專題1 函式 (理科)
一、考點回顧
1.理解函式的概念，了解對映的概念.
2.了解函式的單調性的概念，掌握判斷一些簡單函式的單調性的方法.
3.了解反函式的概念及互為反函式的函式圖象間的關係，會求一些簡單函式的反函式.
4.理解分數指數冪的概念，掌握有理指數冪的運算性質，掌握指數函式的概念、圖象和性質.
5.理解對數的概念，掌握對數的運算性質，掌握對數函式的概念、圖象和性質.
6.能夠運用函式的性質、指數函式和對數函式的性質解決某些簡單的實際問題.
二、經典例題剖析
考點一：函式的性質與圖象
函式的性質是研究初等函式的基石，也是高考考查的重點內容．在複習中要肯於在對定義的深入理解上下功夫．
複習函式的性質，可以從「數」和「形」兩個方面，從理解函式的單調性和奇偶性的定義入手，在判斷和證明函式的性質的問題中得以鞏固，在求復合函式的單調區間、函式的最值及應用問題的過程中得以深化．具體要求是：
1．正確理解函式單調性和奇偶性的定義，能準確判斷函式的奇偶性，以及函式在某一區間的單調性，能熟練運用定義證明函式的單調性和奇偶性．
2．從數形結合的角度認識函式的單調性和奇偶性，深化對函式性質幾何特徵的理解和運用，歸納總結求函式最大值和最小值的常用方法．
3．培養學生用運動變化的觀點分析問題，提高學生用換元、轉化、數形結合等數學思想方法解決問題的能力．
這部分內容的重點是對函式單調性和奇偶性定義的深入理解．
函式的單調性只能在函式的定義域內來討論．函式y＝f(x)在給定區間上的單調性，反映了函式在區間上函式值的變化趨勢，是函式在區間上的整體性質，但不一定是函式在定義域上的整體性質．函式的單調性是對某個區間而言的，所以要受到區間的限制．
對函式奇偶性定義的理解，不能只停留在f(－x)＝f(x)和f(－x)＝－f(x)這兩個等式上，要明確對定義域內任意乙個x，都有f(－x)＝f(x)，f(－x)＝－f(x)的實質是：函式的定義域關於原點對稱．這是函式具備奇偶性的必要條件．稍加推廣，可得函式f(x)的圖象關於直線x＝a對稱的充要條件是對定義域內的任意x，都有f(x＋a)＝f(a－x)成立．函式的奇偶性是其相應圖象的特殊的對稱性的反映．
這部分的難點是函式的單調性和奇偶性的綜合運用．根據已知條件，調動相關知識，選擇恰當的方法解決問題，是對學生能力的較高要求．
函式的圖象是函式性質的直觀載體，函式的性質可以通過函式的影象直觀地表現出來。
因此，掌握函式的影象是學好函式性質的關鍵，這也正是「數形結合思想」的體現。複習函式影象要注意以下方面。
1．掌握描繪函式圖象的兩種基本方法——描點法和圖象變換法．
2．會利用函式圖象，進一步研究函式的性質，解決方程、不等式中的問題．
3．用數形結合的思想、分類討論的思想和轉化變換的思想分析解決數學問題．
4．掌握知識之間的聯絡，進一步培養觀察、分析、歸納、概括和綜合分析能力．
以解析式表示的函式作圖象的方法有兩種，即列表描點法和圖象變換法，掌握這兩種方法是本節的重點．
運用描點法作圖象應避免描點前的盲目性，也應避免盲目地連點成線．要把表列在關鍵處，要把線連在恰當處．這就要求對所要畫圖象的存在範圍、大致特徵、變化趨勢等作乙個大概的研究．而這個研究要借助於函式性質、方程、不等式等理論和手段，是乙個難點．用圖象變換法作函式圖象要確定以哪一種函式的圖象為基礎進行變換，以及確定怎樣的變換．這也是個難點．
例1設a＞0，求函式(x∈(0，＋∞))的單調區間．
分析：欲求函式的單調區間，則須解不等式(遞增)及(遞減)。
解：．當a＞0，x＞0時
f (x)＞0x2＋(2a－4)x＋a2＞0，
