【例題解析】
1.函式的定義域及其求法
函式的定義域及其求法是近幾年高考考查的重點內容之一.這裡主要幫**生靈活掌握求定義域的各種方法，並會應用用函式的定義域解決有關問題.
例1．已知函式的定義域為m，g(x)=的定義域為n，則m∩n=
（a）（b） （c） （d）
命題意圖: 本題主要考查含有分式、無理式和對數的函式的定義域的求法.
解：函式的定義域m= g(x)=的定義域n=∴m∩n=．
故選c例2.函式的定義域是( )
（a）(3,+∞) （b）[3, +∞) （c）(4, +∞) （d）[4, +∞)
命題意圖: 本題主要考查含有無理式和對數的函式的定義域的求法.
解：由，故選d.
2.求函式的反函式
求函式的反函式,有助與培養人的逆向思維能力和深化對函式的定義域、值域,以及函式概念的理解.
例3．函式的反函式是（ ）
（ab）
（cd）
命題意圖: 本題主要考查有關分段函式的反函式的求法.
故選c.
例4．已知函式的反函式是，則
命題意圖: 本題主要考查反函式的求法及待定係數法等知識.
解：與比較得6，
故填3.復合函式問題
復合函式問題,是新課程、新高考的重點.此類題目往往分為兩類:一是結合函式解析式的求法來求復合函式的值.二是應用已知函式定義域求復合函式的定義域.
例5．對於函式①，②，③，判斷如下兩個命題的真假：
命題甲：是偶函式；
命題乙：在上是減函式，在上是增函式；
能使命題甲、乙均為真的所有函式的序號是（ ）
命題意圖: 本題主要考查利用復合函式和函式單調性等知識解決問題的能力.
解：是偶函式，又函式開口向上且在上是減函式，在上是增函式．故能使命題甲、乙均為真的函式僅有．
故選ｃ例6．函式對於任意實數滿足條件，若則
命題意圖: 本題主要考查代數式恒等變形和求復合函式的值的能力.
解：由,得，所以，則.
4.函式的單調性、奇偶性和週期性
函式的單調性、奇偶性和週期性是高考的重點內容之一，考查內容靈活多樣. 這裡主要幫助讀者深刻理解奇偶性、單調性和週期性的定義，掌握判定方法，正確認識單調函式與奇偶函式的圖象.
例7． 已知函式，若為奇函式，則________.
命題意圖: 本題主要考查函式的解析式的求解以及函式的奇偶性應用.
常規解法：由f(x)為奇函式,所以f(x)+f(-x)=0,即
應填.巧妙解法：因為f(x)為奇函式,所以f(0)=0,即應填.
點評：巧妙解法巧在利用了f(x)為奇函式,所以f(0)=0,這一重要結論.
例8．，是定義在上的函式，，則「，均為偶函式」是「為偶函式」的（ ）
a．充要條件b．充分而不必要的條件
c．必要而不充分的條件 d．既不充分也不必要的條件
命題意圖: 本題主要考查兩個函式的加法代數運算後的單調性以及充分條件和必要條件的相關知識.
解先證充分性：因為，均為偶函式，
所以，有
，所以為偶函式．
反過來，若為偶函式， 不一定是偶函式．如， ，故選b.
方法二：可以選取兩個特殊函式進行驗證．
故選b點評：對充要條件的論證，一定既要證充分性，又要證必要性，二著缺一不可．同時，對於抽象函式，有時候可以選取特殊函式進行驗證．
5.函式的圖象與性質
函式的圖象與性質是高考考查的重點內容之一，它是研究和記憶函式性質的直觀工具，利用它的直觀性解題，可以起到化繁為簡、化難為易的作用.因此，讀者要掌握繪製函式圖象的一般方法，掌握函式圖象變化的一般規律，能利用函式的圖象研究函式的性質.此類題目還很好的考查了數形結合的解題思想.
