一、二次函式概念:
1.二次函式的概念:一般地,形如叫做二次函式。 這裡需要強調:和一元二次方程類似,二次項係數 0,而可以為零.二次函式的定義域是
2. 二次函式的結構特徵:
⑴ 等號左邊是函式,右邊是關於自變數的次式,的最高次數是 .
⑵是常數,是是是
二、二次函式的基本形式
二次函式的基本形式的性質:
a 的絕對值越大,拋物線的開口越小。
三、二次函式圖象的平移
1. 平移步驟:
方法一:⑴ 將拋物線解析式轉化成頂點式,確定其頂點座標為
⑵ 保持拋物線的形狀不變,將其頂點平移到處,具體平移方法如下:
2. 平移規律
在原有函式的基礎上「值正右移,負左移;值正上移,負下移」.
概括成八個字「左加右減,上加下減」.
方法二:
⑴沿軸平移:向上(下)平移(m>0)個單位,變成或
⑵沿軸平移:向左(右)平移(m>0)個單位,變成或
四、二次函式與的比較
從解析式上看,與是兩種不同的表達形式,後者通過配方可以得到前者,即其中 hk
五、二次函式圖象的畫法
五點繪圖法:利用配方法將二次函式化為頂點式,確定其開口方向、對稱軸及頂點座標,然後在對稱軸兩側,左右對稱地描點畫圖.一般我們選取的五點為:
頂點、與軸的交點、以及關於對稱軸對稱的點、與軸的交點,(若與軸沒有交點,則取兩組關於對稱軸對稱的點).
畫草圖時應抓住以下幾點:開口方向,對稱軸,頂點,與軸的交點,與軸的交點.
六、二次函式的性質
1. 當時,拋物線開口向上,對稱軸為頂點座標為
當時,隨的增大而減小;當時,隨的增大而增大;當時,有最小值
2. 當時,拋物線開口向下,對稱軸為頂點座標為當時,隨的增大而增大;當時,隨的增大而減小;當時,有最大值
七、二次函式解析式的表示方法
1. 一般式為常數,);
2. 頂點式為常數,);
3. 兩根式是拋物線與軸兩交點的橫座標).
注意:任何二次函式的解析式都可以化成一般式或頂點式,但並非所有的二次函式都可以寫成交點式,只有拋物線與軸有交點,即時,拋物線的解析式才可以用交點式表示.二次函式解析式的這三種形式可以互化.
八、二次函式的圖象與各項係數之間的關係
1. 二次項係數
二次函式中,作為二次項係數,顯然.決定了拋物線的正負決定的大小決定
2. 一次項係數
在二次項係數確定的前提下,決定了拋物線的對稱軸.
的符號的判定:對稱軸在軸左邊則,在軸的右側則,概括的說就是「左同右異」
3. 常數項決定了拋物線與軸交點的位置.
總之,只要都確定,那麼這條拋物線就是唯一確定的.
二次函式解析式的確定:
根據已知條件確定二次函式解析式,通常利用待定係數法.用待定係數法求二次函式的解析式必須根據題目的特點,選擇適當的形式,才能使解題簡便.一般來說,有如下幾種情況:
1. 已知拋物線上三點的座標,一般選用一般式;
2. 已知拋物線頂點或對稱軸或最大(小)值,一般選用頂點式;
3. 已知拋物線與軸的兩個交點的橫座標,一般選用兩根式;
4. 已知拋物線上縱座標相同的兩點,常選用頂點式.
九、二次函式與一元二次方程:
1. 二次函式與一元二次方程的關係(二次函式與軸交點情況):
一元二次方程是二次函式當函式值時的特殊情況.
圖象與軸的交點個數:
① 當時,圖象與軸交於兩點,其中的是一元二次方程的兩根.這兩點間的距離. ② 當時,圖象與軸只有乙個交點當時,圖象與軸沒有交點. 當時,圖象落在軸的上方,無論為任何實數,都有當時,圖象落在軸的下方,無論為任何實數,都有
2. 拋物線的圖象與軸一定相交,交點座標為
3. 二次函式常用解題方法總結:
⑴ 求二次函式的圖象與軸的交點座標,需轉化為一元二次方程;
⑵ 求二次函式的最大(小)值需要利用配方法將二次函式由一般式轉化為頂點式;
⑶ 根據圖象的位置判斷二次函式中,,的符號,或由二次函式中,,的符號判斷圖象的位置,要數形結合;
⑷ 二次函式的圖象關於對稱軸對稱,可利用這一性質,求和已知一點對稱的點座標,或已知與軸的乙個交點座標,可由對稱性求出另乙個交點座標.