f (x)＜0x2＋(2a－4)x＋a2＜0．
(ⅰ)當a ＞ 1時，對所有x ＞ 0，有
x2＋(2a－4)x＋a2＞0，
即f (x)＞0，此時f(x)在(0，＋∞)內單調遞增．
(ⅱ)當a＝1時，對x≠1，有
x2＋(2a－4)x＋a2＞0，
即f (x)＞0，此時f(x)在(0，1)內單調遞增，在(1，＋∞)內單調遞增．
又知函式f(x)在x＝1處連續，因此，函式f(x)在(0，＋∞)內單調遞增．
(ⅲ)當0＜a＜1時，令f (x)＞0，即
x2＋(2a－4)x＋a2＞0，
解得，或．
因此，函式f(x)在區間內單調遞增，在區間內也單調遞增．
令f (x)＜0，即x2＋(2a－4)x＋a2 ＜ 0，
解得 ：．
因此，函式f(x)在區間內單調遞減．
點評：本小題主要考查導數的概念和計算，應用導數研究函式性質的方法及推理和運算能力．
例2 已知，函式。設，記曲線在點處的切線為。
(ⅰ)求的方程；
(ⅱ)設與軸交點為。證明：
①；② 若，則
(ⅰ)分析：欲求切線的方程，則須求出它的斜率，根據切線斜率的幾何意義便不難發現，問題歸結為求曲線在點的一階導數值。
解：求的導數：，由此得切線的方程：
。(ⅱ)分析：①要求的變化範圍，則須找到使產生變化的原因，顯然，變化的根本原因可歸結為的變化，因此，找到與的等量關係式，就成；② 欲比較與的大小關係，判斷它們的差的符號即可。
證：依題意，切線方程中令y＝0，
.1 由.②
。點評：本小題主要考查利用導數求曲線切線的方法，考查不等式的基本性質，以及分析和解決問題的能力。
例3、 函式y＝1－的圖象是( )
解析一：該題考查對f(x)＝圖象以及對座標平移公式的理解，將函式y＝的圖形變形到y＝，即向右平移乙個單位，再變形到y＝－即將前面圖形沿x軸翻轉，再變形到y＝－＋1，從而得到答案b.
解析二：可利用特殊值法，取x＝0，此時y＝1，取x＝2，此時y＝0.因此選b.
答案：b
點評：1、選擇題要注意利用特值排除法、估值排除法等。
2、處理函式影象的平移變換及伸縮變化等問題的一般方法為：先判斷出函式的標準模型，並用換元法將問題復合、化歸為所確定的標準模型。
考點二：二次函式
二次函式是中學代數的基本內容之一，它既簡單又具有豐富的內涵和外延. 作為最基本的初等函式，可以以它為素材來研究函式的單調性、奇偶性、最值等性質，還可建立起函式、方程、不等式之間的有機聯絡；作為拋物線，可以聯絡其它平面曲線討論相互之間關係. 這些縱橫聯絡，使得圍繞二次函式可以編制出層出不窮、靈活多變的數學問題.
同時，有關二次函式的內容又與近、現代數學發展緊密聯絡，是學生進入高校繼續深造的重要知識基礎. 因此，從這個意義上說，有關二次函式的問題在高考中頻繁出現，也就不足為奇了.
學習二次函式，可以從兩個方面入手：一是解析式，二是影象特徵. 從解析式出發，可以進行純粹的代數推理，這種代數推理、論證的能力反映出乙個人的基本數學素養；從影象特徵出發，可以實現數與形的自然結合，這正是中學數學中一種非常重要的思想方法.
例４ 設二次函式，方程的兩個根滿足. 當時，證明.
分析：在已知方程兩根的情況下，根據函式與方程根的關係，可以寫出函式的表示式，從而得到函式的表示式.
證明：由題意可知.，∴，
∴ 當時，.
又，∴ ，
綜上可知，所給問題獲證.
點評：本題主要利用函式與方程根的關係，寫出二次函式的零點式。
例5 已知二次函式，設方程的兩個實數根為和.
(1)如果，設函式的對稱軸為，求證：；
(2)如果，，求的取值範圍.
分析：條件實際上給出了的兩個實數根所在的區間，因此可以考慮利用上述影象特徵去等價轉化.
解：設，則的二根為和.