例9．函式y=1+ax(0
（abcd）
命題意圖: 本題主要考查對數函式的圖象，互為反函式圖象間關係及對數的運算性質等知識.
解：∵y=1+ax(0故選a.
6. 函式綜合問題
函式綜合問題是歷年高考的熱點和重點內容之一，一般難度較大，考查內容和形式靈活多樣. 這裡主要幫**生在掌握有關函式知識的基礎上進一步深化綜合運用知識的能力，掌握基本解題技巧和方法，並培養讀者的思維和創新能力.
例10．已知
（ⅰ）若k = 2，求方程的解；
（ⅱ）若關於x的方程在（0，2）上有兩個解x1，x2，求k的取值範圍，並證明
命題意圖：本題主要考查函式的基本性質、方程與函式的關係等基礎知識，以及綜合運用所學知識、分類討論等思想方法分析和解決問題的能力。滿分15分。
（i）解：當
分兩種情況討論：
①當， 方程化為
②當， 方程化為1+2x = 0， 解得，
由①②得，
（ii）解：不妨設，
因為 所以是單調遞函式，
故上至多乙個解，
方法一：
方法二：
因為； ①
因為， ②
由①②消去k，得
7.以集合為背景的不等式
以集合為背景的不等式,以考查不等式的解法和集合的有關概念與運算為目的,解題時應注意將不等式的解法與集合的有關概念和運算相結合,準確解題.
例11. 記關於的不等式的解集為，不等式的解集為．
（）若，求；
（）若，求正數的取值範圍．
命題意圖：本題主要考查集合的有關概念和運算及分式不等式和含絕對值的不等式的解法.
解：（）由，得．
（）．由，得，又，所以，
即的取值範圍是．
8.以線性規劃形式出現的不等式
以線性規劃形式出現的不等式,重在考查數形結合的解題能力.這種題目解題時要注意根據已知不等式組作出圖形,分析求解.
例12.雙曲線的兩條漸近線與直線圍成乙個三角形區域,表示該區域的不等式組是
（a） （b） （c） （d）
命題意圖：本題主要考查利用雙曲線的圖象性質和線性規劃的知識，體現數形結合能力.
解：作圖可知三角形區域在第一象限.即滿足
故選(a)
9..以簡易邏輯為背景的不等式
以簡易邏輯為背景的不等式,解題時往往以不等式為工具,來確定命題,用簡易邏輯知識解決問題.
例13.設，則是的
（a）充分不必要條件b）必要不充分條件
（c）充要條件d）既不充分也不必要條件
命題意圖：本題主要考查利用不等式和簡易邏輯知識解決問題的能力.
解： 由題設可得:
故選(a)
10..與函式知識結合的不等式
與函式知識結合的不等式,解題時往往以不等式為工具, 結合函式知識,通過推理來解決問題.
例14.設
（a）0b）1c）2d）3
命題意圖：本題主要考查利用不等式和函式知識解決問題的能力.
解：故選(c)
12..與平面向量知識結合的不等式
與平面向量知識結合的不等式,解題時往往以不等式為工具, 結合平面向量知識和座標運算,通過和座標運算和推理來解決問題.
例15.設, , ,點是線段上的乙個動點, ,若,則實數的取值範圍是
（ab）
（cd）
命題意圖：本題主要考查利用不等式和平面向量知識解決問題的能力.
解：設p(x,y),則由得,
又點是線段上的乙個動點,
故選(b)
13..與函式的導數知識結合的不等式
.與函式的導數知識結合的不等式,解題時往往以不等式和函式的導數為工具, 結合函式知識,通過推理來解決問題.
例16. 已知函式在與時都取得極值.
(1) 求、的值及函式的單調區間;
(2) 若對,不等式恆成立,求的取值範圍.
命題意圖：本小題考查函式的導數，函式，函式極值的判定，給定區間上二次函式的最值等基礎知識的綜合運用，考查就數形結合的數學思想分析問題，解決問題的能力.