二次函式考查重點與常見題型
1、已知以為自變數的二次函式的影象經過原點, 則的值是
2、如圖,如果函式的影象在第
一、二、三象限內,那麼函式的影象大致是( )
yyyy
110 x -1 o x0 x0 1 x
abcd
3、已知一條拋物線經過(0,3),(4,6)兩點,對稱軸為,求這條拋物線的解析式。
4、已知拋物線(a≠0)與x軸的兩個交點的橫座標是-1、3,與y軸交點的縱座標是-
(1)確定拋物線的解析式;(2)確定拋物線的開口方向、對稱軸和頂點座標.
5.考查代數與幾何的綜合能力,常見的作為專項壓軸題。
由拋物線的位置確定係數的符號
例1 (1)二次函式的影象如圖1,則點在( )
a.第一象限 b.第二象限 c.第三象限 d.第四象限
(2)已知二次函式y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖2所示,則下列結論:①a、b同號;②當x=1和x=3時,函式值相等;③4a+b=0;④當y=-2時,x的值只能取0.其中正確的個數是( )
a.1個 b.2個 c.3個 d.4個
12)【點評】弄清拋物線的位置與係數a,b,c之間的關係,是解決問題的關鍵.
例2.已知二次函式y=ax2+bx+c的圖象與x軸交於點(-2,o)、(x1,0),且1o;③4a+co,其中正確結論的個數為( )
a 1個 b. 2個 c. 3個 d.4個
會用待定係數法求二次函式解析式
例3.已知:關於x的一元二次方程ax2+bx+c=3的乙個根為x=2,且二次函式y=ax2+bx+c的對稱軸是直線x=2,則拋物線的頂點座標為( )
a(2,-3) b.(2,1) c(2,3) d.(3,2)
例4、已知拋物線y=x2+x-.
(1)求它的頂點座標和對稱軸.
(2)若該拋物線與x軸的兩個交點為a、b,求線段ab的長.
。二次函式對應練習試題
一、選擇題
1. 二次函式的頂點座標是( )
a.(2,-11b.(-2,7) c.(2,11) d. (2,-3)
2. 把拋物線向上平移1個單位,得到的拋物線是( )
a. b. c. d.
3.函式和在同一直角座標系中圖象可能是圖中的( )
4.已知二次函式的圖象如圖所示,則下列結論: ①a,b同號;②當和時,函式值相等;③④當時,的值只能取0.其中正確的個數是( )
a.1個 b.2個 c. 3個d. 4個
5.已知二次函式的頂點座標(-1,-3.2)及部分圖象(如圖),由圖象可知關於的一元二次方程的兩個根分別是( )
b.-2.3 c.-0.3 d.-3.3
6. 已知二次函式的圖象如圖所示,則點在( )
a.第一象限 b.第二象限
c.第三象限 d.第四象限
7.方程的正根的個數為( )
a.0個b.1個c.2個3 個
8.已知拋物線過點a(2,0),b(-1,0),與軸交於點c,且oc=2.則這條拋物線的解析式為
ab.c.或 d.或
二、填空題
9.二次函式的對稱軸是,則_______。
10.已知拋物線y=-2(x+3)+5,如果y隨x的增大而減小,那麼x的取值範圍是_______.
11.乙個函式具有下列性質:①圖象過點(-1,2),②當<0時,函式值隨自變數的增大而增大;滿足上述兩條性質的函式的解析式是只寫乙個即可)。
初三數學二次函式知識點總結
二次函式和二次方程 一 二次函式概念及結構特徵 1 二次函式的概念 一般地,形如 是常數,的函式,叫做二次函式 這裡需要強調 和一元二次方程類似,二次項係數,而可以為零。二次函式的定義域是全體實數。等號左邊是函式,右邊是關於自變數的二次式,的最高次數是2 是常數,是二次項係數,是一次項係數,是常數項...
初三數學二次函式知識點總結
一 二次函式概念 1 二次函式的概念 一般地,形如 是常數,的函式,叫做二次函式。這裡需要強調 和一元二次方程類似,二次項係數,而可以為零 二次函式的定義域是全體實數 2.二次函式的結構特徵 等號左邊是函式,右邊是關於自變數的二次式,的最高次數是2 是常數,是二次項係數,是一次項係數,是常數項 二 ...
初三數學二次函式知識點總結
一 二次函式概念 1 二次函式的概念 一般地,形如 是常數,的函式,叫做二次函式。這裡需要強調 和一元二次方程類似,二次項係數,而可以為零 二次函式的定義域是全體實數 2.二次函式的結構特徵 等號左邊是函式,右邊是關於自變數的二次式,的最高次數是2 是常數,是二次項係數,是一次項係數,是常數項 二 ...