(1)由及，可得 ，即，即
兩式相加得，所以，;
(2)由， 可得 .
又，所以同號.
∴，等價於或，
即或解之得或.
點評：在處理一元二次方程根的問題時，考察該方程所對應的二次函式影象特徵的充要條件是解決問題的關鍵。
考點三：抽象函式
抽象函式是指沒有給出具體的函式解析式或影象，只給出一些函式符號及其滿足的條件的函式，如函式的定義域，解析遞推式，特定點的函式值，特定的運算性質等，它是高中函式部分的難點，也是大學高等數學函式部分的乙個銜接點，由於抽象函式沒有具體的解析表示式作為載體，因此理解研究起來比較困難.但由於此類試題即能考查函式的概念和性質，又能考查學生的思維能力，所以備受命題者的青睞，那麼，怎樣求解抽象函式問題呢，我們可以利用特殊模型法，函式性質法，特殊化方法，聯想模擬轉化法，等多種方法從多角度，多層面去分析研究抽象函式問題，
(一)函式性質法
函式的特徵是通過其性質(如奇偶性，單調性週期性，特殊點等)反應出來的，抽象函式也是如此，只有充分挖掘和利用題設條件和隱含的性質，靈活進行等價轉化，抽象函式問題才能轉化，化難為易，常用的解題方法有:1，利用奇偶性整體思考;2，利用單調性等價轉化;3，利用週期性回歸已知4;利用對稱性數形結合;5，借助特殊點，布列方程等.
(二)特殊化方法
1、在求解函式解析式或研究函式性質時，一般用代換的方法，將x換成－x等；
2、在求函式值時，可用特殊值代入；
3、研究抽象函式的具體模型，用具體模型解選擇題，填空題，或由具體模型函式對綜合題，的解答提供思路和方法.
總之，抽象函式問題求解，用常規方法一般很難湊效，但我們如果能通過對題目的資訊分析與研究，採用特殊的方法和手段求解，往往會收到事半功倍之功效，真有些山窮水復疑無路，柳暗花明又一村的快感.
例6、 a是由定義在上且滿足如下條件的函式組成的集合：①對任意，都有； ②存在常數，使得對任意的，都有
(ⅰ)設，證明：
(ⅱ)設，如果存在，使得，那麼這樣的是唯一的;
(ⅲ)設，任取，令證明:給定正整數k，對任意的正整數p，成立不等式
解：對任意，， ，，所以
對任意的，，，
所以0＜，
令＝，，
所以反證法:設存在兩個使得，則
由，得，所以，矛盾，故結論成立。
，所以＋…
點評：本題以高等數學知識為背景，與初等數學知識巧妙結合，考查了函式及其性質、不等式性質，考查了特殊與一般、化歸與轉化等數學思想。
考點四：函式的綜合應用
函式的綜合運用主要是指運用函式的知識、思想和方法綜合解決問題．函式描述了自然界中量的依存關係，是對問題本身的數量本質特徵和制約關係的一種刻畫，用聯絡和變化的觀點提出數學物件，抽象其數學特徵，建立函式關係．因此，運動變化、相互聯絡、相互制約是函式思想的精髓，掌握有關函式知識是運用函式思想的前提，提高用初等數學思想方法研究函式的能力，樹立運用函式思想解決有關數學問題的意識是運用函式思想的關鍵．
例7設函式．
(ⅰ)求的最小值；
(ⅱ)若對恆成立，求實數的取值範圍．
解：(ⅰ)，
當時，取最小值，
即．(ⅱ)令，
由得， (不合題意，捨去)．
當變化時，的變化情況如下表：
在內有最大值．
在內恆成立等價於在內恆成立，
即等價於，
所以的取值範圍為．
點評：本題主要考查函式的單調性、極值以及函式導數的應用，考查運用數學知識分析問題解決問題的能力．
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專題1 函式 理科 一 考點回顧 1.理解函式的概念，了解對映的概念.2.了解函式的單調性的概念，掌握判斷一些簡單函式的單調性的方法.3.了解反函式的概念及互為反函式的函式圖象間的關係，會求一些簡單函式的反函式.4.理解分數指數冪的概念，掌握有理指數冪的運算性質，掌握指數函式的概念 圖象和性質.5....
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