平面幾何中線段相等的證明幾種方法
平面幾何中線段相等的證明看似簡單，但方法不當也會帶來麻煩，特別是在有限的兩個小時考試中。恰當選用正確的方法，可取得事半功倍的效果。
一、利用全等三角形的性質證明線段相等
這種方法很普遍，如果所證兩條線段分別在不同的三角形中，它們所在三角形看似全等，或者，通過簡單處理，它們所在三角形看似全等，可考慮這種方法。
［例1］如圖，c是線段ab上一點，△acd和△bce是等邊三角形。求證：ae=bd。
證明 ∵△acb和△bce都是等邊三角形
∴∠acd=60°，∠bce=60°，∠dce=60°
∴∠ace=∠acd＋∠dce=120°
∠bcd=∠bce＋∠dce=120°
∴ac=cd，ce=cb
∴△ace≌△dcb（sas）
∴ae=db
［例2］如圖，已知△abc中，ab=ac，點e在ab上，點f在ac的延長線上，且be=cf，ef與bc交於d，求證：ed=df。
證明：過點e作eg//af交bc於點g
∴∠egb=∠acb，∠egd=∠fcd
∵ab=ac
∴∠b=∠acb，∠b=∠fgb，be=ge
∵be=cf，∴ge=cf
在△egd和△fcd中，
∠egd=∠fcd，∠edg=∠fdc，ge=cf
∴△egd≌△fcd（aas） ∴ed=fd
二、利用等腰三角形的判定（等角對等邊）證明線段相等
如果兩條所證線段在同一三角形中，證全等一時難以證明，可以考慮用此法。
［例1］如圖，已知在△abc中，ad是bc邊上的中線，e是ad上的一點，且be=ac，延長be交ac於f。
求證：af=ef。
證明：延長ad到g，使dg=ad，鏈結bg。
∵ad=gd，∠adc=∠gdb，cd=bd
∴△adc≌△gdb
∴ac=gb，∠fae=∠bge
∵be=ac
∴be=bg，∠bge=∠beg
∴∠fae=∠bge=∠beg=∠aef
∴ae=ef
［例2］如圖，已知△abc中，ab=ac，df⊥bc於f，df與ac交於e，與ba的延長線交於d，求證：ad=ae。
證明：∵df⊥bc
∴∠dfb=∠efc=90°，∠d=90°－∠b，∠cef=90°－∠c
∵ab=ac，∴∠b=∠c
∴∠d=∠cef
∵∠cef=∠aed
∴∠d=∠aed
∴ad=ae
三、利用平行四邊形的性質證明線段相等
如果所證兩線段在一直線上或看似平行，用上面的方法不易，可以考慮此法。
［例1］如圖，△abc中，∠c=90°，∠a=30°，分別以ab、ac為邊在△abc的外側作正△abe和正△acd，de與ab交於f，
求證：ef=fd。
證明：過d作do⊥ac交ab於點o
∵od垂直平分ac，∠acb=90°
∴bc⊥ac
∴o點必為ab的中點，鏈結eo，則eo⊥ab
∵∠cab=30°，∠bae=∠cad=60°
∴ad⊥ab，ae⊥ac
∴oe//ad，ae//od
∴四邊形odae為平行四邊形
∴ef=fd
［例2］如圖，ad是△abc的中線，過dc上任意一點f作eg//ab，與ac和ad的延長線分別交於g和e，fh//ac，交ab於點h。
求證：hg=be。
證明：延長ad到a」，使da」=ad
又∵bd=cd
∴四邊形baca」是平行四邊形
∴ba=a」c
由題設可知hfga也是平行四邊形
∴hf=ag
∵hf//ac，∴
又∵，hf=ag，ba=a」c
∴bh=eg
∴四邊形begh是平行四邊形
∴hg=be
四、利用中位線證明線段相等
如果已知中含有中點或等邊等，用上面方法較難，可以考慮此法。
