2023年中考數學複習精品資料
**型問題
考點一：條件探索型：
此類問題結論明確，而需**發現使結論成立的條件．
例1 （2013襄陽）如圖1，點a是線段bc上一點，△abd和△ace都是等邊三角形．
（1）鏈結be，cd，求證：be=cd；
（2）如圖2，將△abd繞點a順時針旋轉得到△ab′d′．
①當旋轉角為60
度時，邊ad′落在ae上；
②在①的條件下，延長dd』交ce於點p，連線bd′，cd′．當線段ab、ac滿足什麼數量關係時，△bdd′與△cpd′全等？並給予證明．
思路分析：（1）根據等邊三角形的性質可得ab=ad，ae=ac，∠bad=∠cae=60°，然後求出∠bae=∠dac，再利用「邊角邊」證明△bae和△dac全等，根據全等三角形對應邊相等即可得證；
（2）①求出∠dae，即可得到旋轉角度數；
②當ac=2ab時，△bdd′與△cpd′全等．根據旋轉的性質可得ab=bd=dd′=ad′，然後得到四邊形abdd′是菱形，根據菱形的對角線平分一組對角可得∠abd′=∠dbd′=30°，菱形的對邊平行可得dp∥bc，根據等邊三角形的性質求出ac=ae，∠ace=60°，然後根據等腰三角形三線合一的性質求出∠pcd′=∠acd′=30°，從而得到∠abd′=∠dbd′=∠bd′d=∠acd′=∠pd′c=30°，然後利用「角邊角」證明△bdd′與△cpd′全等．
解答：（1）證明：∵△abd和△ace都是等邊三角形．
∴ab=ad，ae=ac，∠bad=∠cae=60°，
∴∠bad+∠dae=∠cae+∠dae，
即∠bae=∠dac，
在△bae和△dac中，
，∴△bae≌△dac（sas），
∴be=cd；
（2）解：①∵∠bad=∠cae=60°，
∴∠dae=180°－60°×2=60°，
∵邊ad′落在ae上，
∴旋轉角=∠dae=60°；
②當ac=2ab時，△bdd′與△cpd′全等．
理由如下：由旋轉可知，ab′與ad重合，
∴ab=bd=dd′=ad′，
∴四邊形abdd′是菱形，
∴∠abd′=∠dbd′=∠abd=×60°=30°，dp∥bc，
∵△ace是等邊三角形，
∴ac=ae，∠ace=60°，
∵ac=2ab，
∴ae=2ad′，
∴∠pcd′=∠acd′=∠ace=×60°=30°，
又∵dp∥bc，
∴∠abd′=∠dbd′=∠bd′d=∠acd′=∠pcd′=∠pd′c=30°，
在△bdd′與△cpd′中，
，∴△bdd′≌△cpd′（asa）．
故答案為：60．
點評：本題考查了全等三角形的判定與性質，等邊三角形的性質，以及旋轉的性質，綜合性較強，但難度不大，熟練掌握等邊三角形的性質與全等三角形的判定是姐提到過．
對應訓練
1．（2013新疆）如圖，abcd中，點o是ac與bd的交點，過點o的直線與ba、dc的延長線分別交於點e、f．
（1）求證：△aoe≌△cof；
（2）請連線ec、af，則ef與ac滿足什麼條件時，四邊形aecf是矩形，並說明理由．
1．解：（1）證明：∵四邊形abcd是平行四邊形，
∴ao=oc，ab∥cd．
∴∠e=∠f又∠aoe=∠cof．
∴△aoe≌△cof（asa）；
（2）如圖，連線ec、af，則ef與ac滿足ef=ac時，四邊形aecf是矩形，
理由如下：
由（1）可知△aoe≌△cof，
∴oe=of，
∵ao=co，
∴四邊形aecf是平行四邊形，
∵ef=ac，
∴四邊形aecf是矩形．
考點二：結論**型：
此類問題給定條件但無明確結論或結論不惟一，而需探索發現與之相應的結論．
例2 （2013牡丹江）已知∠acd=90°，mn是過點a的直線，ac=dc，db⊥mn於點b，如圖（1）．易證bd+ab=cb，過程如下：
過點c作ce⊥cb於點c，與mn交於點e
∵∠acb+∠bcd=90°，∠acb+∠ace=90°，∴∠bcd=∠ace．
∵四邊形acdb內角和為360°，∴∠bdc+∠cab=180°．
∵∠eac+∠cab=180°，∴∠eac=∠bdc．
又∵ac=dc，∴△ace≌△dcb，∴ae=db，ce=cb，∴△ecb為等腰直角三角形，∴be=cb．
又∵be=ae+ab，∴be=bd+ab，∴bd+ab=cb．
（1）當mn繞a旋轉到如圖（2）和圖（3）兩個位置時，bd、ab、cb滿足什麼樣關係式，請寫出你的猜想，並對圖（2）給予證明．
（2）mn在繞點a旋轉過程中，當∠bcd=30°，bd=時，則cd2
，cb1
．思路分析：（1）過點c作ce⊥cb於點c，與mn交於點e，證明△ace≌△dcb，則△ecb為等腰直角三角形，據此即可得到be=cb，根據be=ab－ae即可證得；
（2）過點b作bh⊥cd於點h，證明△bdh是等腰直角三角形，求得dh的長，在直角△bch中，利用直角三角形中30°的銳角所對的直角邊等於斜邊的一半，即可求得．
解：（1）如圖（2）：ab－bd=cb．
證明：過點c作ce⊥cb於點c，與mn交於點e，
