推理與證明的認識

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結合我對推理與證明的理解，對專題中的案例進行評析。

幾何教學中直觀實驗與邏輯推理的關係

人們認識幾何圖形既需要形象思維，又需要抽象思維，兩者相輔相成。雖然我們強調幾何教學中邏輯推理的重要性，但是並不排斥直觀實驗。直觀實驗是初級認識手段，邏輯推理是高階認識手段。

「看一看」「量一量」「做一做」等直觀實驗活動在幾何學習的初始階段的重要性尤為突出，即使在推理幾何階段的學習中，直觀實驗也具有重要的輔助作用，人們常借助某些直觀特例來發現一般規律、探尋證明思路、理解抽象內容，有時直觀實驗與邏輯推理是交替進行的。

由於資訊科技的發展與普及，直觀實驗手段在教學中日益增加，有些學校還建立了「數學實驗室」，這些對於幾何學的學習起到積極作用。隨著教學研究的不斷深入，直觀實驗會在啟發誘導、化難為易、檢驗猜想等方面進一步大顯身手。但是，直觀實驗終歸是數學學習的輔助手段，數學畢竟不是實驗科學，它不能象物理、化學、生物等學科那樣最後通過實驗來確定結論。

實驗幾何只是學習幾何學的前奏曲或第一樂章，後面的樂曲建立在理性思維基礎上，邏輯推理是把演奏推向高潮的主要手段。

有些關於圖形的結論，是在實驗幾何階段通過直觀實驗認識的，學生已經接受了這些知識，在後面的學習中不一定要對所有這樣的知識都再通過邏輯推理來證明。例如，對於教學中作為推理的原始根據（公理）的結論，就不可能也無必要進行證明。但是根據教學內容的擴充套件與深化和學生認知發展的需要，應指出對於某些結論我們只是驗證過而它們是可以證明的，也有一些結論確有必要重新通過邏輯推理進行證明，以加深對其認識。

例如，「三角形內角和等於180°」是學生在小學階段已經通過直觀實驗認識過的知識，但當時只是初步了解它，認識方式是度量檢驗了若干個三角形的內角，這種方式只是驗證而不是證明，當時是直接告訴學生這個結論對於任何三角形都成立，並沒有說明理由。在初中的教學中，一方面隨著平行線的性質等新知識的學習，學生已經具備了證明這個結論的知識基礎；另一方面通過討論它的證明，不僅可以體會平行線的性質在分析問題中的應用，而且可以感受證明的必要性，進一步從道理上加深對這個重要定理的一般性的認識。因此，就有必要安排推導這一定理的教學，這也是認識上的螺旋式上公升。

直觀實驗培養發現能力和創新精神，邏輯推理培養邏輯思維能力和嚴謹性，但對培養創新精神作用不大。這種說法正確嗎？直觀實驗確實可以啟發人們發現新事物，但是創新不能僅僅停留在這個層次上，而需要在此基礎上進行科學的思考、**、論證，這就需要邏輯思維，否則無法實現真正的創新。

相傳牛頓見到蘋果從樹上掉在地上，才受到啟發發現了萬有引力定律。如果把蘋果落地看作直觀實驗，這個故事給人的印象似乎是直觀實驗對創新起了主要作用。但是認真考慮它。

你會發現故事背後隱含了邏輯思維對創新所起的關鍵作用。實際上物體下落是無數人司空見慣的現象，由它引發重大發現的關鍵，在於牛頓在觀察現象之後進行了合乎邏輯的思考：為什麼物體會垂直下落？

因為有向下的力作用於它；地球上各處的物體為什麼都有這種性質？因為它們都受到指向地球中心的力；這些力是誰給的？是地球…… 一系列因果關係的思考，導致進一步的實驗檢驗，又引發更深層的思考……終於產生了新的科學成果。

幾何學培養邏輯思維能力的過程，是逐步深入地引導學生合乎邏輯地思考的過程。科學的思考方法和習慣，使人能更好地透過現象抓住本質，提高思維效率。這些有利於創新能力的培養。

邏輯思維能力強的人考慮問題的思路應更清晰、更合理、更簡潔，這不會成為條條框框而妨礙創新，反而有助於創新。反之，缺乏科學的思考方法和習慣，邏輯性不強，會影響創新。當然，在創新的過程中人們是逐步探索的，並不是一步就徹底解決問題的；但是，這樣的探索與邏輯思維並不矛盾。

培養學生**式學習能力，並非讓他們「自由發散」，而是引導他們「科學發散」，即有目的地用科學的思維方法進行**。因此不必擔心邏輯推理會限制學生的創新精神。」

數學的創造性不能沒有邏輯思維，學習數學可以幫助養成理性思考的習慣。數學並不是公式的堆壘，也不是圖形的匯集，數學有邏輯性很強的體系。數學不是只強調計算與規則的課程，而是講道理的課程。