［例1］如圖，以△abc的邊ab、ac為斜邊向外作直角三角形abd和ace，且使∠abd=∠ace，m是bc的中點。
證明：dm=em。
證明：延長bd至f，使df=bd。
延長ce到g，使eg=ce，鏈結af、fc，鏈結ag、bg
∵bd=fd，∠adb=∠adf=90°，ad=ad
∴rt△abd≌rt△afd
∴∠bad=∠fad
同理可得：∠cae=∠gae
∵∠abd=∠ace
∴∠fab=∠gac，故∠fac=∠gab
在△abg和△afc中，
ab=af，∠gab=∠caf，ag=ac
∴△abg≌△afc
∴bg=fc
又∵df=db，ec=eg，m是bc的中點
∴dm==em，即dm=em
［例2］如圖，△abc中，∠c為直角，∠a=30°，分別以ab、ac為邊在△abc的外側作正△abe與正△acd，de與ab交於f。
求證：ef=fd。
證明：過d作dg//ab交ea的延長線於g，可得∠dag=30°
∵∠bad=30°＋60°=90°
∴∠adg=90°
∵∠dag=30°=∠cab，ad=ac
∴rt△agd≌rt△abc
∴ag=ab，∴ag=ae
∵dg//ab
∴ef//fd
五、利用「直角三角形斜邊上的中線等於斜邊的一半」證明線段相等。
如果所證兩線段所在的圖形能構成直角三角形，並且可能構成斜邊及斜邊上的中線，用上面方法一時證不出來，可以考慮此法。
［例］如圖，正方形abcd中，e、f分別為ab、bc的中點，ec和df相交於g，連線ag，求證：ag=ad。
證明：作da、ce的延長線交於h
∵abcd是正方形，e是ab的中點
∴ae=be，∠aeh=∠bec
∠bec=∠eah=90°
∴△aeh≌△bec（asa）
∴ah=bc，ad=ah
又∵f是bc的中點
∴rt△dfc≌rt△ceb
∴∠dfc=∠ceb
∴∠gcf＋∠gfc=∠ecb＋∠ceb=90°
∴∠cgf=90°
∴∠dgh=∠cgf=90°
∴△dgh是rt△
∵ad=ah
∴ag==ad
證明線段相等的技巧
要證明兩條線段相等，一般的思路是從結論入手，結合已知分析，主要看要證明的兩條線段分布的位置怎樣，無外乎有三種情況：
（1）要證明的兩條線段分別在兩個三角形中；（2）要證明的兩條線段在同乙個三角形中；（3）要證明的兩條線段在同一條直線上或其它情況。
一、如果要證明的兩條線段分別在兩個三角形中
一般的思路是利用兩條線段所在的兩個三角形全等。
例1 已知：如圖1，b、c、e三點在一條直線上，△abc和△dce均為等邊三角形，鏈結ae、db，求證：ae=db。
分析：從結論入手，要證明線段ae=db，即看ae和db分別是△ace和△bcd的一邊，因此，欲證ae=db，只須證△ace△bcd即可，而在這兩個三角形中，ac=bc，ec=dc，欲證△ace△bcd，只須證∠ace=∠dcb，又因為∠dce=∠ace=，於是，∠dce+∠acd=∠acb+∠acd，即∠ace=∠dcb，故結論可證，證明略。
二、如果要證明的兩條線段在同一三角形中
一般的思路是利用等角對等邊。
例2 已知：如圖2，△abc中ab=ac，d為bc上一點，過d作df⊥bc交ac於e，交ba的延長線於f，求證：ae=af。
分析：證明同一三角形中兩條邊相等，一般不採用全等三角形，而且把兩邊所對的角遷移到相應三角形中找出相等關係。
證明：法一：因為df⊥bc於d，
所以∠f+∠b=，∠c+∠dce=，又因為，所以∠b=∠c，所以∠f=∠dce=∠aef，所以ae=af。
