專題四：函式與方程思想
【考情分析】
縱觀近幾年的高考試題，函式的主幹知識、知識的綜合應用以及函式與方程思想等數學思想方法的考查，一直是高考的重點內容之一。在高考試卷上，與函式相關的試題所佔比例始終在20%左右，且試題中既有靈活多變的客觀性試題，又有一定能力要求的主觀性試題。函式與方程思想是最重要的一種數學思想，高考中所佔比重比較大，綜合知識多、題型多、應用技巧多。
在高中新課標數學中，還安排了函式與方程這一節內容，可見其重要所在。
在近幾年的高考中，函式思想主要用於求變數的取值範圍、解不等式等，方程觀點的應用可分為逐步提高的四個層次：（1）解方程；（2）含引數方程討論；（3）轉化為對方程的研究，如直線與圓、圓錐曲線的位置關係，函式的性質，集合關係；（4）構造方程求解。
**2023年高考對本講考查趨勢：函式的零點問題、二次函式、二次方程、二次不等式間的關係；特別注意客觀形題目，大題一般難度略大。
【知識交匯】
函式與方程（不等式）的思想貫穿於高中學習的各個內容，求值的問題就要涉及到方程，求取值範圍的問題就離不開不等式，但方程、不等式更離不開函式，函式與方程（不等式）思想的運用使我們解決問題的重要手段。
函式與方程是兩個不同的概念，但它們之間有著密切的聯絡，方程f(x)＝0的解就是函式y＝f(x)的影象與x軸的交點的橫座標，函式y＝f(x)也可以看作二元方程f(x)－y＝0通過方程進行研究。就中學數學而言，函式思想在解題中的應用主要表現在兩個方面：一是借助有關初等函式的性質，解有關求值、解(證)不等式、解方程以及討論引數的取值範圍等問題：
二是在問題的研究中，通過建立函式關係式或構造中間函式，把所研究的問題轉化為討論函式的有關性質，達到化難為易，化繁為簡的目的。許多有關方程的問題可以用函式的方法解決，反之，許多函式問題也可以用方程的方法來解決。函式與方程的思想是中學數學的基本思想，也是歷年高考的重點。
1．函式的思想，是用運動和變化的觀點，分析和研究數學中的數量關係，建立函式關係或建構函式，運用函式的影象和性質去分析問題、轉化問題，從而使問題獲得解決。函式思想是對函式概念的本質認識，用於指導解題就是善於利用函式知識或函式觀點觀察、分析和解決問題；
2．方程的思想，就是分析數學問題中變數間的等量關係，建立方程或方程組，或者構造方程，通過解方程或方程組，或者運用方程的性質去分析、轉化問題，使問題獲得解決。方程的數學是對方程概念的本質認識，用於指導解題就是善於利用方程或方程組的觀點觀察處理問題。方程思想是動中求靜，研究運動中的等量關係；
3．函式的思想與方程的思想的關係
在中學數學中，很多函式的問題需要用方程的知識和方法來支援，很多方程的問題需要用函式的知識和方法去解決．對於函式y＝f(x)，當y＝0時，就轉化為方程f(x)＝0，也可以把函式y＝f(x)看作二元方程y－f(x)＝0，函式與方程可相互轉化。
4．函式方程思想的幾種重要形式
（1）函式和方程是密切相關的，對於函式y＝f(x)，當y＝0時，就轉化為方程f(x)＝0，也可以把函式式y＝f(x)看做二元方程y－f(x)＝0。函式問題（例如求反函式，求函式的值域等）可以轉化為方程問題來求解，方程問題也可以轉化為函式問題來求解，如解方程f(x)＝0，就是求函式y＝f(x)的零點；
（2）函式與不等式也可以相互轉化，對於函式y＝f(x)，當y>0時，就轉化為不等式f(x)>0，借助於函式影象與性質解決有關問題，而研究函式的性質，也離不開解不等式；
（3）數列的通項或前n項和是自變數為正整數的函式，用函式的觀點處理數列問題十分重要；
（4）函式f(x)＝（n∈n*）與二項式定理是密切相關的，利用這個函式用賦值法和比較係數法可以解決很多二項式定理的問題；
（5）解析幾何中的許多問題，例如直線和二次曲線的位置關係問題，需要通過解二元方程組才能解決，涉及到二次方程與二次函式的有關理論；
（6）立體幾何中有關線段、角、面積、體積的計算，經常需要運用布列方程或建立函式表示式的方法加以解決。
【思想方法】
題型1：函式思想在方程中應用
例1．已知（a、b、c∈r），則有（ ）
(a) (b) (c) (d)
解析：法一：依題設有 a·5－b·＋c＝0，
∴是實係數一元二次方程的乙個實根；
∴△＝≥0 ∴ 故選(b)；
法二：去分母，移項，兩邊平方得：
≥10ac＋2·5a·c＝20ac，
∴ 故選(b)
題型2：函式思想在不等式中的應用
例2．若a、b是正數，且滿足ab＝a＋b＋3，求ab的取值範圍。
方法一 (看成函式的值域)∵ab＝a＋b＋3，∴a≠1，∴b＝，而b>0，∴>0，即a>1或a<－3，又a>0，∴a>1，故a－1>0.∴ab＝a·＝＝(a－1)＋＋5≥9.