∵∠acd=90°，
∴∠ace=90°－∠dce，∠bcd=90°－∠ecd，
∴∠bcd=∠ace．
∵db⊥mn，
∴∠cae=90°－∠afc，∠d=90°－∠bfd，
∵∠afc=∠bfd，
∴∠cae=∠d，
又∵ac=dc，
∴△ace≌△dcb，
∴ae=db，ce=cb，
∴△ecb為等腰直角三角形，
∴be=cb．
又∵be=ab－ae，
∴be=ab－bd，
∴ab－bd=cb．
如圖（3）：bd－ab=cb．
證明：過點c作ce⊥cb於點c，與mn交於點e，
∵∠acd=90°，
∴∠ace=90°+∠acb，∠bcd=90°+∠acb，
∴∠bcd=∠ace．
∵db⊥mn，
∴∠cae=90°－∠afb，∠d=90°－∠cfd，
∵∠afb=∠cfd，
∴∠cae=∠d，
又∵ac=dc，
∴△ace≌△dcb，
∴ae=db，ce=cb，
∴△ecb為等腰直角三角形，
∴be=cb．
又∵be=ae－ab，
∴be=bd－ab，
∴bd－ab=cb．
（2）如圖（2），過點b作bh⊥cd於點h，
∵∠abc=45°，db⊥mn，
∴∠cbd=135°，
∵∠bcd=30°，
∴∠cbh=60°，
∴∠dbh=75°，
∴∠d=15°，
∴bh=bdsin45°，
∴△bdh是等腰直角三角形，
∴dh=bh=bd=×=1，
∵∠bcd=30°
∴cd=2dh=2，
∴ch=，
∴cb=ch+bh=+1；
點評：本題考查了全等三角形的性質和判定的應用，注意：全等三角形的判定定理有sas，asa，aas，sss，全等三角形的性質是全等三角形的對應邊相等，對應角相等．
對應訓練
2．（2013河南）如圖1，將兩個完全相同的三角形紙片abc和dec重合放置，其中∠c=90°，∠b=∠e=30°．
（1）操作發現
如圖2，固定△abc，使△dec繞點c旋轉，當點d恰好落在ab邊上時，填空：
①線段de與ac的位置關係是de∥ac
；②設△bdc的面積為s1，△aec的面積為s2，則s1與s2的數量關係是s1=s2
．（2）猜想論證
當△dec繞點c旋轉到如圖3所示的位置時，小明猜想（1）中s1與s2的數量關係仍然成立，並嘗試分別作出了△bdc和△aec中bc、ce邊上的高，請你證明小明的猜想．
（3）拓展**
已知∠abc=60°，點d是角平分線上一點，bd=cd=4，de∥ab交bc於點e（如圖4）．若在射線ba上存在點f，使s△dcf=s△bde，請直接寫出相應的bf的長．
2．解：（1）①∵△dec繞點c旋轉點d恰好落在ab邊上，
∴ac=cd，
∵∠bac=90°－∠b=90°－30°=60°，
∴△acd是等邊三角形，
∴∠acd=60°，
又∵∠cde=∠bac=60°，
∴∠acd=∠cde，
∴de∥ac；
②∵∠b=30°，∠c=90°，
∴cd=ac=ab，
∴bd=ad=ac，
根據等邊三角形的性質，△acd的邊ac、ad上的高相等，
∴△bdc的面積和△aec的面積相等（等底等高的三角形的面積相等），
即s1=s2；
故答案為：de∥ac；s1=s2；
（2）如圖，∵△dec是由△abc繞點c旋轉得到，
∴bc=ce，ac=cd，
∵∠a**+∠b**=90°，∠dcm+∠b**=180°－90°=90°，
∴∠a**=∠dcm，
∵在△a**和△dcm中，
，∴△a**≌△dcm（aas），
∴an=dm，
∴△bdc的面積和△aec的面積相等（等底等高的三角形的面積相等），
即s1=s2；
（3）如圖，過點d作df1∥be，易求四邊形bedf1是菱形，
所以be=df1，且be、df1上的高相等，
此時s△dcf=s△bde，
過點d作df2⊥bd，
∵∠abc=60°，
∴∠f1df2=∠abc=60°，
∴△df1f2是等邊三角形，
∴df1=df2，
∵bd=cd，∠abc=60°，點d是角平分線上一點，
∴∠dbc=∠dcb=×60°=30°，
∴∠cdf1=180°－30°=150°，
∠cdf2=360°－150°－60°=150°，
∴∠cdf1=∠cdf2，
∵在△cdf1和△cdf2中，
，∴△cdf1≌△cdf2（sas），
∴點f2也是所求的點，
∵∠abc=60°，點d是角平分線上一點，de∥ab，
∴∠dbc=∠bde=∠abd=×60°=30°，
又∵bd=4，
∴be=×4÷cos30°=2÷=，
∴bf1=，bf2=bf1+f1f2=+=，
故bf的長為或．
考點三：規律**型：
規律探索問題是指由幾個具體結論通過模擬、猜想、推理等一系列的數學思維過程，來探求一般性結論的問題，解決這類問題的一般思路是通過對所給的具體的結論進行全面、細緻的觀察、分析、比較，從中發現其變化的規律，並猜想出一般性的結論，然後再給出合理的證明或加以運用.
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