸．
（2）垂徑定理
推論2：**
如圖所示，∠aob的頂點在圓心，像這樣頂點在圓心的角叫做 ．
3. 請同學們按下列要求作圖並回答問題：
如圖所示的⊙o中，分別作相等的圓心角∠aob和∠a′ob′將圓心角∠aob繞圓心o旋轉到∠a′ob′的位置，你能發現哪些等量關係？為什麼？
相等的弦相等的弧
結論：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的相等，所對的弦也
表示式同樣，還可以得到：在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那麼它們所對的相等，所對的弦也 ．
表示式在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那麼它們所對的圓心角 ，所對的也相等．
表示式注：同圓或等圓中，兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，它們所對應的其餘各組量也
二、【課堂活動】
例1．如圖，在⊙o中， =，∠aob=60 °，
求證∠aob=∠boc=∠aoc
活動3：隨堂訓練
1、如圖，ab，cd是⊙o的兩條弦。
（1）如果ab=cd，那麼
（2）如果=，那麼
（3）如果∠aob=∠cod，那麼
（4）如果ab=cd，oe⊥ab於點e，of⊥cd於點f，oe與of相等嗎？為什麼？
初三《圓》章節知識點
一 圓的概念 集合形式的概念 1 圓可以看作是到定點的距離等於定長的點的集合 2 圓的外部 可以看作是到定點的距離大於定長的點的集合 3 圓的內部 可以看作是到定點的距離小於定長的點的集合 軌跡形式的概念 1 圓 到定點的距離等於定長的點的軌跡就是以定點為圓心，定長為半徑的圓 補充 2 垂直平分線 ...
初三《圓》章節知識點複習專題學生版
圓 章節知識點複習 一 圓的概念 集合形式的概念 1 圓可以看作是到定點的距離等於定長的點的集合 2 圓的外部 可以看作是到定點的距離大於定長的點的集合 3 圓的內部 可以看作是到定點的距離小於定長的點的集合 軌跡形式的概念 1 圓 到定點的距離等於定長的點的軌跡就是以定點為圓心，定長為半徑的圓 補...
初三數學圓知識點複習專題
圓 章節知識點複習 一 圓的概念 集合形式的概念 1 圓可以看作是到定點的距離等於定長的點的集合 2 圓的外部 可以看作是到定點的距離大於定長的點的集合 3 圓的內部 可以看作是到定點的距離小於定長的點的集合 軌跡形式的概念 1 圓 到定點的距離等於定長的點的軌跡就是以定點為圓心，定長為半徑的圓 補...