法二：考慮到ab=ac，即△abc是以bc為底的等腰三角形的特殊性（三線合一），過頂點a作ag⊥bc於g，於是∠bag=∠cag，又因為df⊥bc，所以ag∥df，
所以∠aef=∠cag，∠bag=∠f，
所以∠aef=∠f，所以ae=af。
法三：考慮到要證的結論ae=af，即要證△aef是等腰三角形，也由等腰三角形的特殊性質（三線合一）作輔助線，過頂點a作ah⊥df於h，於是，ah∥bc，所以有∠eah=∠c，∠fah=∠b，又有∠b=∠c，於是∠eah=∠fah，即ah是高又是角平分線，故ae=af。
三、如果要證明的線段在同一直線上或其它情況
一般的思路是作輔助線構成全等三角形或利用面積法來證明。
例3 已知：如圖3，△abc中ab=ac，d是ab上一點，e是ac延長線上一點，且bd=ec，鏈結de交bc於f，求證：df=ef。
分析：已知線段相等，要證線段相等，一般的思路是利用等腰三角形或全等三角形來證明，但這兩條線段不在乙個三角形中，且它們所在的兩個三角形顯然不全等。因此，欲證de=df，必須新增適當的輔助線，構成證題所需的等腰三角形或全等三角形，這樣的輔助線有：
（1）過d作dg∥ae交bc於g，則易證∠dgb=∠acb，又因為ab=ac，所以∠b=∠acb，即∠dgb=∠b得db=dg，從而得dg=ec，易證△dgf△ecf。
（2）過e作eh∥ab交bc的延長線於h，易得∠b=∠h，又因為∠1=∠2，∠b=∠1，所以∠2=∠h，從而eh=ec=db，易證△dbf△ehf。
分析：從結論入手，要證線段ag=ch就看線段ag、ch是否在同一三角形中的兩條邊或兩個三角形中的兩條邊，這裡的ag、ch雖然在兩個三角形中，但顯然不全等，作輔助線構成全等三角形也無法作，由於be=bf要證明的線段ag、ch恰是這兩邊上的高，這時就應該想到面積法，作輔助線構成兩個等底等高的三角形或平行四邊形，很顯然結合已知條件可知構成平行四邊形，延長ad到s使ds=ae，鏈結cs。延長acd到r使dr=cf，鏈結ar證明略。
總之：證明線段相等主要看要證明的線段的位置，根據位置情況來定方法，如果要證明的線段在同一三角形中，常用它們所對的角相等；如果要證明的線段分別在兩個三角形中，常用全等三角形；如果要證明的線段既不在同一三角形中也不在兩個三角形中，則應想辦法作輔助線使其構成全等三角形。
證明線段相等的方法
一 常用軌跡中 兩平行線間的距離處處相等。線段中垂線上任一點到線段兩端點的距離相等。角平分線上任一點到角兩邊的距離相等。若一組平行線在一條直線上截得的線段相等，則在其它直線上截得的線段也相等 圖1 二 三角形中 同一三角形中，等角對等邊。等腰三角形兩腰相等 等邊三角形三邊相等 任意三角形的外心到三頂...
證明線段相等的常用方法
1.證明兩線段是全等三角形的對應邊 如果所證兩條線段分別在不同的三角形中，它們所在三角形看似全等，或者，通過簡單處理，它們所在三角形看似全等，可考慮這種方法。例1.如圖，b c d在一直線上，abc與 ecd都是等邊三角形，be ad分別交ac ec於點g f。1 求證 ae bd 2 求證 cg ...
是證明線段相等或相等的重要依據
是證明線段相等或相等的重要依據，也是本節課的學習重點。本節課中，性質的引入體現了新課程的理念，學生合作學習，課堂上，學生充分猜想 驗證，用實驗方法得出各種不同的結論，借助小組合作學習的方式，使學生的思維充分展開，在課堂上通過討論，點評了兩種方法，其餘給學生課後驗證，拓展了課堂的空間。從 摺疊等腰三角...