平面幾何中線段相等的證明看似簡單,但方法不當也會帶來麻煩,特別是在有限的兩個小時考試中。恰當選用正確的方法,可取得事半功倍的效果。
一、利用全等三角形的性質證明線段相等
這種方法很普遍,如果所證兩條線段分別在不同的三角形中,它們所在三角形看似全等,或者,通過簡單處理,它們所在三角形看似全等,可考慮這種方法。
[例1]如圖,c是線段ab上一點,△acd和△bce是等邊三角形。求證:ae=bd。
證明 ∵△acb和△bce都是等邊三角形
∴∠acd=60°,∠bce=60°,∠dce=60°
∴∠ace=∠acd+∠dce=120°
∠bcd=∠bce+∠dce=120°
∴ac=cd,ce=cb
∴△ace≌△dcb(sas) ∴ae=db
[例2]如圖,已知△abc中,ab=ac,點e在ab上,點f在ac的延長線上,且be=cf,ef與bc交於d,求證:ed=df。
證明:過點e作eg//af交bc於點g
∴∠egb=∠acb,∠egd=∠fcd
∵ab=ac
∴∠b=∠acb,∠b=∠fgb,be=ge
∵be=cf,∴ge=cf
在△egd和△fcd中,
∠egd=∠fcd,∠edg=∠fdc,ge=cf ∴△egd≌△fcd(aas) ∴ed=fd
二、利用等腰三角形的判定(等角對等邊)證明線段相等
如果兩條所證線段在同一三角形中,證全等一時難以證明,可以考慮用此法。
[例1]如圖,已知在△abc中,ad是bc邊上的中線,e是ad上的一點,且be=ac,延長be交ac於f。
求證:af=ef。
證明:延長ad到g,使dg=ad,鏈結bg。
∵ad=gd,∠adc=∠gdb,cd=bd
∴△adc≌△gdb
∴ac=gb,∠fae=∠bge
∵be=ac
∴be=bg,∠bge=∠beg
∴∠fae=∠bge=∠beg=∠aef
∴ae=ef
[例2]如圖,已知△abc中,ab=ac,df⊥bc於f,df與ac交於e,與ba的延長線交於d,求證:ad=ae。
證明:∵df⊥bc
∴∠dfb=∠efc=90°,∠d=90°-∠b,∠cef=90°-∠c
∵ab=ac,∴∠b=∠c
∴∠d=∠cef
∵∠cef=∠aed
∴∠d=∠aed
∴ad=ae
三、利用平行四邊形的性質證明線段相等
如果所證兩線段在一直線上或看似平行,用上面的方法不易,可以考慮此法。
[例1]如圖,△abc中,∠c=90°,∠a=30°,分別以ab、ac為邊在△abc的外側作正△abe和正△acd,de與ab交於f,
求證:ef=fd。
證明:過d作do⊥ac交ab於點o
∵od垂直平分ac,∠acb=90°
∴bc⊥ac
∴o點必為ab的中點,鏈結eo,則eo⊥ab
∵∠cab=30°,∠bae=∠cad=60°
∴ad⊥ab,ae⊥ac
∴oe//ad,ae//od
∴四邊形odae為平行四邊形
∴ef=fd
[例2]如圖,ad是△abc的中線,過dc上任意一點f作eg//ab,與ac和ad的延長線分別交於g和e,fh//ac,交ab於點h。
求證:hg=be。
證明:延長ad到a',使da'=ad
又∵bd=cd
∴四邊形baca'是平行四邊形
∴ba=a'c
由題設可知hfga也是平行四邊形
∴hf=ag
∵hf//ac,∴
又∵,hf=ag,ba=a'c
∴bh=eg
∴四邊形begh是平行四邊形
∴hg=be
四、利用中位線證明線段相等
如果已知中含有中點或等邊等,用上面方法較難,可以考慮此法。
[例1]如圖,以△abc的邊ab、ac為斜邊向外作直角三角形abd和ace,且使∠abd=∠ace,m是bc的中點。
證明:dm=em。
證明:延長bd至f,使df=bd。
延長ce到g,使eg=ce,鏈結af、fc,鏈結ag、bg
∵bd=fd,∠adb=∠adf=90°,ad=ad
∴rt△abd≌rt△afd
∴∠bad=∠fad
同理可得:∠cae=∠gae
∵∠abd=∠ace
∴∠fab=∠gac,故∠fac=∠gab
在△abg和△afc中,
ab=af,∠gab=∠caf,ag=ac
∴△abg≌△afc
∴bg=fc
又∵df=db,ec=eg,m是bc的中點
∴dm==em,即dm=em
[例2]如圖,△abc中,∠c為直角,∠a=30°,分別以ab、ac為邊在△abc的外側作正△abe與正△acd,de與ab交於f。
求證:ef=fd。
證明:過d作dg//ab交ea的延長線於g,可得∠dag=30°
∵∠bad=30°+60°=90°
∴∠adg=90°
∵∠dag=30°=∠cab,ad=ac
∴rt△agd≌rt△abc
∴ag=ab,∴ag=ae
∵dg//ab
∴ef//fd
五、利用「直角三角形斜邊上的中線等於斜邊的一半」證明線段相等。
如果所證兩線段所在的圖形能構成直角三角形,並且可能構成斜邊及斜邊上的中線,用上面方法一時證不出來,可以考慮此法。
[例]如圖,正方形abcd中,e、f分別為ab、bc的中點,ec和df相交於g,連線ag,求證:ag=ad。
證明:作da、ce的延長線交於h
∵abcd是正方形,e是ab的中點
∴ae=be,∠aeh=∠bec
∠bec=∠eah=90°
∴△aeh≌△bec(asa)
∴ah=bc,ad=ah
又∵f是bc的中點
∴rt△dfc≌rt△ceb
∴∠dfc=∠ceb
∴∠gcf+∠gfc=∠ecb+∠ceb=90°
∴∠cgf=90°
∴∠dgh=∠cgf=90°
∴△dgh是rt△
∵ad=ah
∴ag==ad
平面幾何中線段相等的證明幾種方法
平面幾何中線段相等的證明看似簡單,但方法不當也會帶來麻煩,特別是在有限的兩個小時考試中。恰當選用正確的方法,可取得事半功倍的效果。筆者在教學中總結了幾種方法,供中學生讀者參考。一 利用全等三角形的性質證明線段相等 這種方法很普遍,如果所證兩條線段分別在不同的三角形中,它們所在三角形看似全等,或者,通...
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初中幾何中線段相等的證明黑莊戶中學
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