當且僅當a－1＝，即a＝3時取等號．又a>3時，(a－1)＋＋5是關於a的單調增函式．
∴ab的取值範圍是[9，＋∞)．
方法二 (看成不等式的解集)∵a，b為正數，∴a＋b≥2，又ab＝a＋b＋3，∴ab≥2＋3.
即()2－2－3≥0，解得≥3或≤－1(捨去)，∴ab≥9.∴ab的取值範圍是[9，＋∞)．
方法三若設ab＝t，則a＋b＝t－3，∴a，b可看成方程x2－(t－3)x＋t＝0的兩個正根．
從而有，即，
解得t≥9，即ab≥9.∴ab的取值範圍是[9，＋∞)．
點評：當問題中出現兩數積與這兩數和時，是構建一元二次方程的明顯資訊，構造方程後再利用方程知識可使問題巧妙解決。當問題中出現多個變數時，往往要利用等量關係去減少變數的個數，如最後能把其中乙個變數表示成關於另乙個變數的表示式，那麼就可用研究函式的方法將問題解決。
題型3：函式思想在實際問題中的應用
例3．（2011陝西理14) ．植樹節某班20名同學在一段直線公路一側植樹，每人植一棵，相鄰兩棵樹相距10公尺．開始時需將樹苗集中放置在某一樹坑旁邊，使每位同學從各自樹坑出發前來領取樹苗往返所走的路程總和最小，這個最小值為公尺）．
【分析】把實際問題轉化為數學模型,然後列式轉化為函式的最值問題；
【解】（方法一）設樹苗放在第個樹坑旁邊（如圖），
1 219 20
那麼各個樹坑到第i個樹坑距離的和是：
。所以當或時，的值最小，最小值是1000，所以往返路程的最小值是2000公尺。
（方法二）根據圖形的對稱性，樹苗放在兩端的樹坑旁邊，所得路程總和相同，取得乙個最值；所以從兩端的樹坑向中間移動時，所得路程總和的變化相同，最後移到第10個和第11個樹坑旁時，所得的路程總和達到另乙個最值，所以計算兩個路程和即可。樹苗放在第乙個樹坑旁，則有路程總和是；樹苗放在第10個（或第11個）樹坑旁邊時，路程總和是：
，所以路程總和最小為2000公尺.
點評：構造的二次函式形式在解題過程中起到了關鍵作用，函式是解決具體問題的有效工具。該題通過分析實際模型建立了函式解析式，研究函式的性質，解釋問題。
題型4：函式思想在數列中的應用
例4．設等差數列的前n項和為sn，已知， >0， <0，
（1）求公差d的取值範圍；
（2）指出、、…，中哪乙個最大，並說明理由。
解析：（1）由得：，
∵＝>0，＝<0，
∴（2），
∵d<0，是關於n 的二次函式，對稱軸方程為：x＝。
∵∴當n＝6時，最大。
點評：數列的通項或前n項和是自變數為正整數的函式，用函式的觀點處理數列問題十分重要。
題型5：函式思想在立體幾何中的應用
例5．（1）如圖，ab是圓o的直徑，pa垂直於圓o所在平面，c是圓周上任一點，設∠bac＝θ，pa＝ab=2r，求異面直線pb和ac的距離。
分析：異面直線pb和ac的距離可看成求直線pb上任意一點到ac的距離的最小值，從而設定變數，建立目標函式而求函式最小值。
p m
a h b
d c
解析：在pb上任取一點m，作md⊥ac於d，mh⊥ab於h，
設mh＝x，則mh⊥平面abc，ac⊥hd，
∴md＝x＋[(2r－x)sinθ]＝(sin＋1)x－4rsinθx＋4rsinθ＝(sinθ＋1)[x－]＋
即當x＝時，md取最小值為兩異面直線的距離。
點評：本題巧在將立體幾何中「異面直線的距離」變成「求異面直線上兩點之間距離的最小值」，並設立合適的變數將問題變成代數中的「函式問題」。一般地，對於求最大值、最小值的實際問題，先將文字說明轉化成數學語言後，再建立數學模型和函式關係式，然後利用函式性質、重要不等式和有關知識進行解答。
（2）已知由長方體的乙個頂點出發的三條稜長之和為1，表面積為，求長方體的體積的最值。
解析：設三條稜長分別為x，y，z，則長方體的體積v＝xyz。
由題設有：；
所以，故體積v（x），
下面求x的取值範圍。
因為，所以y、z是方程的兩個實根。
由，因為所以當時，；
當時，。
點評：解決本題的關鍵在於確定目標函式時，根據相關條件的特徵，構造了二次方程，並由此得出定義域使問題得解。
題型6：利用方程思想處理解析幾何問題
例6．（1）直線與圓相切，則a的值為（ ）
abc．1d．
解析：由直線方程得，並代入圓方程，整理得。
又直線與圓相切，應有，解得。
故選d。
點評：即把直線方程代入圓或圓錐曲線的方程，消去y，得關於x的一元二次方程，其判別式為△，則有：（1）曲線c與直線相離；（2）曲線c與直線相切；（3）曲線c與直線相交。
（2）△abc的三邊a，b，c滿足b＝8－c，，試確定△abc的形狀。
解析：因為b＋c＝8，，
所以b，c是方程的兩實根，
即，所以a＝6。從而得b＝c＝4，因此△abc是等腰三角形。
點評：構建一元二次方程的模型解決數學問題，是一種行之有效的手段，其獨特功能在於充分運用構建的一元二次方程及根的判別式和求根公式變更命題，從而使問題獲得圓滿解決。
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