培養與運用邏輯思維，並不是不顧及學生的可接受性一味地片面強調推理的嚴密和體系的完整，而是既要體現邏輯推理的作用，又不片面誇大它。幾何的教學體系有別於幾何的科學體系，在幾何教學中，講道理並完全不等同於純粹的形式證明，幾何教學培養邏輯思維能力同樣要有的放矢，循序漸進，從直觀到抽象，從簡單到複雜……

人民教育出版社出版的初中數學課標實驗教科書對於培養邏輯推理能力，作了認真的考慮和精心的設計，把推理證明作為學生觀察、實驗、**得出結論的自然延續。整套教科書按照「說點兒理」「說理」「簡單推理」「符號表示推理」四個不同層次，分階段逐步加深地提高對邏輯推理能力的要求，循序漸進地發展學生的邏輯推理能力。

在這套教科書的幾何部分，七年級上、下兩冊要先後經歷「說點兒理」「說理」「簡單推理」幾個層次，有意識地逐步強化關於推理的初步訓練，主要做法是在問題的分析中強調求解過程所依據的道理，體現事出有因、言之有據的思維習慣。

在八年級上冊的「全等三角形」這章中，開始正式出現證明（開始階段難度不超過包含兩個三段論的簡化形式），即進入較完整的「符號表示推理」層次。經過調查研究，我們認為從知識內容和學生年齡兩方面看，這時比較適宜學習以正規書寫格式表示推理證明。為作好又實驗幾何到論證幾何的過渡，教材注意逐步直觀實驗培養發現能力和創新精神，邏輯推理培養邏輯思維能力和嚴謹性，但對培養創新精神作用不大。

這種說法正確嗎？

直觀實驗確實可以啟發人們發現新事物，但是創新不能僅僅停留在這個層次上，而需要在此基礎上進行科學的思考、**、論證，這就需要邏輯思維，否則無法實現真正的創新。相傳牛頓見到蘋果從樹上掉在地上，才受到啟發發現了萬有引力定律。如果把蘋果落地看作直觀實驗，這個故事給人的印象似乎是直觀實驗對創新起了主要作用。

但是認真考慮它。你會發現故事背後隱含了邏輯思維對創新所起的關鍵作用。實際上物體下落是無數人司空見慣的現象，由它引發重大發現的關鍵，在於牛頓在觀察現象之後進行了合乎邏輯的思考：

為什麼物體會垂直下落？因為有向下的力作用於它；地球上各處的物體為什麼都有這種性質？因為它們都受到指向地球中心的力；這些力是誰給的？

是地球…… 一系列因果關係的思考，導致進一步的實驗檢驗，又引發更深層的思考……終於產生了新的科學成果。

在八年級上冊的「全等三角形」這章中，開始正式出現證明（開始階段難度不超過包含兩個三段論的簡化形式），即進入較完整的「符號表示推理」層次。經過調查研究，我們認為從知識內容和學生年齡兩方面看，這時比較適宜學習以正規書寫格式表示推理證明。為作好又實驗幾何到論證幾何的過渡，教材注意逐步引導學生認識邏輯推理的必要性（例如，設計「閱讀與思考為什麼要證明」等內容）。

從教材中正式出現推理證明後，後續內容注意「一以貫之」，即在「四邊形」「相似」「旋轉」「圓」等內容中，適當體現推理證明的作用，安排一定數量的例題和習題，使對推理論證的要求保持到必要的高度，把「圖形的認識」「圖形與變換」「圖形與座標」與「圖形與推理」有機結合，從不同角度加深對圖形的認識，避免單純的簡單直觀實驗。

另外，上述教材的編寫者認為：對於推理能力的培養，不應片面地理解為會按三段論的格式書寫證明過程，而應更關注感悟推理的必要性，養成良好的推理習慣和掌握科學的推理方法，即發展理性思維。因此，教科書特別關注在分析問題方面下工夫，把思想方法滲透於具體問題之中。

教材的編寫者還認為：對於推理能力的培養應不拘泥於形式，不侷限於幾何部分，而是結合各部分內容中適宜的內容自然地進行。例如，這套教材中第一次出現反證法的思想，是在用方程**實際問題（屬於代數的內容）的過程時，當時只是隱含與滲透這種思想，但這樣處理為後面正式學習反證法作了前期鋪墊。

總之，中學幾何教學需要直觀實驗，但是不能只有它而沒有邏輯推理，應做好從前者到後者的過渡，體現幾何證明的教育價值。只有這樣，才能發展學生的理性思維，使學生的思維水平得到應有的發展。

引導學生認識邏輯推理的必要性（例如，設計「閱讀與思考為什麼要證明」等內容）。

推理與證明的認識

推理與證明

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