解： 所以函式的遞增區間為與;遞減區間為.
14..與數列知識結合的不等式
與數列知識結合的不等式,解題時往往以不等式和數列知識結合為工具, 結合函式知識,通過計算和推理來解決問題.
例17.設數列的前項和為，點均在函式的影象上.
（ⅰ）求數列的通項公式；
（ⅱ）設，是數列的前項和，求使得對所有都成立的最小正整數.
命題意圖：本小題主要是考查等差數列、數列求和、不等式等基礎知識和基本的運算技能，考查分析問題能力和推理能力.
解：（i）依題意得，即.
當n≥2時，;
當n=1時，×-2×1-1-6×1-5.
所以.（ii）由（i）得，
故=.因此，使得﹤成立的m必須滿足≤，即m≥10,故滿足要求的最小整數m為10.
15..不等式的實際應用
不等式的實際應用題,解題時往往以不等式為工具, 結合函式知識和函式的導數的應用,通過建立不等式模型,利用計算和推理來解決問題.
例18．用長為18m的鋼條圍成乙個長方體形狀的框架，要求長方體的長與寬之比為2：1，問該長方體的長、寬、高各為多少時，其體積最大？最大體積是多少？
命題意圖：本小題主要考查利用函式的最大值和最小值的基礎知識，以及運用不等式知識解決實際問題的能力．
解：設長方體的寬為x（m），則長為，高為
故長方體的體積為
從而令 （捨去）或x=1，因此x=1.
當 ，
故在x=1處取得極大值，並且這個極大值就是的最大值.
從而最大體積此時長方體的長為2m，高為1.5m
答：當長體的長為2m，寬為1m，高為1.5m時，體積最大，最大體積為3m3.
【專題訓練與高考**】
一.選擇題
1.y=的單調遞減區間為（ ）
a.(－∞，－3) b.(－∞，－1) c.［1，+∞］ d.［－3，－1］
2.下列函式中，在區間(0，1)上是增函式的是（ ）
a.y=－ b.y= c.y=3－2x d.y=－x2+2x+1
3.設f(x)是定義在a上的減函式，且f(x)＞0，則下列函式：y=3－2f(x),y=1+,y=f2(x),y=1－，其中增函式的個數為（ ）
a.1b.2c.3d.4
4．關於x的方程9x+(a+4)·3x+4=0有解，則實數a的取值範圍是（ ）
a．（-∞，-8]∪[0，+∞）b、（-∞，-4） [-8，4） d、（-∞，-8]
第三講函式與不等式問題的解題技巧
命題趨向 全國高考數學科 考試大綱 為走向高考的莘莘學子指明了複習備考的方向 考綱是考試法典，是命題的依據，是備考的總綱 科學備考的首要任務，就是要認真學習 研究考綱 對照2007年的考綱和高考函式試題有這樣幾個特點 1 通過選擇題和填空題，全面考查函式的基本概念，性質和圖象 2 在解答題的考查中，...
第三講 不等式一
遠輝教育春季週末班第三講 不等式一 一 知識點 一 不等式的概念 1 不等式 用不等號表示不等關係的式子，叫做不等式。2 不等式的解集 對於乙個含有未知數的不等式，任何乙個適合這個不等式的未知數的值，都叫做這個不等式的解。3 對於乙個含有未知數的不等式，它的所有解的集合叫做這個不等式的解的集合，簡稱...
數學解題技巧函式與不等式問題
選校網 高考頻道專業大全歷年分數線上萬張大學 大學視第三講函式與不等式問題 考點透視 1 了解對映的概念，理解函式的概念 2 了解函式的單調性和奇偶性的概念，掌握判斷一些簡單函式的單調性和奇偶性的方法，並能利用函式的性質簡化函式圖象的繪製過程 3 了解反函式的概念及互為反函式的函式圖象間的關係，會求...